第二十六講 壓桿穩(wěn)定概念 歐拉公式計(jì)算臨界力

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1、第九章第九章壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定目錄教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：壓桿穩(wěn)定的基本概念，不同約束、軸心受壓壓桿臨界力的歐壓桿穩(wěn)定的基本概念，不同約束、軸心受壓壓桿臨界力的歐拉公式。歐拉公式的適用范圍。拉公式。歐拉公式的適用范圍。第二十六講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)第二十六講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)教學(xué)要求：教學(xué)要求：1 1、了解壓桿穩(wěn)定性的概念，臨界力，三種平衡；、了解壓桿穩(wěn)定性的概念，臨界力，三種平衡；3 3、掌握歐拉公式的應(yīng)用。、掌握歐拉公式的應(yīng)用。重點(diǎn)：重點(diǎn)：臨界力的概念、及其計(jì)算臨界力的概念、及其計(jì)算難點(diǎn)：難點(diǎn)：歐拉公式的推導(dǎo)。歐拉公式的推導(dǎo)。學(xué)時(shí)安排：學(xué)時(shí)安排：2 2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) Mechanic of Mate

2、rials2 2、理解兩端鉸支軸心受壓壓桿臨界力的歐拉公式推導(dǎo)、歐拉、理解兩端鉸支軸心受壓壓桿臨界力的歐拉公式推導(dǎo)、歐拉公式的適用范圍；公式的適用范圍；第九章第九章 壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定目錄目錄Mechanic of Materials9.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力第二十六講的目錄第二十六講的目錄9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式目錄 NFA軸向拉壓桿的承載力軸向拉壓桿的承載力，強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：材料失效表現(xiàn)為屈服或斷裂材料失效表現(xiàn)為

3、屈服或斷裂該公式的適用條件是什么？該公式的適用條件是什么？一、溫故一、溫故壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言二、知新二、知新是否適用于所有的軸向拉伸和壓縮桿？是否適用于所有的軸向拉伸和壓縮桿？壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn)壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn)?zāi)夸?一根長(zhǎng)一根長(zhǎng)2m的柳條木，直徑的柳條木，直徑d=20mm,=10MPa,承壓時(shí)其承壓時(shí)其Fmax=?解：若按強(qiáng)度計(jì)算解：若按強(qiáng)度計(jì)算maxA F270.0201043141N（實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)P Pmaxmax=160N，與計(jì)算值相差近與計(jì)算值相差近20倍）倍）壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言 造成計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值不符的原因是造成計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值不符的原因是較長(zhǎng)的壓桿存在穩(wěn)定問(wèn)題較長(zhǎng)的壓桿存在

4、穩(wěn)定問(wèn)題，因而強(qiáng)度計(jì)算方法對(duì)這類桿件的設(shè)計(jì)不適用。，因而強(qiáng)度計(jì)算方法對(duì)這類桿件的設(shè)計(jì)不適用。Mechanic of Materials壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言三、工程實(shí)例三、工程實(shí)例Mechanic of Materials 液壓機(jī)構(gòu)中的頂液壓機(jī)構(gòu)中的頂桿，如果承受的壓桿，如果承受的壓力過(guò)大，或者過(guò)于力過(guò)大，或者過(guò)于細(xì)長(zhǎng)，就有可能突細(xì)長(zhǎng)，就有可能突然由直變彎，發(fā)生然由直變彎，發(fā)生穩(wěn)定性失效。穩(wěn)定性失效。Mechanic of Materials單擊圖片播放單擊圖片播放穩(wěn)定性問(wèn)題穩(wěn)定性問(wèn)題壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言 加拿大魁北克大橋加拿大魁北克大橋。1907年年8月月29日下午日下午5點(diǎn)點(diǎn)32分，

5、即將分，即將建成的大橋突然倒塌，當(dāng)場(chǎng)造成建成的大橋突然倒塌，當(dāng)場(chǎng)造成了至少了至少75人死亡，多人受傷。人死亡，多人受傷。1913年，這座大橋的建設(shè)重年，這座大橋的建設(shè)重新開(kāi)始，然而不幸的是悲劇于新開(kāi)始，然而不幸的是悲劇于1916年年9月再次發(fā)生。月再次發(fā)生。1907年的第一次坍塌災(zāi)難極為深重，是年的第一次坍塌災(zāi)難極為深重，是一起強(qiáng)調(diào)強(qiáng)度設(shè)計(jì)而未知壓桿屈曲失穩(wěn)造一起強(qiáng)調(diào)強(qiáng)度設(shè)計(jì)而未知壓桿屈曲失穩(wěn)造成的橋梁倒塌成的橋梁倒塌工程師之戒工程師之戒(Iron Ring)1917年，在經(jīng)歷了兩次慘痛的悲劇后，年，在經(jīng)歷了兩次慘痛的悲劇后，魁北克大橋終于竣工通車?？笨舜髽蚪K于竣工通車。壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定

