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1、第第2424課時課時正方形正方形-2-3-1.正方形定義:(1)四條邊相等,四個角都是直角的四邊形,叫做正方形.正方形既是矩形,又是菱形.(2)順次連接正方形各邊中點得到正方形.2.正方形性質(zhì):邊:(1)正方形的對邊平行且相等,正方形的四邊相等;角:(2)正方形的四個角都是直角,對角線平分對角;對角線:(3)正方形的對角線相等且互相垂直平分.對稱性:(4)正方形既是軸對稱圖形(4條對稱軸),也是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.3.正方形判定:邊:(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形;角:(2)有一個角是直角的菱形是正方形;對角線:(3)對角線互相垂直的矩形是正方形;(4)對角線相等的菱形
2、是正方形;(5)對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形.-4-1.(2017廣東)如圖,已知正方形ABCD,點E是BC邊的中點,DE與AC相交于點F,連接BF,下列結(jié)論:SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正確的是 ( C )A. B.C.D.-5-2.(2017畢節(jié))如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,且EAF=45,將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90,使點E落在點E處,則下列判斷不正確的是 ( D )A.AEE是等腰直角三角形B.AF垂直平分EEC.EECAFDD.AEF是等腰三角形3.(2017齊齊哈爾)矩形ABCD的對角線
3、AC,BD相交于點O,請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件AB=BC,使其成為正方形(只填一個即可).-6-考點考點1正方形性質(zhì)正方形性質(zhì)【例1】(2015廣東)如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,將ADE沿AE對折至AFE,延長EF交BC于點G,連接AG.(1)求證:ABG AFG;(2)求BG的長.【名師點撥】 此題考查了正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理的運用.(1)根據(jù)正方形、折疊的性質(zhì),AB=AF,AFG=B=90,結(jié)合公共邊AG可證出結(jié)論;(2)結(jié)合全等三角形性質(zhì),將有關(guān)量轉(zhuǎn)化在RtGCE中利用勾股定理可求.-7-【我的解法】 解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,B=D=9
4、0,AD=AB,由折疊的性質(zhì)可知AD=AF,AFE=D=90,AFG=90,AB=AF,AFG=B,又AG=AG,ABG AFG;(2)ABG AFG,BG=FG,設(shè)BG=FG=x,則GC=6-x,E為CD的中點,CE=EF=DE=3,EG=x+3,32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2,BG=2.【題型感悟】 熟記正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),三角形全等的判定方法,勾股定理的運用是解題關(guān)鍵.-8-【考點變式】(2015廣州)如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別在AD、CD上,且AE=DF,連接BE、AF,求證:BE=AF.解:四邊形ABCD是正方形,AB=AD,BAE=ADF=90,AE
5、=DF,BAE ADF(SAS),BE=AF.-9-考點考點2正方形判定正方形判定【例2】(2015崇左)下列命題是假命題的是 ()A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形B.對角線互相垂直的矩形是正方形C.對角線相等的菱形是正方形D.對角線互相垂直的四邊形是正方形【名師點撥】 此題考點為正方形的判定.利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別,結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可.【我的解法】 解:根據(jù)“對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形”,可知答案A、B、C滿足“垂直、平分且相等”,均為真命題,答案D只滿足“垂直”,無法判定四邊形為正方形,屬假命題.故選D.【題型感悟】
6、 此題主要考查了正方形的判定以及平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì),正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵.-10-【考點變式】(2017青島)已知:如圖,在菱形ABCD 中,點E,O,F 分別是邊AB,AC,AD的中點,連接CE、CF、OF.(1)求證:BCE DCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時,四邊形AEOF正方形?請說明理由.-11-解:(1)四邊形ABCD為菱形AB=BC=CD=DA,B=D又E、F分別是AB、AD中點,BE=DFABE CDF(SAS)(2)若ABAD,則AEOF為正方形,理由如下E、O分別是AB、AC中點,EOBC,又BCAD,OEAD,即:OEAF同理可證OFAE,所
7、以四邊形AEOF為平行四邊形由(1)可得AE=AF所以平行四邊AEOF為菱形因為BCAB,所以BAD=90,所以菱形AEOF為正方形.-12-一、選擇題1.(2015梅州)下列命題正確的是 ( D )A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.一組對邊相等,另一組對邊平等的四邊形是平行四邊形C.對角線相等的四邊形是矩形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形-13-2.(2015深圳)如圖,已知正方形ABCD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF,延長EF交AB于G,連接DG,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:ADG FDG;GB=2AG;GDEBEF;SBEF= .在以上4個結(jié)論中,正確的有
8、 ( C )A.1個B.2個 C.3個D.4個-14-3.(2016廣東)如圖,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF為邊的正方形EFGH的周長為 ( B )-15-二、填空題4.(2015上海)已知E是正方形ABCD的對角線AC上一點,AE=AD,過點E作AC的垂線,交邊CD于點F,那么FAD=22.5度.5.(2015日照)邊長為1的一個正方形和一個等邊三角形如圖擺放,則ABC的面積為 .-16-三、解答題6.(2017懷化)如圖,四邊形ABCD是正方形,EBC是等邊三角形.(1)求證:ABE DCE;(2)求AED的度數(shù).-17-解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,ABC是等邊三角形,BA=BC=CD=BE=CE,ABC=BCD=90,EBC=ECB=60,ABE=ECD=30,(2)BA=BE,ABE=30,BAE= (180-30)=75,BAD=90,EAD=90-75=15,同理可得ADE=15,AED=180-15-15=150.
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