《2020高中數學 第二章 變化率與導數及導數的應用 導數在證明恒等式中的應用拓展資料素材 北師大版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020高中數學 第二章 變化率與導數及導數的應用 導數在證明恒等式中的應用拓展資料素材 北師大版選修1-1（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、拓展資料：導數在證明恒等式中的應用
一、預備知識
定理1 若函數f(x)在區(qū)間I上可導，且x∈I，有f′(x)＝0，則x∈I，有f(x)＝c(常數)．
證明 在區(qū)間I上取定一點x0及x∈I．顯然，函數f(x)在[x0，x]或[x，x0]上滿足拉格朗日定理，有
f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x與x0之間．
已知f′(ξ)＝0，從
f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0)
設f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．
定理2 若x∈I(區(qū)間)，有f′(x)＝g′(x)，則x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常數．
二
2、、應用例題
證法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函數．
證明 設f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有
f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′
由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常數．
證明 設f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有
由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常數．
例3 證明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．
證明 設f(x)＝arccos
3、(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，
于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′
由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常數．
令x＝1，則c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，
于是 arccos(－x)＋arccosx＝π．
x∈(1，＋∞)有
例5 證明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]
證明 設f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，則x∈[－1，1]，有
f′(x)＝(sin
4、(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′
由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常數．
令x＝－1，則c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0
于是， x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．
于是， x∈[0，1]，有
證明 x∈R，有
即x∈R，有
與 g′(x)＝0．
5、 從而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c
與 g′(x)＝－1．
從而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．
從而，c＝0．于是，
解 設F(x)＝f1(x)－f2(x)
由定理1知， x∈R(x≠±1)，有
(2) x∈(－1，1)，令x＝0，則
于是，
例11 求證：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．
證明 將a，y看作固定常數，x看作變量，設
f(x)＝logax
6、y－logax－logay，x∈(0，＋∞)．
則x∈(0，＋∞)，有
由定理1知，(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，則c＝logay－logay＝0，從而 logaxy－logax－logay＝0，
即 logaxy＝logax＋logay．
例12 求x∈R，滿足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的所有實數對(a，b)全體，
解 設f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常數)，則根據定理1， x∈R，應有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(a
7、x＋b2)
(1)a＝0，由題設等式知，－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2．
解得b＝0，所以求得符合要求的一個實數對為(0，0)．
(a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z
解得a＝1，b2＝2kπ，并代入題設等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，
并且僅當k＝0，上式才成立，從而b＝0，所以求得符合要求的實數對為(1，0)，
(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z
解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入題設等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即 2＋b2＝0
8、，
顯然，這樣的b不存在．
綜上所述，所求實數對的集合為{(0，0)，(1，0)}．
例14 證明： x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny
證明 設f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只須證明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．
用反證法．假設f(x，y)≠0，由于
f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝
9、g(x，y)，
f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，
則 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3)
同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4)
由(3)與(4)，得
或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，
從而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．
由假設f(x，y)≠0，則c為不等零的常數．
令x＝y(tǒng)＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，這與c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，
10、g(x，y)＝0．
例15 已知x≠2kπ，k∈Z．
求證：
證明 已知
對上式兩端同時求導，有
類似可證：已知x≠2kπ，k∈Z，
求證：
例16 證明：
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝
證明 已知
對上式兩端求導，得
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
注 欲證等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
恰為 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的導函數，所以證明開始應用了公式
例17 已知
證明 對已知等式取自然對數，有
對上式兩端求導，有
對上式兩端求導，得
令x＝1，則
令x＝－1，則
例19 證明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，則a＝b＝c，其中a，b，c為常數．
證明 將a看作變量，b，c看作固定常量，等式兩端同時對a求導，有
由已知條件知，a、b、c為對稱的，所以有
將(2)代入(1)，化簡得a＝c．同理a＝b，從而，a＝b＝c．
2020高中數學 第二章 變化率與導數及導數的應用 導數在證明恒等式中的應用拓展資料素材 北師大版選修1-1