6、引言四、壓桿失穩(wěn)實(shí)例四、壓桿失穩(wěn)實(shí)例著名工程師著名工程師里奧多里奧多庫(kù)珀設(shè)計(jì)庫(kù)珀設(shè)計(jì)Mechanic of Materials 該橋梁倒塌事故的原因是對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的受壓失穩(wěn)機(jī)理沒(méi)有認(rèn)識(shí)該橋梁倒塌事故的原因是對(duì)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的受壓失穩(wěn)機(jī)理沒(méi)有認(rèn)識(shí)從此橋梁等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中迅速開(kāi)展了壓桿穩(wěn)定的試驗(yàn)研究工作從此橋梁等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中迅速開(kāi)展了壓桿穩(wěn)定的試驗(yàn)研究工作壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言 使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)從只強(qiáng)調(diào)強(qiáng)度設(shè)計(jì)使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)從只強(qiáng)調(diào)強(qiáng)度設(shè)計(jì),變?yōu)樽優(yōu)楸仨毧紤]強(qiáng)度、必須考慮強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性并重的更完善的體系。剛度與穩(wěn)定性并重的更完善的體系。Mechanic of Materials五、壓桿穩(wěn)定的奠基人五、壓桿穩(wěn)定的奠基

7、人壓桿穩(wěn)定引言壓桿穩(wěn)定引言 歐拉歐拉(Euler，17071783)，數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。及自然科學(xué)家。于于1757年對(duì)梁的彈性年對(duì)梁的彈性曲線作了深刻地分析和研究曲線作了深刻地分析和研究,這方面的這方面的成果見(jiàn)成果見(jiàn)曲線的變分法曲線的變分法。近代壓桿穩(wěn)定計(jì)算奠基之一：雅辛斯基（近代壓桿穩(wěn)定計(jì)算奠基之一：雅辛斯基（1856-1899），俄國(guó)工），俄國(guó)工程師和科學(xué)家。程師和科學(xué)家。十八世紀(jì)十八世紀(jì)十九世紀(jì)后期十九世紀(jì)后期 一生共寫下了一生共寫下了886本書籍和論文。在失明后的本書籍和論文。在失明后的17年間，他還年間，他還口述了幾本書和口述了幾本書和400篇左右的論文。篇左右的論文。Me

8、chanic of Materials提出中、小柔度壓桿臨界應(yīng)力計(jì)算的直線公式。提出中、小柔度壓桿臨界應(yīng)力計(jì)算的直線公式。9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念一、一、壓桿的兩類力學(xué)模型壓桿的兩類力學(xué)模型1 1、軸心受、軸心受壓桿壓桿F（1）桿由均貭材料制成；）桿由均貭材料制成；（2）軸線為直線；）軸線為直線；（3）外力的作用線與）外力的作用線與壓桿軸線重合。壓桿軸線重合。（不存在壓桿彎曲的初（不存在壓桿彎曲的初始因素）始因素）Mechanic of Materials2 2、小偏心、小偏心壓桿與初壓桿與初彎曲壓桿彎曲壓桿FF材料力學(xué)材料力學(xué)研究對(duì)象研究對(duì)象穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡二、二、壓桿的

9、三種平衡狀態(tài)壓桿的三種平衡狀態(tài)干擾力去除后，壓桿經(jīng)數(shù)次擺動(dòng)，恢復(fù)原有直線平衡狀態(tài)干擾力去除后，壓桿經(jīng)數(shù)次擺動(dòng)，恢復(fù)原有直線平衡狀態(tài)9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念Mechanic of Materials壓壓桿桿與與小小球球的的平平衡衡類類比比FFcr1、穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡干擾力去除，保持微彎干擾力去除，保持微彎干擾力去除，繼續(xù)干擾力去除，繼續(xù)變形，直至折斷變形，直至折斷3、不穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡2、隨遇平衡、隨遇平衡壓桿的三種平衡狀態(tài)比較壓桿的三種平衡狀態(tài)比較干擾力去除，恢復(fù)直線干擾力去除，恢復(fù)直線9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念Mechanic of Material

