江蘇省南通市通州區(qū)2020年高二數(shù)學(xué)暑假補(bǔ)充練習(xí) 單元檢測十 解析幾何

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1、高二數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測十 解析幾何 一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分． 1．命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常數(shù))；命題乙：P點(diǎn)軌跡 是橢圓．則命題甲是命題乙的________條件． 2．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的差為定值(小于兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡 為________． 3．若橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點(diǎn)F 分成5∶3的兩段，則此橢圓的離心率為________． 4．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)(0，－1)，且與定直線y＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌

2、跡方程為________． 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為________． 6．已知P為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過P的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若Q在直線l上， 且滿足||·||＝||·||，則點(diǎn)Q總在定直線x＝－1上．試猜測：如果P為橢圓 ＋＝1的左焦點(diǎn)，過P的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若Q在直線l上，且滿足 ||·||＝||·||，則點(diǎn)Q總在定直線________上． 7．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝4x上的兩點(diǎn)A、B滿足＝3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距 離為_______

3、_． 8．已知過橢圓的左焦點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若F1A＝2F1B，則橢圓 的離心率為________． 9．已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為 右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則∠APB為________(從“鈍角、直角、銳角、都有可能”中選擇填空). 10．橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則|PF1| 是|PF2|的________倍． 11．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段 AB的長為8，則p＝_______

4、_. 12．設(shè)P為橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其上、下焦點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的最大值是 ________． 13．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線右支上， 且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線離心率e的最大值為________． 14．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為B(－4,0)，C(4,0)，若頂點(diǎn)A在橢圓＋＝1上，則＝ ________． 二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15．(本小題滿分14分) △ABC的三邊a>b>c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(

5、1,0)，求頂點(diǎn)B的軌 跡方程． 16．(本小題滿分14分) 如圖，已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線x－my＋m＝0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)， 且△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2，求m6＋m4的值． 17．(本小題滿分14分) 已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A、B兩點(diǎn)． (1)求證：OA⊥OB；(2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值． 18．(本小題滿分16分) 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為 (2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)． (1)求雙曲線C的

6、方程； (2)若直線y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分 線過點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 19．(本小題滿分16分) 已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過 作軸的垂線交于點(diǎn)． （Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由． 20．(本小題滿分16分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)A，B是橢圓上位于x

7、軸上方的兩點(diǎn)，且直線A B P O x y （第20題） 與直線平行，與交于點(diǎn)P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 高二數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測十參考答案 一、填空題： 1．必要而不充分 解析：利用橢圓定義．若P點(diǎn)軌跡是橢圓，則|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常數(shù))，∴甲是乙的必要條件．反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的．這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a>|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a＝|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段AB；當(dāng)2a<|AB|時(shí)，P

8、點(diǎn)無軌跡，∴甲不是乙的充分條件． 2. 雙曲線的一支　解析：由雙曲線的定義可知是雙曲線的一支，故填雙曲線的一支． 3. 　解析：由題意可知FF2=F1F2，即c-=′2c，化簡得c=2b，所以c2=4(a2-c2)，此橢圓的離心率e==. 4. x2=-4y　解析：圓心到定點(diǎn)(0，-1)的距離與到定直線y=1的距離相等，都等于圓的半徑，由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2=-4y. 5. -=1　解析：由漸近線方程可知=，① 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(4,0)，所以c=4，② 又c2=a2+b2，③ 聯(lián)立①②③，解得a2=4，b2=12

9、，所以雙曲線的方程為-=1. 6. x=-　解析：x=-1是拋物線的準(zhǔn)線，應(yīng)用類比推理可知點(diǎn)Q所在的定直線為橢圓的左準(zhǔn)線，其方程為x=-. 7. 　解析：如圖，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于A1B1，過B作BC⊥AA1于C，設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=， 直線AB方程為y=(x-1)，與拋物線方程聯(lián)立消y得3x2-10x+3=0，[Z。X。X。所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為+1=+1=. 8. 　解析：如圖，過B作AC的垂線，垂足為E，由題意和橢圓第二定義可知E為AC的中點(diǎn)，cos 60°===，故e=. 9. 銳

10、角　解析：設(shè)點(diǎn)A、B到右準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，該橢圓的離心率為e，根據(jù)橢圓的第二定義可得AF=ed1，BF=ed2，則A、B的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，又=，橢圓的離心率0＜e＜1，∴=＜，即以AB為直徑的圓的半徑小于圓心到右準(zhǔn)線的距離，亦即右準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓相離，∴點(diǎn)P必在以AB為直徑的圓外，∴∠ APB必為銳角． 10. 7 解析：由已知：a＝2，b＝，∴c＝3，F(xiàn)2(3,0)，設(shè)PF1的中點(diǎn)為Q，則OQ∥PF2. ∴PF2⊥Ox，故可設(shè)P(3，y0)，∴＋＝1， ∴y＝，∴y0＝±.[∴|PF2|＝，又|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝∴|PF1|＝7|PF2|

11、. 11. 2　解析：由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為y=x-， 聯(lián)立有?x2-3px+=0，由AB=x1+x2+p=8，得4p=8?p=2. 12．9 解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝3時(shí)，式中取等號．故|PF1|·|PF2|的最大值為9. 13. 解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：|PF2|＝， 又|PF2≥c－a，所以≥c－a，c≤，∴e＝≤，即e的最大值為. 14. 解析：由橢圓方程知，a＝5，b＝3，∴c＝＝4，∴B，C恰好為橢圓的

12、兩焦點(diǎn)． ∴|AB|＋|AC|＝2a＝10.又|BC|＝8，由正弦定理得＝＝＝. 二、解答題： 15. 解：設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝4>|AC|. 由橢圓的定義知：點(diǎn)B的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)，并且2a＝4,2c＝2，b＝＝， 所以所求橢圓方程是＋＝1. 又a>b>c.∴|BC|>|AB|，∴B點(diǎn)的軌跡為橢圓的左半部分，方程為＋＝1(x<0)． ∴點(diǎn)B的軌跡方程為＋＝1(－2

13、2pm=0，由韋達(dá)定理得y1+y2=2pm，y1y2=2pm， ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2，又△OAB的面積 S=′|y1-y2|=′(-m)′4=2，兩邊平方即可得m6+m4=2. 17. 解：(1)證明：如圖所示，由方程組消去x后，整理得ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系y1·y2＝－1. ∵A、B在拋物線y2＝－x上，[∴y＝－x1，y＝－x2，y·y＝x1x2. ∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線與x軸交于N，顯然k≠0.∴令y＝0，則x＝－

14、1，即N(－1,0)． ∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|， ∴S△OAB＝·1·＝. ∵S△OAB＝，∴＝，解得k＝±. 18. 解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又∵a2＋b2＝c2，∴b2＝1.∴雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)由題意得整理得(1－3k2)·x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直線與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴ 解得m2>3k2－1.① 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 線段MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)，則x1＋x2＝， ∴x0＝＝，y0

15、＝kx0＋m＝. 由題意知AB⊥MN， ∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1，② 將②代入①得m2－4m>0，∴m<0或m>4.∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－. 綜上所述，－4. 19.解：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，把代入得， x A y 1 1 2 M N B O 由韋達(dá)定理得，， ，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為， 將代入上式得， 直線與拋物線相切，， ．即． （Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則， 又是的中點(diǎn)，． 由（Ⅰ）知． 軸，． 又 ． ，解得． 即存在，使． 20．解