高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理2 (4)

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海南中學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期期中考試 高二理科數(shù)學(xué)試題卷 考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的.） 1. 已知命題，則為（ ） A. B. C． D． 2. 空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C． D． 3. 已知三點(diǎn)不共線，點(diǎn)為平面外的一點(diǎn)，則下列條件中，能得到平面的是（ ） A． B． C． D． 4. 已知，則方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中大致是（ ） 5. 下列命題中為真命題的是（ ） A．命題“若且,則” B．命題“若，則”的逆命題 C．命題“若，則或”的否命題 D．命題“若，則”的逆否命題 6. 已知雙曲線的一條漸近線的斜率是，則此雙曲線的離心率等于（ ） A． B． C．2 D． 7. 已知是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是( ) A． B． C． D． 8. 直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（ ） A． B． C． D． 9. 設(shè)直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（ ） A． B. C． D. 10. 已知正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的值為( ) A． B. C. D. 11. 已知的三頂點(diǎn)分別為，，.則邊上的高等于（ ） A． B． C．2 D． 12. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且軸.過(guò)頂點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ） A． B. C． D. 第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分) 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.） 13. 已知向量與向量分別是直線與直線的方向向量，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)______． 14. 已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離等于_________． 15. 已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值等于____________． 16. 已知點(diǎn)和分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是___________． 三.解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. （本小題滿分10分）如圖，在平行六面體中，分別在面對(duì)角線上且.記向量，用表示. 18. （本小題滿分12分）設(shè)條件；條件.若是的必要不充分條件，求的取值范圍． 19. （本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是、的中點(diǎn).、分別是、的中點(diǎn)，. （1）求證:平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 20. （本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等腰直角三角形，，平面平面，為棱上的一點(diǎn)． （1）求證：； （2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 21. （本小題滿分12分）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）求的取值范圍． 22. （本小題滿分12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為4. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （2）已知點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作斜率為、的兩條直線、，直線交軌跡于、兩點(diǎn)，直線交軌跡于、兩點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別是、.若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 海南中學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期期中考試 高二理科數(shù)學(xué)參考答案 考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的.） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D C C B A D C A A 第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分) 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.） 13. 14. 15. 0或或 16. 三.解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 23. （本小題滿分10分）如圖，在平行六面體中，分別在面對(duì)角線上且.記向量，用表示. 解析：∵ 24. （本小題滿分12分）設(shè)條件；條件.若是的必要不充分條件，求的取值范圍． 解析1：設(shè)A={x|}，B={x|}， 2分 化簡(jiǎn)得A={x|}，B={x|}． 6分 由于是的必要不充分條件， 故是的充分不必要條件，即， 8分 ∴ 10分 解得， 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 12分 解析2：， 2分 記， 4分 化簡(jiǎn)得， 6分 由于是的必要不充分條件， 故是的充分不必要條件，即， 8分 10分 解得 ． 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 12分 25. （本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是、的中點(diǎn).、分別是、的中點(diǎn)，. （1）求證:平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 解析：以為原點(diǎn)，的方向分別作為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則故. 因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以. 因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以. （1）. 因?yàn)檩S平面，所以是平面的一個(gè)法向量. 由于，故. 又平面，故平面. （2）. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 ，即. 取，得. 設(shè)直線與平面所成的角為，則 因此直線與平面所成角的正弦值為. 26. （本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等腰直角三角形，，平面平面，為棱上的一點(diǎn)． （1）求證：； （2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解法1：（1）∵平面底面， 平面底面， ∴平面（面面垂直的性質(zhì)定理） 2分 ∴（線面垂直的定義） 3分 又∵，， ∴平面（線面垂直的判定定理） ∴（線面垂直的定義） 6分 （2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)與交于點(diǎn). 等腰直角三角形中，， ∵平面底面，平面底面， ∴平面（面面垂直的性質(zhì)定理）. ∴，（線面垂直的定義） 易知四邊形是正方形，，∴平面（線面垂直的判定定理）， ∴（線面垂直的定義），∴是二面角的平面角， 8分 ∴，∴，易知，，∴ 注意到直角△中，， ∴，即 10分 ∴，∴，即. 12分 故棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，并且. 解法2：（1）取的中點(diǎn)，連接， ∵平面底面，平面底面， ∴平面（面面垂直的性質(zhì)定理）， 由題意易知四邊形是正方形， ∴可如圖建立空間直角坐標(biāo)系 2分 ，，， ，， ∵為棱上的一點(diǎn)，∴可設(shè). ∴ ∴， 4分 ∴，即. 6分 （2）易知平面的一個(gè)法向量為， 7分 設(shè)平面的法向量為，由（1）， ∴， 令，則，， 即面的一個(gè)法向量 9分 ∴， 10分 整理得，解得或. ∵，∴. 12分 故棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，并且. 27. （本小題滿分12分）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）求的取值范圍． 解析：（1）由題意得：，解得. ∴橢圓的方程為 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝3與橢圓無(wú)交點(diǎn). 故直線的斜率存在，設(shè)其方程為：y＝k(x－3). 由得(3k2＋2)x2－18k2x＋27k2－12＝0， 因?yàn)橹本€與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， 所以△＝(18k2)2－4(3k2＋2)(27k2－12)＞0，即. 設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝, ∵＝(x1－3, y1), ＝(x2－3, y2)， ∴＝(x1―3)(x2―3)＋y1y2＝(x1―3)(x2―3)＋k2(x1―3)(x2―3) ＝(k2＋1)[x1x2－3(x1＋x2)＋9] ＝(k2＋1)( －＋9) ＝ ＝2＋ ∵， ∴＜， ∴＜2＋3， ∴的取值范圍是 28. （本小題滿分12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為4. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （2）已知點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作斜率為、的兩條直線、，直線交軌跡于、兩點(diǎn)，直線交軌跡于、兩點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別是、.若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為O1（x，y），動(dòng)圓與y軸交于R，S兩點(diǎn). 由題意，得|O1P|＝|O1S|. 當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1H⊥RS交RS于H，則H是RS的中點(diǎn). ∴|O1S|＝. 又|O1P|＝， ∴，化簡(jiǎn)得y2＝4x（x≠0）． 又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（0,0）也滿足方程y2＝4x. ∴動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程為y2＝4x． （2）由，得. 設(shè)，則. 因?yàn)锳B中點(diǎn)，所以. 同理，點(diǎn). ∴ ∴直線：，即 ∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．