數(shù)學(xué)第二部分 六 統(tǒng)計與概率 6.3.2 隨機(jī)變量及其分布 理

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1、6 6. .3 3. .2 2隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布-2-離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列(多維探究多維探究)題型1相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率及分布列例1(2017天津,理16)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為 .(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.-3-解 (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 -4-(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的

2、個數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)解題心得字母表示事件法:使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復(fù).-5-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1在某娛樂節(jié)目的一期比賽中,有6位歌手(1號至6號)登臺演出,由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手,各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機(jī)地選2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1號至6號歌手中隨機(jī)

3、地選出3名.(1)求媒體甲選中3號,且媒體乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.-6-解 設(shè)事件A表示“媒體甲選中3號歌手”,事件B表示“媒體乙選中3號歌手”,事件C表示“媒體丙選中3號歌手”.媒體甲選中3號,且媒體乙未選中3號歌手的概率為 -7-故X的分布列為 -8-題型2古典概型的概率及其分布列例2(2017山東,理18)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗

4、示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).-9-解 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,因此X的分布列為 -10-X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)-11-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練2(2017北京,理17)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組

5、,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“ ”表示服藥者,“+”表示未服藥者.-12-(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解 (1)由圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為 =0.3.(2)由

6、圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.-13-所以的分布列為 (3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.-14-題型3條件概率與其分布列的綜合例3某險種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下: (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.-15-解 (1)設(shè)

7、A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為 -16-E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.解題心得在P(A|B)中,事件A,B的發(fā)生有時間

8、上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時發(fā)生.-17-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3某市環(huán)保知識競賽由甲、乙兩支代表隊進(jìn)行總決賽,每隊各有3名隊員,首輪比賽每人一道必答題,答對則為本隊得1分,答錯或者不答都得0分.已知甲隊3人答對的概率分別為 ,乙隊每人答對的概率都是 ,設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示甲隊總得分.(1)求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E();(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下,甲隊比乙隊得分高的概率.-18-解 (1)由題設(shè)知的可能取值為0,1,2,3, 所以的分布列為 -19-(2)設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件B,則-20-題

9、型4二項分布例4(2017遼寧鞍山一模,理19)上周某校高三年級學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試,年級部組織任課教師對這次考試成績進(jìn)行分析.現(xiàn)從中抽取80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.-21-(1)估計這次考試數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù);(2)假設(shè)抽出學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在90,100段各不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)字中任意抽取2個數(shù),有放回地抽取3次,記這3次抽取中恰好有2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為X,求X的分布列和期望.解 (1)估計平均分為0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0

10、.0595=72(分).眾數(shù)的估計值是75分.-22-(2)數(shù)學(xué)成績在90,100段的人數(shù)為800.05=4,設(shè)每次抽取的2個數(shù)恰好是2名學(xué)生的成績的概率為p,X的分布列為 -23-解題心得對于實際問題中的隨機(jī)變量X,如果能夠斷定它服從二項分布B(n,p),那么其概率、期望與方差可直接利用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關(guān)公式,可以避免煩瑣的運(yùn)算過程,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.-24-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練4某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每

11、進(jìn)一球得2分,不進(jìn)球得0分;在B區(qū)每進(jìn)一球得3分,不進(jìn)球得0分,得分高的選手勝出.已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別是 .(1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn),問該選手應(yīng)該選擇哪個區(qū)投籃?請說明理由;(2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率.所以該選手應(yīng)該選擇在A區(qū)投籃. -25-(2)設(shè)“該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分”為事件C,“該選手在A區(qū)投籃得4分,且在B區(qū)投籃得3分或0分”為事件D,“該選手在A區(qū)投籃得2分,且在B區(qū)投籃得0分”為事件E,則事件C=DE,且事件D與事件E互斥.-26-題型5超幾何分布例5(2017遼寧大連一

12、模,理18)某手機(jī)廠商推出一款智能手機(jī),現(xiàn)對500名該手機(jī)使用者(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對手機(jī)進(jìn)行打分,打分的頻數(shù)分布表如下:-27-(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小(不計算具體值,給出結(jié)論即可);(2)根據(jù)評分的不同,采用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.-28-解 (1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示. 女性用戶 男性用戶由圖可得女性用戶的波動大,男性用戶的波動小.故女性用戶評分的方差比男性用戶評分的方差大.-29

13、-(2)運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,評分不低于80分有6人,其中評分小于90分的人數(shù)為4,從6人中任取3人,記評分小于90分的人數(shù)為X,則X的所有可能取值為1,2,3,所以X的分布列為 -30-解題心得超幾何分布:一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)= ,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.-31-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練5甲、乙兩人參加普法知識競賽,共設(shè)有10個不同的題目,其中選擇題6個,判斷題4個.(1)若甲、乙二人依次各抽一題,計算:甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是多少?甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率

14、是多少?(2)若甲從中隨機(jī)抽取5個題目,其中判斷題的個數(shù)為,求的分布列和期望.解 (1)甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率為 -32-(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4, 所以的分布列為 -33-樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合例6(2017全國,理19改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X

15、的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:-34-其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16. 附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(,2), -35-解 (1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的

16、數(shù)學(xué)期望為E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.-36-37-解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題,在理解,2意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖象的對稱性解決的.-38-對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取5

17、00件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖.(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).-39-(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結(jié)果,求E(X).附: 12.2.若ZN(,2),則P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.-40-解 (1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7,依題意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.