10、sFFcr9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念三、壓桿的穩(wěn)定性三、壓桿的穩(wěn)定性：四、壓桿失穩(wěn)四、壓桿失穩(wěn) 外力超過(guò)某值外力超過(guò)某值,壓桿突然變壓桿突然變彎彎,不再保持原有的直線狀態(tài)平不再保持原有的直線狀態(tài)平衡衡,過(guò)渡為曲線形狀的平衡過(guò)渡為曲線形狀的平衡,甚甚至折斷。至折斷。壓桿保持原有直線形式平壓桿保持原有直線形式平衡狀態(tài)的能力。衡狀態(tài)的能力。FFcrMechanic of Materials五、失穩(wěn)的實(shí)質(zhì)五、失穩(wěn)的實(shí)質(zhì)F FF FF FM=F yyF FN N=F=F壓彎組合變形壓彎組合變形9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念（1）壓桿保持直線穩(wěn)定平衡狀態(tài)所能承受的最大載荷壓

11、桿保持直線穩(wěn)定平衡狀態(tài)所能承受的最大載荷注：試驗(yàn)法測(cè)注：試驗(yàn)法測(cè)F Fcrcr,上述兩個(gè)定義將是一致的。上述兩個(gè)定義將是一致的。2、臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力cr：1、臨界力臨界力Fcr：六、臨界力、臨界應(yīng)力六、臨界力、臨界應(yīng)力（2）或定義為使壓桿失穩(wěn)的最小載荷或定義為使壓桿失穩(wěn)的最小載荷如用理論推導(dǎo)的方法，則前一定義無(wú)法建立數(shù)學(xué)方程如用理論推導(dǎo)的方法，則前一定義無(wú)法建立數(shù)學(xué)方程判斷壓桿是否判斷壓桿是否失穩(wěn)的指標(biāo)失穩(wěn)的指標(biāo)常研究常研究微彎狀態(tài)的平衡微彎狀態(tài)的平衡，即，即失穩(wěn)所需最小載荷作為失穩(wěn)所需最小載荷作為F Fcrcrcr臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力(critical stress）cr=Fcr/AMechan

12、ic of MaterialscrFFcrRFBlxyxyAB一、推導(dǎo)（兩端鉸支）一、推導(dǎo)（兩端鉸支）crFyyEI 2oyk y9.2 9.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力sincosyAkxBkxcrEIyFy 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程:()zEI yM x()crM xFy 梁的彎矩方程梁的彎矩方程:通解通解2個(gè)積分常數(shù)個(gè)積分常數(shù)Mechanic of Materials令：2crFkEIyxcrFNcrFFBQ()M xkln0B,0 xly時(shí)00 xy時(shí)，0sin0cos0AB0sincosAklBklsin0kl A0222crnEIFlsi

13、nnyAxlA0B=022crEIFl9.2 9.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力Mechanic of Materialsn-半波半波正弦個(gè)數(shù)正弦個(gè)數(shù)22/lTnln222crnEIFlsinnyAxlcrFFABABcrFFll/2l/22TcrFF/2lnTn=1,T=2l 一個(gè)半波正弦n=2,T=l 二個(gè)半波正弦n=3,T=2l/3三個(gè)半波正弦ABl/3l/3l/32cr2 EIF=l22cr22 EIF=l22cr23 EIF=l誰(shuí)最不容誰(shuí)最不容易失穩(wěn)？易失穩(wěn)？二、討論二、討論1：31 2zb hI注意：壓桿總是繞慣性矩較小的軸先失穩(wěn)。對(duì)于矩形注意：壓桿總是繞慣性

14、矩較小的軸先失穩(wěn)。對(duì)于矩形截面來(lái)說(shuō)，繞垂直于短邊的軸先失穩(wěn)。截面來(lái)說(shuō)，繞垂直于短邊的軸先失穩(wěn)。22:crEIFl中的慣性矩),min(zyIII 9.2 9.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力Mechanic of Materials31 2yh bI221zyIhIbx xy yz zy yz zbh討論討論2：2cr2 EIF=l9.2 9.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力三、思考：三、思考：z人怎么失穩(wěn)？人怎么失穩(wěn)？前后彎！前后彎！Mechanic of Materials不同約束壓桿的歐拉公式不同約束壓桿的歐拉公式2cr2 EIF=l一、其它桿端約

