數(shù)學(xué)第二部分 五 立體幾何 5.3.1 立體幾何大題 理

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1、5.35.3立體幾何大題立體幾何大題-2-3-4-5-6-1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行常用的方法:利用平行公理,即證兩條直線同時(shí)和第三條直線平行;利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;利用三角形的中位線定理證線線平行;利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法:利用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質(zhì);勾股定理;線面垂直的性質(zhì):即要證兩直線垂直,只需證明一直線垂直于另一直線所在的平面即可,即l,ala.-7-2.證明線面平行和線面垂直的常用方法(1)證明線面平行的常用方法:利用線面平行的判定定理把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行;利用面面平行的性質(zhì)定

2、理把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行.(2)證明線面垂直的常用方法:利用線面垂直的判定定理把線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;利用面面垂直的性質(zhì)定理把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直;利用常見結(jié)論,如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面等.-8-3.證明面面平行和面面垂直的常用方法(1)證明面面平行的方法證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行,再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般從現(xiàn)有直線

3、中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.-9-4.利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面,的法向量分別為=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),則:(1)線面平行:laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直:laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行:v=va2=a3,b2=b3,c2=c3.(4)面面垂直:vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.-10-5.利用空間向量求空間角(1)線線夾角的計(jì)算:設(shè)l,m的方向向量分別為a,b,且它們的夾角為(2)線面夾角的計(jì)算:設(shè)平面的法向

4、量為n,直線AB與平面所成的角為,如下圖,-11-(3)面面夾角的計(jì)算:設(shè)平面,的法向量分別為n1,n2,與的夾角為,如下圖,6.求點(diǎn)到平面的距離 5 5. .3 3. .1 1空間中的平行與垂直空間中的平行與垂直-13-考向一考向二平行與垂直關(guān)系的證明平行與垂直關(guān)系的證明解題策略一解題策略一幾何法幾何法例1(2017江蘇,15)如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.-14-考向一考向二證明 (1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳BAD,EFAD,所以EFAB.又因?yàn)?/p>

5、EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC,所以ADAC.-15-考向一考向二解題心得從解題方法上說,由于線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個(gè)解題過程始終沿著線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉(zhuǎn)化途徑進(jìn)行.-16-考向一考向二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,

6、PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別是PB,PD的中點(diǎn).(1)求證:PB平面FAC;(2)求三棱錐P-EAD的體積;(3)求證:平面EAD平面FAC.-17-考向一考向二(1)證明 連接BD,與AC交于點(diǎn)O,連接OF,在PBD中,O,F分別是BD,PD的中點(diǎn),所以O(shè)FPB.又因?yàn)镺F平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC.(2)解 因?yàn)镻A平面ABCD,所以PA為三棱錐P-ABD的高.因?yàn)镻A=AB=2,底面ABCD是正方形, 因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以SPAE=SABE,-18-考向一考向二(3)證明 易知AD平面PAB.因?yàn)镻B平面PAB,所以ADPB.在等腰直角三角形PAB

7、中,AEPB.又AEAD=A,AE平面EAD,AD平面EAD,所以PB平面EAD.又OFPB,所以O(shè)F平面EAD.又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.-19-考向一考向二解題策略二解題策略二解析法解析法例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,BAD=60,E是PA的中點(diǎn).求證:(1)直線PC平面BDE;(2)BDPC.-20-考向一考向二證明 設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60,AB=2,底面ABCD為菱形,所以BO=1,AO=CO= ,ACBD.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)B,OC所在直線分別為x軸、y軸,過點(diǎn)O且平行于PA的直線為z軸,建

8、立空間-21-考向一考向二(1)設(shè)平面BDE的法向量為n1=(x1,y1,z1), -22-考向一考向二解題心得向量坐標(biāo)法:利用空間向量證明空間的平行或垂直關(guān)系,首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量,最后利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算證明.用向量方法證明直線ab,只需證明向量a=b(R)(其中a,b分別是直線a,b的方向向量);證直線和平面垂直,只需證直線的方向向量與平面的法向量共線;證直線和平面平行,除證直線的方向向量與平面的法向量垂直外,還需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.-23-考向一考向二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017北京海淀一模,理18)如圖,由直三棱柱ABC-A1B1C1

9、和四棱錐D-BB1C1C構(gòu)成的幾何體中,BAC=90,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD= ,平面CC1D平面ACC1A1.(1)求證:ACDC1;(2)若M為DC1的中點(diǎn),求證:AM平面DBB1;-24-考向一考向二(1)證明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,故ACCC1.因?yàn)槠矫鍯C1D平面ACC1A1,且平面CC1D平面ACC1A1=CC1,所以AC平面CC1D.又C1D平面CC1D,所以ACDC1.(2)證明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,所以AA1AB,AA1AC,又BAC=90,所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,-25-考向一考向二

10、依據(jù)已知條件可得 所以AM與平面DBB1所成角為0,又AM平面DBB1,即AM平面DBB1.-26-考向一考向二-27-考向一考向二與平行、垂直有關(guān)的存在性問題與平行、垂直有關(guān)的存在性問題例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)求證:PD平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.-28-考向一考向二(1)證明 因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,所以

11、PD平面PAB.(2)解 取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),-29-考向一考向二-30-考向一考向二解題心得1.先假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立),再在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè);否則,給出肯定結(jié)論.2.空間向量最適合解決這類探索性問

12、題,解題時(shí)無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只需把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”,即通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷,這就是計(jì)算推理法.-31-考向一考向二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017北京海淀二模,理17)如圖,在三棱錐P-ABC中,側(cè)棱PA=2,底面ABC為正三角形,邊長為2,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D,ADDB,且DB=1.(1)求證:AC平面PDB;(2)求二面角P-AB-C的余弦值;(3)在線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC平面ABE?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.-32-考向一考向二(1)證明 因?yàn)锳DDB,且DB=1,AB=2,所以AD= ,所以DBA=60.因?yàn)锳BC為正三角形,所以CAB=60.又由已知可知ACBD為平面四邊形,所以DBAC.因?yàn)锳C平面PDB,DB平面PDB,所以AC平面PDB.(2)解 由點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D,可得PD平面ACBD,所以PDDA,PDDB.如圖,以D為原點(diǎn),DB為x軸,DA為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,-33-考向一考向二易知平面ABC的一個(gè)法向量n=(0,0,1).設(shè)m=(x,y,z)為平面PAB的一個(gè)法向量,所以在線段PC上不存在點(diǎn)E使得PC平面ABE.