2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理 (II)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理 (II) 說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡. 一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.） 1．若，則等于（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，且滿足f(x)=2 f ′(e)x+ln x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f ′(e)=（ ）

2、 A. B．e C. - D．- e 3．等于（ ） A．0 B．1 C．2 D． 4．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為(　　)． A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 5．設(shè)f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)

3、，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則fxx(x)＝（ ） A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 6．內(nèi)接于半徑為R的圓的矩形的周長(zhǎng)的最大值為(　　)． A．R B．2R C．R D． 4R 7．方程-lnx -2=0的根的個(gè)數(shù)為（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為(　

4、　) A. 1 B. C. D. 9．設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. [－∞，2) B. (1，2] C. (0，3] D. (4，＋∞] 10．以初速40 m/s豎直向上拋一物體，t s時(shí)刻的速度v＝40－10t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為（ ） A. m B. m C. m D. m 11．甲乙丙三人代表班級(jí)參加校運(yùn)會(huì)的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽，每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人參加，他們的身高各不同，

5、現(xiàn)了解到以下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的是沒報(bào)鉛球；（3）最矮的參加了跳遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒參加跑步．可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是（ ） A．跑步比賽 B．跳遠(yuǎn)比賽 C．鉛球比賽 D．不能判定 12．如圖，直線l和圓C，當(dāng)l從l0開始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過90°）時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是（ ） 第Ⅱ卷（非選擇題） 二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.） 13．曲線在點(diǎn)M(π，0)處的切線方程為________．

6、 14．在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，從n＝k到n＝k+1時(shí)，左邊需要增加的代數(shù)式是.________________． 15．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋4ax＋c(a>0)在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是______________． 16．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為 . 三、解答題（本大題共6 小題，共70分） 17. （10分）求證： ex≥(1＋x) ≥ln(1＋x)． 18. （12分）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不間斷的曲線，且f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，f

7、(a)>0，f(b)<0.試用反證法證明：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 19．（12分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 20．（12分）設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，是否有關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]對(duì)n≥2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論． 21.（12分）若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－. (1)求函數(shù)的解析式． (

8、2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 22.（12分）設(shè)函數(shù)，其中x∈R. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)確定a的所有可能取值，使在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立（e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． 甘肅省蘭州一中xx-2學(xué)期高二年級(jí)3月考試 數(shù)學(xué)（理）參考答案 一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5分，共60分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A D C C B B A A D 二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13．

9、； 14．； 15．[1，9]； 16． 三、解答題（本大題共6 小題，共70分） 17. （10分）求證： ex≥1＋x >ln(1＋x)． 證明：根據(jù)題意，應(yīng)有x>－1， 設(shè)f(x)＝ex－(1＋x)，則 f′(x)＝ex －1， 由f′(x)=0，得 x=0. 當(dāng)－1< x < 0時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x > 0時(shí)，f′(x)>0． ∴f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min= f(0)=0． ∴ 當(dāng)x>－1，f(x)≥f(0)=0， 即 ex≥1＋x． 設(shè)g(x)＝1+x－ln(1＋x)，則g′(x)＝1－＝， 由

10、g′(x)=0，得 x=0. 當(dāng)－1< x < 0時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x > 0時(shí)，g′(x)>0． ∴g(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)min=g(0)=1． ∴ 當(dāng)x>－1，g(x)≥g(0)=1>0， 即1＋x >ln(1＋x)． 18. （12分）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]是的圖像連續(xù)不間斷，且f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，f(a)>0，f(b)<0.試用反證法證明：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)不間斷，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)

11、·f(b)<0.所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在零點(diǎn)x0， 假設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上還存在一個(gè)零點(diǎn)x1（x1≠x0），即f(x1)=0， 由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減； 若x1>x0，則f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾， 若x1 f(x0)，即0>0，矛盾， 因此假設(shè)不成立，故y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 19．（12分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，箱

12、底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 解：設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm，則箱子高h(yuǎn)＝ cm. 箱子容積V＝V(x)＝x2h＝(0

13、，最大容積為16 000 cm3. 20．（12分）設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，是否有關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]對(duì)n≥2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論． 解：　當(dāng)n＝2時(shí)，f(1)＝g(2)[f(2)－1]， 得. 當(dāng)n＝3時(shí)，f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]， 得＝＝3. 猜想g(n)＝n(n≥2)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n－1)]恒成立． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即f(1)＋f

14、(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1) [ f(k＋1)－]－k＝(k＋1) [ f(k＋1) -1]， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)一切n≥2的自然數(shù)n，等式都成立． 故存在函數(shù)g(n)＝n使等式成立． 21.（12分）若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－. (1)求函數(shù)的解析式． (2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　f′(x)

15、＝3ax2－b. (1)由題意得 解得 故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  －  因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值－， 所以函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4的圖象大致如圖所示． 若f(x)＝k有3個(gè)不同的根，則直線y＝k與函數(shù)f(x) 的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以－