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1、圓錐曲線解答題解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程(2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. (2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)。 （I）求得
2、取值范圍； （II）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)分析：（I）這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得（）拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（）有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以（II）考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn) 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時(shí)很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二
3、次均值類似。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：由三點(diǎn)共線，則得。以下略。3.（2009浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中
4、點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為14.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 （I）求與的值； （II）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)若是的切線，求的最小值解析（）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。則，當(dāng) 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得
5、：，或，而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：MN是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小題共14分） 已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值. 【解析】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為， 由得（判別式）, ,點(diǎn)在圓上，.6.（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲
6、線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.（且，從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零
7、）.7.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式?！窘馕觥?必做題本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。 8.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩
8、個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因
9、為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.9. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; （2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出
10、該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1R2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因?yàn)?所以, 即. 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上, 存在圓心
11、在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1R0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.(1)若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；（II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。 19.【解析】解法一：()當(dāng)曲線C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得BOT=60或120.(1)當(dāng)BOT=60時(shí), SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2
12、)當(dāng)BOT=120時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上, ()假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設(shè)直線AS的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線. 故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.解法二:()同解法一.()假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.23.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）已知，橢
13、圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 (22)解：（）由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。 因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 4分（）設(shè)直線方程：得，代入得 設(shè)（，），（，）因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢圓上，所以， 。8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分24.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）
14、，（1，0）。（3） 求橢圓C的方程； （4） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分25.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）
15、若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 解:()設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時(shí)。化簡得 所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓；26.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。 （I） 求雙曲線C的方
16、程；(II)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。解析：解法1（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（0，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設(shè)由將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入因?yàn)橛炙杂泟t由又S（1）=2，當(dāng)時(shí)，面積取到最小值，當(dāng)當(dāng)時(shí)，面積取到最大值所以面積范圍是解答2（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（0，a）到漸近線，由所以曲線的方程是.（）設(shè)直線AB的方程為由題意知由由將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）=以下同解答127.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分）已知雙曲
17、線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。（I）求雙曲線C的方程； (II)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。 28（本小題滿分14分）已知雙曲線C的方程為 離心率頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）求雙曲線C的方程；（）如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求AOB面積的取值范圍.解答一（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線由 得 雙曲線C的方程為（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設(shè) 由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為將P點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡得設(shè)AOB又記由當(dāng)時(shí)，AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時(shí)，AOB
18、的面積取得最大值A(chǔ)OB面積的取值范圍是解答二（）同解答一 （）設(shè)直線AB的方程為由題意知 由 得A點(diǎn)的坐標(biāo)為 由 得B點(diǎn)的坐標(biāo)為 由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）. = 以下同解答一.29.（2009四川卷文）（本小題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程?！窘馕觥浚↖）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程
19、為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分30.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（）求r的取值范圍（）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得（1）拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩個(gè)不相等的正根即。解這個(gè)方程組得.（II） 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。法2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別
20、為、則直線AC、BD的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。設(shè)，由及（）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。 31.（2009湖北卷文）（本小題滿分13分）如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。 本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平
21、面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力（滿分13分）（1） 證法1：由拋物線的定義得 2分如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x的交點(diǎn)為 而即故證法2：依題意，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線l的方程為設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為直線MN的方程為，則有由 得于是，故（）成立，證明如下：證法1：設(shè)，則由拋物線的定義得，于是 將與代入上式化簡可得 ，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設(shè)直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結(jié)論，得即，得證。32.（2009寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1（I） 求橢圓的方
22、程（II） 若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（e為橢圓C的離心率），求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（20）解：（）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以橢圓C的方程為 （）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由點(diǎn)P在橢圓C上得 代入式并化簡得所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 33.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和 （）求點(diǎn)P的軌跡C； （）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M
23、，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。 解（）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x2時(shí)，由得 化簡得 當(dāng)時(shí) 由得 化簡得 故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知. 當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時(shí)由知MF= 6 - NF= 6 - 從而MN= MF+ NF= （6 - ）
24、+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因?yàn)楫?dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E 所以。而點(diǎn)A，E都在上，且 有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時(shí)綜上所述，線段MN長度的最大值為35.（2009天津卷理）（本小題滿分14分） 以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。（1） 求橢圓的離心率； （2） 求直線AB的斜率； （3） 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值 本小題主要考查橢
25、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分（I） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率 （II） 解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為 設(shè)直線AB的方程為，即. 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以 聯(lián)立解得， 將代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知 當(dāng)時(shí)，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組 ， 由解得故當(dāng)時(shí)，同理可得
26、. 解法二：由（II）可知當(dāng)時(shí)，得,由已知得 由橢圓的對稱性可知B，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形. 由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，解得m=c（舍），或.則，所以. 當(dāng)時(shí)同理可得 36.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理運(yùn)算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線
27、l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾。 直線l的斜率存在。 設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。 。化簡得解得 37.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長度的最小值； （）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方
28、程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立 時(shí)，線段的長度取最小值（）由（）可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或 38.（2009年上海卷理）（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。 已知雙曲線設(shè)過點(diǎn)的直線l的方向向量 （1） 當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2） 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為。解：（1）雙曲線C
29、的漸近線直線l的方程.6分 直線l與m的距離.8分 （2）設(shè)過原點(diǎn)且平行與l的直線則直線l與b的距離當(dāng) 又雙曲線C的漸近線為 雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為。 證法二 雙曲線的右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，則由（1）得， 設(shè) 當(dāng)，0.13分將 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假設(shè)不成立 故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距離為.16分39.（2009上海卷文）（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條
30、漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線C的方程； （2） 若過原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；（3） 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.【解】（1）設(shè)雙曲線的方程為 ，解額雙曲線的方程為（2）直線，直線由題意，得，解得（3）【證法一】設(shè)過原點(diǎn)且平行于的直線則直線與的距離當(dāng)時(shí)， 又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，則由（1）得設(shè)，當(dāng)時(shí)，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線的
31、右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為 40.（2009重慶卷理）（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（）若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； (20)（本小題12分）解：（）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a b 0 ）. 設(shè)，由準(zhǔn)線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 . 又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以, 從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)上式取等號，的最大值為4. （II）如圖（20）
32、圖，設(shè) .因?yàn)椋?因?yàn)?所以 . 記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)所以 由因?yàn)?，結(jié)合，得 故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為41.（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)； 解：（）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為；（）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，所以 ，是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故 從而當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為直線CD的方程為，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故由方程組 解得 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為； - 56 -
歷年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線試題匯總.doc
