2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 3 弧度制學(xué)案 北師大版必修4

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1、§3　弧度制 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.了解角的另外一種度量方法——弧度制． 2．能夠熟練地在角度制和弧度制之間進(jìn)行換算．(重點(diǎn)) 3．掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式．(難點(diǎn)) 1.通過(guò)學(xué)習(xí)弧度制的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過(guò)角度制和弧度制的換算及弧長(zhǎng)公式和面積公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．弧度制 (1)弧度制的定義 在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角稱(chēng)為1弧度角．它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度．以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫作弧度制． (2)角度制與弧度制的互化 ①弧度數(shù) (ⅰ)正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)； (ⅱ)負(fù)角的弧度數(shù)

2、是一個(gè)負(fù)數(shù)； (ⅲ)零角的弧度數(shù)是0； (ⅳ)弧度數(shù)與十進(jìn)制實(shí)數(shù)間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． ②弧度數(shù)的計(jì)算 |α|＝.如圖： ③角度制與弧度制的換算 ④一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 思考1：“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎？ [提示]　在半徑為1的圓中，1弧度的角為長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角，又當(dāng)半徑不同時(shí)， 同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù)，故1弧度角

3、的大小與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān)． 2．弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式 已知r為扇形所在圓的半徑，n為圓心角的度數(shù)，α為圓心角的弧度數(shù)． 角度制 弧度制 弧長(zhǎng)公式 l＝ l＝|α|r 扇形面積公式 S＝ S＝l·r＝|α|r2 思考2：扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示？ [提示]　設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，α為其圓心角，則S＝lr，l＝αr. 1．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的說(shuō)法是(　　) A．半圓所對(duì)的圓心角是π rad B．周角的大小是2π C．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑 D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度 D　[根據(jù)弧度的定義及角度與弧度

4、的換算知A，B，C均正確，D錯(cuò)誤．] 2．時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了(　　) A． rad　　 B．－ rad C． rad D．－ rad B　[時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)－30°， 又－30°＝－ rad，故選B.] 3．若θ＝－5，則角θ的終邊在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 D　[2π－5與－5的終邊相同， ∵2π－5∈， ∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角．] 4．已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 C　[設(shè)扇形半徑為r，圓心角弧

5、度數(shù)為α， 則由題意得∴或] 角度與弧度的互化 【例1】　設(shè)α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－. (1)將α1，α2用弧度表示出來(lái)，并指出它們各自終邊所在的象限； (2)將β1，β2用角度表示出來(lái)，并在－360°～360°范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的所有的角． [解]　(1)∵1°＝ rad， ∴α1＝510°＝510×＝π， α2＝－750°＝－750×＝－π. ∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第四象限． (2)β1＝＝×＝144°. 設(shè)θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°， ∴－360°≤k·360°＋1

6、44°＜360°. ∴k＝－1或k＝0. ∴在－360°～360°范圍內(nèi)與β1終邊相同的角是－216°. β2＝－＝－×＝－330°. 設(shè)θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． ∵－360°≤θ2＜360°， ∴－360°≤k·360°－330°＜360°. ∴k＝0或k＝1. ∴在－360°～360°范圍內(nèi)與β2終邊相同的角是30°. 角度制與弧度制互化的原則、方法以及注意點(diǎn) (1)原則：牢記180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°進(jìn)行換算． (2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則α rad＝α·；n°＝n· rad. (3)注意點(diǎn)

7、： ①用“弧度”為單位度量角時(shí)，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫(xiě)； ②用“弧度”為單位度量角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少π的形式，如無(wú)特別要求，不必把π寫(xiě)成小數(shù)； ③度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度． 1．將下列角度與弧度進(jìn)行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π. [解]　(1)20°＝20× rad＝ rad. (2)－15°＝－15× rad＝－ rad. (3)π rad＝×180°＝105°. (4)－π rad＝－×180°＝－396°. 用弧度制表示終邊相同的角 【例2】　(1)把－1 480°寫(xiě)成α＋2kπ(k∈Z)

8、的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β與(1)中α終邊相同，求β. [解]　(1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π， ∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π. (2)∵β與α終邊相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π. 1．根據(jù)已知圖形寫(xiě)出區(qū)域角的集合的步驟： (1)仔細(xì)觀察圖形； (2)寫(xiě)出區(qū)間邊界對(duì)應(yīng)的角； (3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角． 2．注意事項(xiàng)：用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí)，要注意角的集合形式是否能夠合并，這一點(diǎn)容易出錯(cuò)． 2．(1)把－1 125°化為2kπ＋α(

9、k∈Z,0≤α＜2π)的形式是(　　) A．－6π－ B．－6π＋ C．－8π－ D．－8π＋ (2)在0°～720°范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角． (1)D　[因?yàn)椋? 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×＝， 所以－1 125°＝－8π＋.] (2)解：因?yàn)椋?π＋π＝720°＋72°， 所以與角終邊相同的角構(gòu)成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72°；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432°，所以在0°～720°范圍內(nèi)，與角終邊相同的角為72°，432°. 弧長(zhǎng)公式與面積公式的應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．扇形的半徑，弧長(zhǎng)及圓心角存在怎樣的

10、關(guān)系？ [提示]　|α|＝. 2．扇形的面積和相應(yīng)的弧長(zhǎng)存在怎樣的關(guān)系？ [提示]　S＝lr. 【例3】　一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求該扇形圓心角的弧度數(shù)． [思路探究]　→ →→ [解]　設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l， 則2R＋l＝4，∴l(xiāng)＝4－2R， 根據(jù)扇形面積公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R，∴R＝1， ∴l(xiāng)＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圓心角為2 rad. 1．(變條件)將例3中的條件改為“扇形的面積為4，周長(zhǎng)為10，試求圓心角α(0<α<2π)的弧度數(shù)． [解]　設(shè)弧長(zhǎng)為l，扇形半徑為r，由題意得： 解得或(舍) 故α＝＝(rad)，即扇

11、形的圓心角為 rad. 2．(變條件，變結(jié)論)將例3的條件改為“已知扇形的周長(zhǎng)為40 cm”．問(wèn)：當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才使扇形的面積最大？ [解]　設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r， ∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2 ＝－(r－10)2＋100. ∴當(dāng)半徑r＝10 cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100 cm2，此時(shí)θ＝＝＝2(rad)． ∴當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為10 cm時(shí)，扇形的面積最大為100 cm2. 靈活運(yùn)用扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式列方程組求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，有時(shí)運(yùn)用函數(shù)思想、

12、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問(wèn)題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問(wèn)題. 1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都 有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)． 2．解答角度與弧度的互化問(wèn)題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝π rad”這一關(guān)系式． 3．在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式都得到了簡(jiǎn)化，具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位．(

13、　　) (2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.(　　) (3)180°等于π弧度．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．－72°化為弧度是(　　) A．－ B．－π C．－ D．－ B　[－72°＝－72×＝－π.] 3．－π化為角度為_(kāi)_______． －345°　[－π＝－π×＝－345°.] 4．設(shè)集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，則M∩N＝________. 　[由－π＜－＜π，得－＜k＜.因?yàn)閗∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝.] 5．在扇形中，已知半徑為8，弧長(zhǎng)為12，則圓心角是________弧度，扇形面積是________． 　48　[|α|＝＝＝ rad，S＝l·r＝×12×8＝48.] - 8 -