數(shù)學(xué)第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和 文

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1、第二篇熟練規(guī)范中檔大題保高分第23練數(shù)列的證明、通項與求和明考情數(shù)列的通項與求和是高考的熱點(diǎn)，考查頻率較高.中檔難度，一般在解答題的前半部.知考向1.等差、等比數(shù)列的判定與證明.2.數(shù)列的通項與求和.研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(2)中項公式法.(3)通項公式法.1.(2016全國)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11， (2an11)an2an10.(1)求a2，a3；解答123456(2)求an的通項公式.得2an1(an1)an(an1).解答1234562.已知數(shù)列

2、an滿足a11，a24，an23an12an(nN*).(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；證明證明因為an23an12an，所以an22an1an12an，又bnan12an，所以bn1an22an1，因此對任意的nN*，bn1bn0(常數(shù))，又bnan12anan2an1a22a120，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.證明123456(2)求數(shù)列an的通項公式.解解方法一方法一由(1)知，an2an12，由an23an12an，得an2an12(an1an)，又a2a13，所以數(shù)列an1an是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，an

3、an132n2(n2)，聯(lián)立得，an32n12(n2)，經(jīng)檢驗當(dāng)n1時也符合該式.故數(shù)列an的通項公式為an32n12(nN*).方法二方法二由(1)可得an12an2，即an122(an2)，所以數(shù)列an2是公比為2的等比數(shù)列，則an2(a12)2n132n1，即an32n12(nN*).解答1234563.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項a1，a2，a3；解解在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1，2，3，解答123456證明123456證明證明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an

4、12(1)n(n2)，1234564.(2016全國)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；解解設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.解答123456(2)求數(shù)列bn的前1 000項和.所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.1234解答56(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.123456證明數(shù)列cncn2

5、的前n項和為123456解答6.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；證明證明由題設(shè)知，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.證明123456(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.解解由題設(shè)知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列

6、an為等差數(shù)列.解答123456考點(diǎn)二數(shù)列的通項與求和方法技巧方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；構(gòu)造數(shù)列法(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯位相減法；裂項相消法.(1)求數(shù)列an的通項公式；所以Sn2n2n.當(dāng)n2時，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式，所以an4n3，nN*.78解答9101112(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答解解(分組求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當(dāng)n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4

7、n1)2n1.7891011128.設(shè)nN*，數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn1Snan2，已知a1，a2，a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；789101112解解由Sn1Snan2，得an1an2(nN*)，所以數(shù)列an是以a1為首項，2為公差的等差數(shù)列.由a1，a2，a5成等比數(shù)列，即(a12)2a1(a18)，解得a11.所以an2n1(nN*).解答所以Tn121322523(2n1)2n， 2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得Tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16，所以Tn(2n3)2n16.解答7891011121an9.(201

8、7廣東汕頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，an1Sn2. (1)求數(shù)列an的通項公式；解解an1Sn2，anSn12(n2).兩式作差得an1anSnSn1an，又當(dāng)n1時，a2S124，數(shù)列an是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，ana1qn12n (nN*).789101112解答解答78910111210.(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答又當(dāng)n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.789101112(2)求數(shù)列|ann2|的前

9、n項和.解解設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當(dāng)n3時，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23，當(dāng)x2時，滿足上式，解答789101112(1)求數(shù)列bn的通項公式；解答789101112789101112(2)設(shè)Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.所以Sna1a2a2a3anan1解答789101112證明789101112789101112789101112解答規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)下表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表， 用aij表示第i行第j個數(shù)(i， jN*)，已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列，

10、每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列，且公比都相等.已知a111，a31a619，a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n an1an2an3ann(1)求an1和a4n；模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)評分標(biāo)準(zhǔn)解解(1)設(shè)第1列依次組成的等差數(shù)列的公差為d，設(shè)每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q.依題意a31a61(12d)(15d)9，d1，an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3，a35a31q43q448，又q0，q2.又a414，a4na41qn142n12n1.4分構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步找關(guān)系

11、找關(guān)系：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關(guān)系.第二步求通項求通項：根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項公式.第三步定方法定方法：根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等).第四步寫步驟寫步驟.第五步再反思再反思：檢查求和過程中各項的符號有無錯誤，用特殊項估算結(jié)果.1.(2017包頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n (nN*).(1)求a1，a2，a3的值；規(guī)范演練解解當(dāng)n1時，由S12a131，可得a13；當(dāng)n2時，由S22a232，可得a29；當(dāng)n3時，由S32a333，可得a321.12345解答(2)是

12、否存在常數(shù)，使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項公式an；若不存在，請說明理由.解解令(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.由Sn2an3n及Sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3.由以上結(jié)論得an13(2an3)32(an3)，所以數(shù)列an3是首項為6，公比為2的等比數(shù)列，因此存在3，使得數(shù)列an3為等比數(shù)列，所以an3(a13)2n1，所以an3(2n1).12345解答2.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項公式；解解由已知，當(dāng)n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)2

13、22(n+1)1.而a12，所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.12345解答(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解解(錯位相減法)由bnnann22n1知，Sn12223325n22n1，22Sn123225327n22n+1，得(122)Sn2232522n1n22n+1，12345解答(1)求an的通項公式；解解設(shè)數(shù)列an的公比為q.解得q2或q1.所以an2n1.12345解答12345解答4.已知數(shù)列an，a11，an2an11(n2，nN*).(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；12345證明證明證明an12(an11)(n2)，又a112，數(shù)列an1是以2為首項，2為公

14、比的等比數(shù)列.12345解解an12n，an2n1.解答12345證明5.已知數(shù)列an中，a11，a39，且anan1n1(n2).(1)求的值及數(shù)列an的通項公式；解解a11，anan1n1，a22，a351，由a3519，得2.于是anan12n1，即anan12n1，an1an22n3，an2an32n5，a2a13.12345解答(2)設(shè)bn(1)n(ann)，且數(shù)列bn的前n項和為Sn，求S2n.解解由(1)得bn(1)n(ann)(1)nn(n1).故S2n122334455667(2n1)2n2n(2n1)2(13)4(35)6(57)2n(2n12n1)2(2462n)12345解答