2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練15 離散型隨機(jī)變量的方差 新人教A版選修2-3

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1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十五) 離散型隨機(jī)變量的方差 (時(shí)間45分鐘) 題型對點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘) 題組一　求離散型隨機(jī)變量的方差 1．已知X的分布列為 X 1 2 3 4 P 則D(X)的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. [答案]　C 2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值與方差分別為(　　) A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝，D(X)＝ C．E(X)＝0，D(X)＝ D．E(X)＝，D(X)＝1. [

2、解析]　由題意知，隨機(jī)變量X的分布列為 X －1 1 P ∴E(X)＝(－1)×＋1×＝0，D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1. [答案]　A 3．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，求D(X)． [解]　由題知X＝6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝. ∴X的分布列為 X 6 9 12 P ∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 題組二　離散

3、型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于(　　) A．0 B．2 C．1 D. [解析]　由題意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以當(dāng)n＝2時(shí)，D(ξ)取最小值為0. [答案]　A 5．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是(　　) A．6,2.4 B．2,2.4 C．2,5.6 D．6,5.6 [解析]　若兩個(gè)隨機(jī)變量Y，X滿足一次關(guān)系式Y(jié)＝aX＋b(a，b為

4、常數(shù))，當(dāng)已知E(X)，D(X)時(shí)，則有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. [答案]　B 6．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1

5、位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為(　　) A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002 C.，s2 D.＋100，s2 [解析]　設(shè)下月起每位員工的月工資增加100元后的均值和方差分別為，s′2，則＝＝＋100. 方差s′2＝×＝s2.故選D. [答案]　D 8．由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩名運(yùn)動員在比賽中的得分情況為： X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3

6、0.4 現(xiàn)有一場比賽，應(yīng)派哪位運(yùn)動員參加較好(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．無法確定 [解析]　E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)

7、0 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率． [解]　(1)由已知條件和概率的加法公式有 P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.

8、3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 綜合提升練(時(shí)間2

9、5分鐘) 一、選擇題 1．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機(jī)變量ξ的方差為(　　) A. B. C. D. [解析]　由題意知ξ～B，故D(ξ)＝3××＝. [答案]　B 2．設(shè)X～B(n，p)，則有(　　) A．E(2X－1)＝2np B．D(2X＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2X＋1)＝4np＋1 D．D(2X－1)＝4np(1－p) [解析]　因?yàn)閄～B(n，p)，所以D(X)＝np(1－p)，于是D(2X－1)＝4D(X)＝4np(1－p)，故選D. [

10、答案]　D 3．若隨機(jī)變量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，則σ(X3)的值是(　　) A．0.5 B. C. D．3.5 [解析]　∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10. 又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝，∴p＝.又X3～B(n，p)，∴X3～B.∴σ(X3)＝＝＝. [答案]　C 二、填空題 4．已知某隨機(jī)變量X的分布列如下，其中x>0，y>0，隨機(jī)變量X的方差D(X)＝，則x＋y＝________. X 1 2 3 P x y x [解析]　

11、由題意，得2x＋y＝1. E(X)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2， D(X)＝＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x， 即2x＝，解得x＝. ∴y＝1－2×＝， ∴x＋y＝＋＝. [答案]　 5．一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中成績的均值與方差分別為________． [解析]　設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選對答案的題目的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)(成績)為Y，則Y＝4X.由題意

12、知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以該學(xué)生在這次測驗(yàn)中成績的均值與方差分別是60與96. [答案]　60,96 三、解答題 6．設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個(gè)，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù)． (1)求X的分布列、均值及方差； (2)求Y的分布列、均值及方差． [解]　(1)X的可能值為0,1,2. 若X＝0，表示沒有取出次品， 其概率為P(X＝0)＝＝， 同

13、理，有P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. D(X)＝2×＋2×＋2×＝. (2)Y的可能值為1,2,3，顯然X＋Y＝3. P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝. ∴Y的分布列為 Y 1 2 3 P ∴Y＝－X＋3， ∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝， ∴D(Y)＝(－1)2D(X)＝. 7．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出1個(gè)紅球得1分，取出1個(gè)黃球得2分，取出

14、1個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每個(gè)球取到的機(jī)會均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列． (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. [解]　(1)根據(jù)題意，得ξ的所有可能取值為2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)根據(jù)題意，知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2·＋2·＋2·＝， 化簡 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 8