九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 北師大版2

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河南省平頂山市寶豐縣2016-2017學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：每小題3分，共8小題，共計(jì)24分． 1．下列四個(gè)幾何體中，主視圖、左視圖與俯視圖是全等圖形的幾何體是（　　） A．球 B．圓柱 C．三棱柱 D．圓錐 2．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直 3．已知x2﹣5xy+6y2=0，則y：x等于（　?。? A．或 B．2或3 C．1或 D．6或1 4．如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（　?。? A． B． C． D． 5．如圖是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 6．兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，它們的面積之差為25cm2，則較大三角形的面積是（　　） A．75cm2 B．65cm2 C．50cm2 D．45cm2 7．一元二次方程x2+px﹣2=0的一個(gè)根為2，則p的值為（　?。? A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 8．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n﹣mn的值是（　?。? A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 　 二、填空題：每小題3分，共7小題，共計(jì)21分． 9．已知菱形的兩條對(duì)角線長分別為8cm、10cm，則它的邊長為　　 cm． 10．三角形兩邊的長分別是8和6，第3邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是　　． 11．如果甲邀請(qǐng)乙玩一個(gè)同時(shí)拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲的規(guī)則如下：同時(shí)拋出兩個(gè)正面，乙得1分；拋出其他結(jié)果，甲得1分．誰先累積到10分，誰就獲勝．你認(rèn)為　　獲勝的可能性更大． 12．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　?。? 13．如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則=　?。? 14．如圖，四個(gè)幾何體中，它們各自的三個(gè)視圖（主視圖、左視圖和俯視圖）有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不同的幾何體是　　（填序號(hào)）． 15．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：6，△ABC的周長為15cm，△DEF的周長為　　． 　 三、解答題：共8小題，共計(jì)75分． 16．（8分）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣9=0（配方法） （2）3x2=2﹣5x（公式法） 17．（9分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （1）求k的取值范圍； （2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根． 18．（8分）如圖所示，是某工件的三視圖，求此工件的體積．（結(jié)果保留π） 19．（9分）已知：如圖，△ABC的兩條高為BE、CF，M、N分別為邊BC、EF的中點(diǎn)，求證：MN⊥EF． 20．（9分）甲口袋中裝有三個(gè)小球，分別標(biāo)有號(hào)碼1、2、3；乙口袋中裝有兩個(gè)小球，分別標(biāo)有號(hào)碼1、2；這些小球除數(shù)字外完全相同，從甲乙兩口袋中分別隨機(jī)摸出一個(gè)小球，求這兩個(gè)小球的號(hào)碼都是1的概率．（畫樹狀圖） 21．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)．求PE+PF的值． 22．（11分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點(diǎn)O． （1）求證：四邊形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=60，AE=4，求矩形ADCE對(duì)角線的長． 23．（11分）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長BE交DF于點(diǎn)G． （1）求證：△BDG∽△DEG； （2）若EG?BG=4，求BE的長． 　  2016-2017學(xué)年河南省平頂山市寶豐縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共8小題，共計(jì)24分． 1．下列四個(gè)幾何體中，主視圖、左視圖與俯視圖是全等圖形的幾何體是（　　） A．球 B．圓柱 C．三棱柱 D．圓錐 【考點(diǎn)】全等圖形；簡單幾何體的三視圖． 【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、正面和上面看，所得到的圖形． 【解答】解：A、球的三視圖是相等圓形，故A符合題意； B、圓柱的三視圖分別為長方形，長方形，圓，故B不符合題意； C、三棱柱三視圖分別為長方形，長方形，三角形，故C不符合題意； D、圓錐的三視圖分別為三角形，三角形，圓及圓心，故D不符合題意． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三種視圖，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中． 　 2．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對(duì)角線互相垂直． 【解答】解：A、不正確，兩組對(duì)邊分別平行； B、不正確，兩組對(duì)角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，； C、不正確，對(duì)角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)； D、菱形的對(duì)角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對(duì)角線垂直及平行四邊形對(duì)角線平分的性質(zhì)的理解． 　 3．已知x2﹣5xy+6y2=0，則y：x等于（　?。? A．或 B．2或3 C．1或 D．6或1 【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等． 【分析】方程兩邊除以x2，求出解即可． 【解答】解：∵x2﹣5xy+6y2=0， ∴1﹣5?+6?（）2=0，即（﹣）（﹣）=0， 解得： =y：x=或， 故選A 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】把題中圖形看作樹狀圖，則可得到有4種等可能的結(jié)果數(shù)，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的結(jié)果數(shù)為1，于是根據(jù)概率公式可計(jì)算出小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率． 【解答】解：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小球最終到達(dá)H點(diǎn)的結(jié)果數(shù)為1， 所以小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率=． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．\ 　 5．如圖是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體． 【分析】根據(jù)給出的幾何體，通過動(dòng)手操作，觀察可得答案為4，也可以根據(jù)畫三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，直接想象出每個(gè)位置正方體的數(shù)目，再加上來． 【解答】解：由三視圖可得，需要的小正方體的數(shù)目：1+2+1=4．如圖： 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖及空間想象能力． 　 6．兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，它們的面積之差為25cm2，則較大三角形的面積是（　?。? A．75cm2 B．65cm2 C．50cm2 D．45cm2 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方，列出比例式后求解即可． 【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3， ∴面積之比為4：9， 設(shè)較大三角形的面積為x， 那么得到4：9=（x﹣25）：x， 解得x=45cm2． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形面積的比等于相似比的平方． 　 7．一元二次方程x2+px﹣2=0的一個(gè)根為2，則p的值為（　?。? A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】把x=2代入已知方程，列出關(guān)于p的一元一次方程，通過解該方程來求p的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一個(gè)根為2， ∴22+2p﹣2=0， 解得 p=﹣1． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根． 　 8．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n﹣mn的值是（　?。? A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m+n和mn的值，再代入求出即可． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴m+n=5，mn=﹣2， ∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，注意：如果m、n是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則m+n=﹣，mn=． 　 二、填空題：每小題3分，共7小題，共計(jì)21分． 9．已知菱形的兩條對(duì)角線長分別為8cm、10cm，則它的邊長為　　 cm． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，先求出對(duì)角線的一半的長度，再利用勾股定理即可求出邊長． 【解答】解：如圖，不妨令A(yù)C=8cm，BD=10cm， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AO=AC=4cm，BO=BD=5cm，且AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB===cm． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形與勾股定理的運(yùn)用，熟記菱形的對(duì)角線互相垂直平分然后構(gòu)造出直角三角形是求解的關(guān)鍵． 　 10．三角形兩邊的長分別是8和6，第3邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是　24或8　． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】由x2﹣16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分別從x=6時(shí)，是等腰三角形；與x=10時(shí)，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵x2﹣16x+60=0， ∴（x﹣6）（x﹣10）=0， 解得：x1=6，x2=10， 當(dāng)x=6時(shí)，則三角形是等腰三角形，如圖①：AB=AC=6，BC=8，AD是高， ∴BD=4，AD==2， ∴S△ABC=BC?AD=82=8； 當(dāng)x=10時(shí)，如圖②，AC=6，BC=8，AB=10， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90， S△ABC=BC?AC=86=24． ∴該三角形的面積是：24或8． 故答案為：24或8． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想，小心別漏解． 　 11．如果甲邀請(qǐng)乙玩一個(gè)同時(shí)拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲的規(guī)則如下：同時(shí)拋出兩個(gè)正面，乙得1分；拋出其他結(jié)果，甲得1分．誰先累積到10分，誰就獲勝．你認(rèn)為　甲　獲勝的可能性更大． 【考點(diǎn)】可能性的大?。? 【分析】事件的可能性主要看事件的類型，事件的類型決定了可能性及可能性的大?。? 【解答】解：同時(shí)拋擲兩枚硬幣有以下情況： （1）同時(shí)拋出兩個(gè)正面； （2）一正一反； （3）一反一正； （4）同時(shí)擲出兩個(gè)反面； 乙得1分的可能性為；甲得1分的可能性為． 故甲獲勝的可能性更大． 【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；關(guān)鍵是得到總情況數(shù)． 　 12．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　k≥﹣，且k≠0?。? 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0． 【解答】解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1， ∴△=4（k+1）2﹣4k（k﹣1）=3k+1≥0， 解得：k≥﹣， ∵原方程是一元二次方程， ∴k≠0． 故本題答案為：k≥﹣，且k≠0． 【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： ①△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； ②△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； ③△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． （2）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0． 　 13．如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則=　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵S△ADE=S四邊形BCED， ∴， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行于三角形一邊截三角形另外兩邊所得的三角形與原三角形相似，相似三角形面積的比等于相似比的平方． 　 14．如圖，四個(gè)幾何體中，它們各自的三個(gè)視圖（主視圖、左視圖和俯視圖）有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不同的幾何體是　②③?。ㄌ钚蛱?hào)）． 【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖． 【分析】先分別分析四種幾何體的三種視圖，再找出有兩個(gè)相同而另一個(gè)不同的幾何體． 【解答】解：①因?yàn)檎襟w的三個(gè)視圖都相同，都是正方形，不符合條件； ②圓柱的主視圖與左視圖都是長方形，俯視圖是圓，符合條件； ③圓錐的主視圖與左視圖都是三角形，俯視圖是圓中間還有一點(diǎn)，符合條件； ④球的三個(gè)視圖都相同，都是圓，不符合條件． 故符合條件的是：②③． 故答案為：②③． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，學(xué)生的觀察能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力． 　 15．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：6，△ABC的周長為15cm，△DEF的周長為　15?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比，求出周長比，根據(jù)題意計(jì)算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：6， ∴△ABC與△DEF的相似比為1：， ∴△ABC與△DEF的周長比為1：， ∵△ABC的周長為15cm， ∴△DEF的周長為15cm， 故答案為：15． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方． 　 三、解答題：共8小題，共計(jì)75分． 16．