15、束的歐拉公式一、其它桿端約束的歐拉公式9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力I壓桿在失穩(wěn)方向橫截面的慣性矩壓桿在失穩(wěn)方向橫截面的慣性矩靜力法或與兩端鉸支壓桿類比，得靜力法或與兩端鉸支壓桿類比，得細(xì)長(zhǎng)桿的通用形式：細(xì)長(zhǎng)桿的通用形式：l相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度不同壓桿屈曲后，撓曲線不同壓桿屈曲后，撓曲線上正弦半波的長(zhǎng)度。上正弦半波的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)相當(dāng)長(zhǎng)度與桿長(zhǎng)的比值。相當(dāng)長(zhǎng)度與桿長(zhǎng)的比值。反映不同支承影響的系數(shù)反映不同支承影響的系數(shù)Mechanic of Materials一端自由，一端自由，一端固定一端固定 2.0兩端固定兩端固定 0.5一端鉸支，一端鉸支，一端固定

16、一端固定 0.7兩端鉸支兩端鉸支 1.0二、不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響二、不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響Mechanic of Materials9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力三、臨界應(yīng)力三、臨界應(yīng)力cr與柔度與柔度：il令22()crEIFlcrcrFAMechanic of Materials22crE22()EIlA222()()E iAlA222()Eil22()Eli9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力il令Mechanic of Materials22crE探討1：9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其

17、他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力Dy yDy ydzbhy yzz4DAIi412Di12yyi軸的邊長(zhǎng)Dy yDy ydzbhy yzzDy yDy ydzbhy yzzMechanic of Materials9.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力探討2：假如三個(gè)截面面積相同，比較慣性半徑大小假如三個(gè)截面面積相同，比較慣性半徑大小22221-=441-DADDD環(huán)環(huán)（）2244ADbhkbbDkK=1時(shí)，時(shí)，i方方 i圓；圓；k/3=1.05時(shí)，矩形的慣性半徑比圓小時(shí)，矩形的慣性半徑比圓小慣性慣性半徑半徑2221+1+4441-DDiDi環(huán)環(huán)圓3412bDik矩圓

18、環(huán)大于圓的慣性半徑圓環(huán)大于圓的慣性半徑i圓環(huán)圓環(huán) i方方 i圓圓 i矩，矩，即面積、材料、約束、桿長(zhǎng)相同，矩形桿最先失穩(wěn)即面積、材料、約束、桿長(zhǎng)相同，矩形桿最先失穩(wěn)hkbIiAyyIiA44221/641/4DD214D3/12hbbh12b一、歐拉公式的一、歐拉公式的兩種表達(dá)：兩種表達(dá)：Mechanic of Materials9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式2:PPPE,其中:SPSSab,其中S細(xì)長(zhǎng)壓桿（大柔度桿）：細(xì)長(zhǎng)壓桿（大柔度桿）：中長(zhǎng)桿（中柔度桿）：中長(zhǎng)桿（中柔度桿）：粗短桿（小柔度桿）：粗短桿（小柔度桿）：二、壓桿分類：二、壓桿分類：Mechani

19、c of Materials9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式1、判別柔度、判別柔度:經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)后提出的、經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)后提出的、只與只與材料有關(guān)、判斷壓桿的種類指標(biāo)材料有關(guān)、判斷壓桿的種類指標(biāo)P、S。2、壓桿分類：、壓桿分類：296206 10235:100200 10PQ材料材料碳鋼（碳鋼（Q235）b372 s=235a(MPa)b(MPa)PS3043041.121.1210010061.661.6優(yōu)質(zhì)鋼優(yōu)質(zhì)鋼b=470 s=3064604602.572.571001006060硅鋼硅鋼b=510 s=3535775773.743.741001006060鑄

20、鐵鑄鐵3323321.451.458080松木松木39390.20.2595930423561.61.12s1、理想壓桿、理想壓桿軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻2、線彈性小變形、線彈性小變形三、歐拉公式的三、歐拉公式的適用條件適用條件（其中（其中；p為材料的比例極限為材料的比例極限)Mechanic of Materials9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式22crE22PPE2222PEE()P大柔度桿基本概念基本概念失穩(wěn)實(shí)例失穩(wěn)實(shí)例三種平衡：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、臨界三種平衡：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、臨界臨界力、臨界應(yīng)力臨界力、臨界應(yīng)力兩端鉸支：兩端鉸支：22crEIFl 壓桿穩(wěn)定性利用工程實(shí)例壓桿穩(wěn)定性利用工程實(shí)例壓桿穩(wěn)定的奠基人壓桿穩(wěn)定的奠基人Mechanic of Materials總結(jié)：總結(jié)：歐歐拉拉公公式式其其它它約約束束2cr2 EI:F=(l)（長(zhǎng)度系數(shù)：1、0.5、0.7、2）li圓、圓環(huán)、矩形：歐拉公式的適范圍：壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力柔柔度：22crE慣性半徑：),min(zyIII 經(jīng)驗(yàn)公式：P.312 9-4、10