高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理2 (5)

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季延中學(xué) 2015 年秋高二年期中考試理科數(shù)學(xué)試卷 考試時間：120 分鐘 滿分：150 分 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個 答案是正確的） 1.命題“若 不正確，則 不正確”的等價命題是（ ）pq A. 若 不正確，則 不正確 B. 若 正確，則 正確qqp C. 若 正確，則 正確 D. 若 不正確，則 正確q 2. 若雙曲線 與橢圓 有共同的焦點，且 ，則 的值為（ ） 2145xy??216xya??0a? A. B. C. D.5757 3.已 知 ，那么下列命題中正確的是（ ）,abcR? A.若 ，則 B.若 ，則?2bcabc? C.若 且 ，則 D.若 且 ，則30?1a?201ab? 4.已知命題 ，則 的否定是（ ）:P??2,0 xx???P A. B. ??1,1???????2:1,10 xx????? C. D. 2:,xx?? 5. 在等差數(shù)列 中，已知 ，則該數(shù)列前 項和 （ ）??na486a?1S? A. B. C. D. 17635 6. 平面內(nèi)有兩定點 、 及動點 ，設(shè)命題甲：“ 是定值” ，命題乙：“點 的軌跡ABPPAB?P 是以 、 為焦點的橢圓” ，則甲是乙的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7.設(shè) 。若 是 與 的等 比中項，則 的最小值為（ ）0,ab?3ab12ab? A. B. C. D. 32?2?33 8.不等式組 的解集記為 。有下面四個命題：1,24xy???????D ??1:,,,pD????2:,,2,pxyy???? 3 3xyy?4 1.?? 其中的真命題是（ ） A. B. C. D. 23,p12,p13,p14,p 9.若橢圓上存在點 ，使得點 到兩個焦點的距離之比為 ，則此橢 圓離心率的取值范圍是( )P2: A. B. C. D. 10,3??????,2??????,3??????,3?????? 10. 已知圓 及圓內(nèi)一點 ， 是圓上任意一點。線段 的垂直平分??:16Cxy?????1,0A?PAP 線 和半徑 相交于點 ，當點 在圓上運動時，則點 的軌跡方程為（ ）lPQPQ A. B. C. D. 2143xy??214xy??2143xy??214xy?? 11.已知雙曲線 的左焦點為 ， 在雙曲線的右支上，直線?? 20,ab????,0FcP 與圓 相切于點 ，且 ，則雙曲線的離心率 的值為（ ）PF2216cxy????????Q3P???e A. B . C. D. 5352 12. 設(shè) 的三邊長分別為 ， 的面積為 ， ，若nAC?,nabcnABC?nS1,23?? ， ，則( )11,2bca???111,22ncb???? A. {S2n－1 }為遞增數(shù)列，{ S2n}為遞減數(shù)列 B. { S2n－1 }為遞減數(shù)列，{ S2n}為遞增數(shù)列 C. {Sn}為遞減數(shù)列 D. {Sn}為遞增數(shù)列 二、填空題（每小題 5 分，共 20 分） 13.已知雙曲線為 ，則雙曲線的右焦點到其漸近線的距 離為__________ 2169xy?? 14. 設(shè)數(shù)列 滿足 ， ，則數(shù)列 的通項公式??na1?????12nna??????na __________________ 15. 已知 和 滿足約束條件 則目標函數(shù) 的最小值為______________xy4,,xy???????2zxy?? 16.設(shè)函數(shù) 。對任意 ， 恒成立，??21f??3,2x????????????2414fmffxfm??????? 則實數(shù) 的取值范圍是_______________m 三、解答題（10+12+12+12+12+12=70 分，寫出必要的解題過程） 17.（本題滿分 10 分）設(shè){ }是等差數(shù)列，{ }是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 ，nanb1ab?355321,,ab?? ⑴求{ }、{ }的通項公式；n ⑵若 ，求數(shù)列{ }的前 項和 。ncncnS 18.（本題滿分 12 分）已知命題 ： 對一切的 恒成立，命題 ：關(guān)于 的一P24xmx??0?qx 元二次方程 的實數(shù)根均是正數(shù)，若“ ”為真， “ ”為假，求??2350 xmx???pq?p? 實數(shù) 的取值范圍。 19.（本題滿分 12 分）已知 為橢圓 上的任意一點， 為坐標原點， 在線段P21369xy??OM 上，且OPM31? ⑴求點 的軌跡 的方程；E ⑵若 ， 為軌跡 上的動點，求 面積的最大值。??4,0,AB?CEABC? 20.（本題滿分 12 分）某房地產(chǎn)開發(fā)商投資 81 萬元建一座寫字樓，第一年需維護費用為 1 萬元， 以后每年增加 2 萬元，若把寫字樓出租，每年收入租金 30 萬元. ⑴開發(fā)商最早在第幾年獲取純利潤？ ⑵若干年后開發(fā)商為了投資其它項目，有兩種處理方案：①純利潤最大時，以 10 萬元出售該樓； ②年平均利潤最大時以 46 萬元出售該樓。問哪種方案更優(yōu)？并說明理由？ 21.