《數(shù)學(xué)第二部分 七 解析幾何 7.3.1 壓軸大題2 直線與圓錐曲線 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第二部分 七 解析幾何 7.3.1 壓軸大題2 直線與圓錐曲線 理（44頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、7.37.3 壓軸大題壓軸大題22直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線-2-3-4-5-6-1.橢圓、雙曲線中a,b,c,e之間的關(guān)系 -7-2.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計(jì)算”(1)定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)計(jì)算,就是利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí),橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn0),拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a0).(3)橢圓與雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常數(shù),當(dāng)AB0時(shí),表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;當(dāng)
2、BA0時(shí),表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)AB0相交;0)與直線l1:x- y+4=0相切,設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),ABx軸于B,且動(dòng)點(diǎn)N滿足 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求OPQ面積的最大值.解 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y),A(x0,y0),因?yàn)锳Bx軸于B,所以B(x0,0).-24-考向一考向二考向三所以O(shè)PQ面積的最大值為1. -25-考向一考向二考向三解題策略三解題策略三定義法定義法例3已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2
3、)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),求|AB|.難點(diǎn)突破 (1)將圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心連線的關(guān)系,從而利用橢圓的定義求出軌跡方程.(2)在三個(gè)圓心構(gòu)成的三角形中,由兩邊之差小于第三邊得動(dòng)圓的最大半徑為2,此時(shí)動(dòng)圓圓心在x軸上,由l與圓P,圓M都相切構(gòu)成相似三角形,由相似比得l在x軸上的截距,利用l與圓M相切得l斜率,聯(lián)立直線與曲線C的方程,由弦長公式求出|AB|.-26-考向一考向二考向三解 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且
4、與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長半軸長為2,短半軸長為 的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為 =1(x-2).(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4.若l的傾斜角不為90,由r1R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,-27-考向一考向二考向三-28-考向一考向二考向三解題心得1.若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某已知曲線的定義,可直接設(shè)出相應(yīng)的曲線方程,用待定系數(shù)法或題中所
5、給幾何條件確定相應(yīng)系數(shù),從而求出軌跡方程.2.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量.-29-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.(1)證明 因?yàn)閨AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|
6、EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,-30-考向一考向二考向三(2)解 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),-31-考向一考向二考向三故四邊形MPNQ的面積 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8 ).當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8 ).-32-考向一考向二
7、考向三直線和圓的綜合直線和圓的綜合解題策略解題策略幾何法幾何法例4(2017全國,理20)已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.難點(diǎn)突破 (1)因圓M是以AB為直徑的圓,要證原點(diǎn)O在圓M上,只需證OAOBkOAkOB=-1;(2)聯(lián)立直線與拋物線的方程線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)圓心M的坐標(biāo)(含參數(shù))r=|OM|;圓M過點(diǎn)P(4,-2) =0參數(shù)的值直線l與圓M的方程.-33-考向一考向二考向三解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 所以
8、OAOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上. -34-考向一考向二考向三(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=- .當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為 ,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.-35-考向一考向二考向三解題心得處理直線與圓的綜合問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如經(jīng)常用到弦
9、心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡化.-36-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知圓O:x2+y2=4,點(diǎn)A( ,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點(diǎn)B的軌跡為.(1)求曲線的方程;(2)直線AB交圓O于C,D兩點(diǎn),當(dāng)B為CD的中點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程.-37-考向一考向二考向三解 (1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,切點(diǎn)為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+ |AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,則|AB|=2|OM|,故|AB|+2|
10、OM|=|AB|+|AB|=4.所以點(diǎn)B的軌跡是以A,A為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.-38-考向一考向二考向三(2)因?yàn)锽為CD的中點(diǎn), -39-考向一考向二考向三直線與圓錐曲線的綜合直線與圓錐曲線的綜合解題策略解題策略判別式法判別式法例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1: (ab0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.難點(diǎn)突破 (1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=1,由點(diǎn)P在橢圓上知b,從而求得橢圓方程.(2)求直線方程即求直線方程中的斜率k,截距m,由l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2相切,
11、聯(lián)立兩個(gè)方程組,由判別式等于0得出關(guān)于k,m的兩個(gè)方程,解之得直線方程.-40-考向一考向二考向三解 (1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),點(diǎn)P(0,1)在C1上,所以c=1,b=1,所以a2=b2+c2=2.所以橢圓C1的方程為 +y2=1.(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.-41-考向一考向二考向三因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1.解題心得1.判
12、斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.2.依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),聯(lián)立方程組并消元轉(zhuǎn)化為一元方程,若二次項(xiàng)系數(shù)為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.-42-考向一考向二考向三(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,若斜率為k(k0)的直線l與x軸、橢圓C相交于點(diǎn)A,M,N(點(diǎn)A在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè)),且NF2F1=MF2A.求證:直線l恒過定點(diǎn),并求出斜率k的取值范圍.-43-考向一考向二考向三(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0),M(x1,y1),N(x2,y2). 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)0,得m22k2+1,-44-考向一考向二考向三化簡得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
數(shù)學(xué)第二部分 七 解析幾何 7.3.1 壓軸大題2 直線與圓錐曲線 理