解下列方程： （1）x2﹣6x﹣9=0（配方法） （2）3x2=2﹣5x（公式法） 【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）配方法求解即可； （2）套用公式計(jì)算即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9﹣9=18， x2﹣6x+9=18， （x﹣3）2=18， x﹣3=3， x1=3+3，x2=3﹣3； （2）∵a=3，b=5，c=﹣2， ∵b2﹣4ac=52﹣43（﹣2）=49＞0， ∴x==， ∴x1=﹣2，x2=． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵． 　 17．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （1）求k的取值范圍； （2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根． 【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△＞0，由此可求k的取值范圍； （2）在k的取值范圍內(nèi)，取負(fù)整數(shù)，代入方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0， 即4k＞﹣9，解得； （2）若k是負(fù)整數(shù)，k只能為﹣1或﹣2； 如果k=﹣1，原方程為x2﹣3x+1=0， 解得，，． （如果k=﹣2，原方程為x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2） 【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． 　 18．如圖所示，是某工件的三視圖，求此工件的體積．（結(jié)果保留π） 【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體． 【分析】根據(jù)圓錐的體積公式可求圓錐的體積． 【解答】解：由三視圖可知，該工件為底面半徑為10cm，高為30cm的圓錐體， 圓錐的體積π（202）230=1000π（cm3）． 故此工件的體積是1000πcm3． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何物體三視圖及圓錐的面積和體積求法．三視圖判斷幾何體的形狀是難點(diǎn)，這就要求掌握幾種常見幾何體的三視圖，并建立三視圖與實(shí)物的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 　 19．已知：如圖，△ABC的兩條高為BE、CF，M、N分別為邊BC、EF的中點(diǎn)，求證：MN⊥EF． 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形高的定義可得∠BFC=∠BEC=90，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得FM=BC，EM=BC，進(jìn)而可得FM=EM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論． 【解答】證明：∵BE、CF是△ABC的兩條高， ∴∠BFC=∠BEC=90， ∵M(jìn)是BC中點(diǎn)， ∴FM=BC，EM=BC， ∴FM=EM， ∵N為邊EF的中點(diǎn)， ∴MN⊥EF． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 20．甲口袋中裝有三個(gè)小球，分別標(biāo)有號(hào)碼1、2、3；乙口袋中裝有兩個(gè)小球，分別標(biāo)有號(hào)碼1、2；這些小球除數(shù)字外完全相同，從甲乙兩口袋中分別隨機(jī)摸出一個(gè)小球，求這兩個(gè)小球的號(hào)碼都是1的概率．（畫樹狀圖） 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這兩個(gè)小球的號(hào)碼都是1的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有6種等可能的結(jié)果，這兩個(gè)小球的號(hào)碼都是1的只有1種情況， ∴這兩個(gè)小球的號(hào)碼都是1的概率為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 21．（10分）（2016秋?寶豐縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)．求PE+PF的值． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OD=，S△AOD=S矩形ABCD=3，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=（PE+PF）=3，求得答案． 【解答】解：連接OP，如圖所示： ∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4， ∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5， ∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=（PE+PF）=3， ∴PE+PF=． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 22．（11分）（2016秋?寶豐縣期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點(diǎn)O． （1）求證：四邊形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=60，AE=4，求矩形ADCE對(duì)角線的長． 【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABDE是平行四邊形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四邊形ADCE是矩形． （2）根據(jù)∠AOE=60和矩形的對(duì)角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長，從而得到矩形ADCE對(duì)角線的長． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴AB=DE， 又∵AB=AC， ∴DE=AC． ∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)， ∴∠ADC=90， 又∵D為BC中點(diǎn)， ∴CD=BD． ∴CD∥AE，CD=AE． ∴四邊形AECD是平行四邊形， 又∴∠ADC=90， ∴四邊形ADCE是矩形． （2）解：∵四邊形ADCE是矩形， ∴AO=EO， ∴△AOE為等邊三角形， ∴AO=4， 故AC=8． 【點(diǎn)評(píng)】（1）考查了矩形的判定，（2）考查了矩形的性質(zhì)，二者相結(jié)合是常見的出題方式，要注意靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理． 　 23．（11分）（2012?長沙）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長BE交DF于點(diǎn)G． （1）求證：△BDG∽△DEG； （2）若EG?BG=4，求BE的長． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根據(jù)相似三角形的判定推出即可； （2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根據(jù)相似求出DG的長，即可求出答案． 【解答】（1）證明：∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置， ∴△BCE≌△DCF， ∴∠FDC=∠EBC， ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠EBC， ∴∠FDC=∠EBD， ∵∠DGE=∠DGE， ∴△BDG∽△DEG． （2）解：∵△BCE≌△DCF， ∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DCB=90，∠DBC=∠BDC=45， ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠EBC=22.5=∠FDC， ∴∠BEC=67.5=∠DEG， ∴∠DGE=180﹣22.5﹣67.5=90， 即BG⊥DF， ∵∠BDF=45+22.5=67.5，∠F=90﹣22.5=67.5， ∴∠BDF=∠F， ∴BD=BF， ∴DF=2DG， ∵△BDG∽△DEG，BGEG=4， ∴=， ∴BGEG=DGDG=4， ∴DG2=4， ∴DG=2， ∴BE=DF=2DG=4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．