（本題滿分 12 分）設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ，已知??nanS??*11,42naSaN??? ⑴設(shè) ，證明數(shù)列 是等比數(shù)列；12nnba???b ⑵若 ，求數(shù)列 的前 項和為 。ccnT 22.（本題滿分 12 分）已知橢圓 的左焦點為 ,離心率為 ，點 2+=1(0)xyab>F-c（ 0） 3 在橢圓上且位于第一象限，直線 被圓 截得的線段的長為 ， 。MFM42+bxy=c43|FM= ⑴求直線 的斜率；F ⑵求橢圓的方程； ⑶設(shè)動點 在橢圓上，若直線 的斜率大于 ，求直線 （ 為原點）的斜率的取值范圍。PFP2OP 季延中學(xué) 2015 年秋高二年期中考試理科數(shù)學(xué)試卷 參考答案 一、選擇題 1—5 BACDC 6—10 BCBDA 11—12 AD 二、填空題 13． 14. 15. 16. 3??21na??723,,2???????????????? 三、解答題 17．解：⑴設(shè)是等差數(shù)列{ }的公差為 ，等比數(shù)列{ }的公比為ndnbq 則 且 ，即0q?41123adbq?????42113q????? 解得 2,? …………………………………….5 分??11,2nnab????? ⑵ nc?123nnTc?? ……………….10 分 ?????0121012125()2nnn ????????? ?A 18．解： 對一切的 恒成立，即 對一切的 恒成立，又?4xmx?0?46mx??0 x??????4 411263x???????????????????????? 當且僅當 即 時，取等號x 為真，則 …………………………………….4 分?p3m? 關(guān)于 的一元二次方程 的實數(shù)根均是正數(shù)???2350 xxm???? 解得?????2123450mx??????????A1m??? 為真，則 …………………………………….8 分q1?? ”為真， “ ”為假， 真 假或 假 真?p?pq??pq 或351m???????或 351m?????? 或 …………………………………….12 分? 19．解：（1）設(shè) M（x,y）, ………… 1 分),(0yxP 由 得 ………… 3 分O3??????????yx3,31, 00 因為 在橢圓上， 即),(0yxP2069xy??214? …………5 分 214M??的 軌 跡 方 程 為 (2) 由題意可得直線 的方程為 …………6 分AB40 xy?? 設(shè)與直線 平行的直線 的方程為m? 由 得2 014xy???????225840 x?? 令 ，即 ，解得 …………10 分???226m??54m? 的面積?ABC241S??? 當 時， 的面積有最大值為 …………12 分?54?21 20．解：（1）設(shè)第 n 年獲取利潤為 y 萬元 n 年共收入租金 30n 萬元，付出裝修費構(gòu)成一個以 1 為首項，2 為公差的等差數(shù)列，共 …………………………2 分 因此利潤 ，令 ……………………3 分 解得： ，…………………………………….4 分 所以從第 4 年開始獲取純利潤 ………………………….5 分 （2）純利潤 所以 15 后共獲利潤：144+ 1 0=154 （萬元）………………………8 分 年平均利潤 …………………..9 分 （當且僅當 ，即 n=9 時取等號） 所以 9 年后共獲利潤：12 =154（萬元）…………… …….11 分 兩種方案獲利一樣多，而方案②時間比較短，所以選擇方案②……………12 分 21．解（1） ， 當 時，?142nSa???n?142nSa??? 兩式相減得 1n??1122nnnnbaa???? 當 時， ， ， ，從而?14S?2513b? 數(shù)列 是以 為首項，公比為 的等比數(shù)列………………6 分??nb3 （2）由（1）知 ，從而12n?A13nnc?A?231nnTc???? ??0221691nn???????133n ?? 兩式相減得 ?012132nnnT????? ??33 nnn??? ………………12 分???32nnT??? 22．解(I) 由已知有 ，又由 ，可得 ， ， 213ca?22abc?23ac?2b 設(shè)直線 的斜率為 ，則直線 的方程為 ，由已知有FM(0)k?FM()ykx? ，解得 .…………………….4 分 221kcb????????????? 3k? (II)由(I)得橢圓方程為 ，直線 的方程為 ，兩個方程聯(lián)立，消去 ， 213xyc?F()ykxc??y 整理得 ，解得 或 ，因為點 在第一象限，可得 的坐標為22350 x???53c?xM ，由 ，解得 ，所以橢圓方程為,c?????? 2243()0FMc????????1c? …………………….8 分 213xy?? (III)設(shè)點 的坐標為 ，直線 的斜率為 ，得 ，即 ,與橢圓P(,)xyFPt1yx??(1)tx??? 方程聯(lián)立 ，消去 ，整理得 ，又由已知，得2 13yt??????223()6xt ，解得 或 ， 26(1)xt???312??0?? 設(shè)直線 的斜率為 ，得 ，即 ，與 橢圓方程聯(lián)立，整理可得 .OPmyx?()mx?23mx?? ①當 時，有 ，因此 ，于是 ，得3,12x????????(1)0t???23x??,m ②當 時，有 ，因此 ，于是 ，得??1,0 x??(1)0ytx???m?23x??23,m????????? 綜上，直線 的斜率的取值范圍是 …………………….12 分OP23,,???????????????