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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 (IV)
一、選擇題（本大題共12題，每題5分，滿分60分，每小題只有一個(gè)正確答案）
1.給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是( )
A． 4 B． 2 C． 1 D． －3
2.已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥”的否命題是( )
A． 若a2＋b2＜，則a＋b≠1
B． 若a＋
2、b＝1，則a2＋b2＜
C． 若a＋b≠1，則a2＋b2＜
D． 若a2＋b2≥，則a＋b＝1
3.設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足＝－1，則曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為( )
A． 2 B． －1 C． 1 D． －2
4.已知條件p：x<－3或x>1，條件q：x>a，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≥－1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1
3、D．a(chǎn)≤－3
5.已知p：?x0∈R，mx＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A． [1，＋∞) B． (－∞，－1] C． (－∞，－2] D． [－1,1]
6.已知雙曲線my2－x2＝1(m∈R)與橢圓＋x2＝1有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x
7.已知橢圓C：＋＝1(a
4、>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
8.已知拋物線y2＝x，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO的面積之和的最小值是( )
A． 2 B． 3 C． D．
9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝ax2＋bx＋c的
5、圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是( )
10.過(guò)曲線y＝上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A． B．或
C． D．
11.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓頂點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于點(diǎn)P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是( )
A． B． C． D．
12.函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)
6、上是( )
A． 單調(diào)增函數(shù)
B． 單調(diào)減函數(shù)
C． 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
D． 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
第II卷 非選擇題 （共90分）
二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分)
13.若曲線y＝xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
14.已知函數(shù)f(x)＝
7、x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，則a＋b等于________．
15.設(shè)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________．
16.點(diǎn)P在橢圓x2＋＝1上，點(diǎn)Q在直線y＝x＋4上，若|PQ|的最小值為，則m＝________.
三、解答題(共6小題,共70分)
17. （10分）已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋4在[2
8、，＋∞)上單調(diào)遞增，命題q：關(guān)于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集為R.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．
18.（12分）已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左，右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2，離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，)滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值．
19. （12分）雙曲線的方程是－y2＝1.
(1)直線l的傾斜角為，被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(3,1)作直線l′，使其被雙曲線截得的弦恰被P點(diǎn)平分，求直線l′的方程．
20.
9、 （12分）斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若線段|AB|的長(zhǎng)為8.
(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)求直線的斜率k.
21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．
22.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)＝x3－ax(a為實(shí)數(shù))．
(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)
10、，求f(x)的解析式；
(2)若a>3，試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)是否存在a，使得x∈(0,1]時(shí)，f(x)有最大值1?
高二數(shù)學(xué)（文科）試題答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.A
8.B
9.D
10.B
11.C
12.A
13.(e，e)
14.18
15.
16.3
17.若命題p為真，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為x＝m，則m≤2.
若命題q為真，當(dāng)m＝0時(shí)原不等式為－8x＋4>0，顯然不成立．
當(dāng)m≠0時(shí)，則有?1
11、或
解得m≤1或2＜m＜4.
18.解 (1)由題意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因?yàn)閑＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直線斜率顯然存在，
設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程得
化簡(jiǎn)得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．
①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為y－＝－(x－)，
因?yàn)閨MA|＝|MB
12、|，
所以點(diǎn)M在AB的中垂線上，
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②當(dāng)k＝0時(shí)，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意．
所以斜率k的取值為0，或．
19.解 (1)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，代入雙曲線方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，
Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，
∴m2>3.
設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，
則x1＋x2＝－m，x1x2＝.
由弦長(zhǎng)公式|AB|＝|x1－x2|，得
,
∴＝，即m＝±5，滿足m2>3，
∴直線l的方程為y＝x
13、±5.
(2)設(shè)直線l′與雙曲線交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)兩點(diǎn)，
點(diǎn)P(3,1)為A′B′的中點(diǎn)，則x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由＝4，＝4，
兩式相減得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
∴＝，
∴l(xiāng)′的方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
把此方程代入雙曲線方程，整理得5y2－10y＋＝0，
滿足Δ>0，
即所求直線l′的方程為3x－4y－5＝0.
20.解 (1)化y＝x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝4y，
由此，可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y
14、2)，
由拋物線的定義知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1，
于是|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋2，
又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，
由(1)得，拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，
所以直線l的方程為y＝kx＋1，
所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，
由直線l的方程與拋物線方程得kx＋1＝，
即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，
代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.
21.(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
15、
故f(x)＝x－.
(2)證明 設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知
曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．
所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.
22.(1)f(x)＝－x3＋ax．
(
16、2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明見解析.(3)存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1
【解析】(1)設(shè)x∈(0,1]，則－x∈[－1,0)．
∵f(x)為偶函數(shù)，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝－x3＋ax.
(2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明如下：
f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增．
(3)當(dāng)a>3時(shí)，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2與a>3矛盾．
當(dāng)0≤a≤3時(shí)，令f′(x)＝a－3x2＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
x∈時(shí)，f′(x)>0，
∴f(x)在上單調(diào)遞增．
x∈時(shí)，f′(x)<0，
∴f(x)在上單調(diào)遞減．
又函數(shù)f(x)在x＝處連續(xù)，
∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1.
解得a＝，
當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，f(x)在(0,1]上無(wú)最大值．
綜上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.
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