2022年高三上學期第一次月考數學試卷（理科） 含解析(IV)

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1、2022年高三上學期第一次月考數學試卷（理科） 含解析(IV) 　 一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案涂在答題卡上． 1．已知集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，則下列不正確的是（　?。? A．A?B B．A∩B=A C．B∩（?zA）=Φ D．A∪B=B 2．函數的最大值和最小值分別是（　　） A．， B．，﹣2 C．2， D．2，﹣2 3．函數f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實數a的取值范圍是（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[0，+

2、∞） D．（2，+∞） 4．要得到函數y=3cosx的圖象，只需將函數y=3sin（2x﹣）的圖象上所有點的（　?。? A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），所得圖象再向左平移個單位長度 B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），所得圖象再向右平移個單位長度 C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象再向左平移個單位長度 D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象再向右平移個單位長度 5．在△ABC中，如果邊a，b，c滿足a≤（b+c），則∠A（　?。? A．一定是銳角 B．一定是鈍角 C．一定是直角 D．以上都有可能 6．設0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsin

3、x＜1”的（　　） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7．設方程3x=|lg（﹣x）|的兩個根為x1，x2，則（　?。? A．x1x2＜0 B．x1x2=0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 8．若函數f（x）=3x﹣x3在區(qū)間（a2﹣12，a）上有最小值，則實數a的取值范圍是（　?。? A． B．（﹣1，4） C．（﹣1，2] D．（﹣1，2） 　 二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案填寫在答題紙上． 9． =　?。? 10．已知，則=　?。? 11．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面積

4、為，則=　?。? 12．若函數，則f≤2}，若A?B，則實數a的取值范圍是　　． 　 三．解答題：本大題共6小題，共80分，將解題過程及答案填寫在答題紙上． 15．設函數， （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調增區(qū)間； （Ⅱ）當時，f（x）的最小值為0，求實數m的值． 16．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中： （1）兩種大樹各成活1株的概率； （2）成活的株數ξ的分布列與期望． 17．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱AA1的長為3，底面ABCD是邊長為2的正方

5、形，E是棱BC的中點． （Ⅰ）求證：BD1∥平面C1DE； （Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值； （Ⅲ）在側棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE？證明你的結論． 18．已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R． （Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程； （Ⅱ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍； （Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 19．已知曲線C的方程為y2=4x（x＞0），曲線E是以F1

6、（﹣1，0）、F2（1，0）為焦點的橢圓，點P為曲線C與曲線E在第一象限的交點，且． （1）求曲線E的標準方程； （2）直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍． 20．函數． （1）若f（x）在x=2處取得極值，求p的值； （2）若f（x）在其定義域內為單調函數求p的取值范圍； （3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案涂在答題卡上． 1．已知集

7、合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，則下列不正確的是（　?。? A．A?B B．A∩B=A C．B∩（?zA）=Φ D．A∪B=B 【考點】交集及其運算． 【分析】由已知得A?B，A∩B=A，A∪B=B，B∩（?zA）={6，10，12，14，…}． 【解答】解：∵集合A={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，16，…，2n}， B={x|x=2n，n∈N*}={2，4，6，8，…，2n}， ∴A?B，A∩B=A，A∪B=B， B∩（?zA）={6，10，12，14，…}， 故A，B，D均正確，C錯誤． 故選：C． 　 2．函數的最大值和最

8、小值分別是（　?。? A．， B．，﹣2 C．2， D．2，﹣2 【考點】三角函數的最值． 【分析】由題意可得y=﹣（cosx﹣1）2+2，且cosx∈[﹣1，]，再利用二次函數的性質求得y的最大值和最小值． 【解答】解：∵函數=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，∴cosx∈[﹣1，]， 故當cosx=﹣1時，即x=π時，函數y取得最小值為﹣4+2=﹣2， 當cosx=時，即x=時，函數y取得最大值為﹣+2=， 故選：B． 　 3．函數f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實數a的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2）

9、C．[0，+∞） D．（2，+∞） 【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程． 【分析】問題等價于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分離出參數a，轉化為求函數值域問題即可． 【解答】解：函數f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解， 而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因為x＞0，所以2﹣＜2， 所以a的取值范圍是（﹣∞，2）． 故選B． 　 4．要得到函數y=3cosx的圖象，只需將函數y=3sin（2x﹣）的圖象上所有點的（　　） A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），所得圖象再向左平移個單位長

10、度 B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），所得圖象再向右平移個單位長度 C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象再向左平移個單位長度 D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象再向右平移個單位長度 【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】利用誘導公式將y=3cosx轉化為：y=3sin（+x），再利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的伸縮變換與平移變換即可得到答案． 【解答】解：∵y=3cosx=3sin（+x），令y=f（x）=3sin（+x）， 要得到y=f（x）=3sin（+x）的圖象， 需將函數y=3sin（2x﹣）的圖象上所有點的

11、橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）， 得到g（x）=3sin（x﹣）； ∵g（x+）=3sin[（x+）﹣]=3sin（+x）=f（x）， 即：將g（x）=3sin（x﹣）的圖象再向左平移個單位長度，可得到y=f（x）=3sin（+x）的圖象． 故選C． 　 5．在△ABC中，如果邊a，b，c滿足a≤（b+c），則∠A（　　） A．一定是銳角 B．一定是鈍角 C．一定是直角 D．以上都有可能 【考點】余弦定理． 【分析】已知不等式兩邊平方，利用余弦定理表示出cosA，變形后利用基本不等式求出cosA的范圍，利用余弦函數性質求出A的范圍，即可做出判斷． 【解答】解：已知不等

12、式兩邊平方得：a2≤， 利用余弦定理得：cosA=≥=≥=， ∵∠A為三角形的內角， ∴0＜∠A＜60°，即∠A一定是銳角． 故選A 　 6．設0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點】不等關系與不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；正弦函數的單調性． 【分析】由x的范圍得到sinx的范圍，則由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求． 【解答】解：∵0＜x＜， ∴0＜sinx＜1， 故xsin2x＜xsinx， 若“xsin

13、x＜1”，則“xsin2x＜1” 若“xsin2x＜1”，則xsinx＜，＞1．此時xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1． 由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分條 故選B． 　 7．設方程3x=|lg（﹣x）|的兩個根為x1，x2，則（　?。? A．x1x2＜0 B．x1x2=0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 【考點】函數的零點． 【分析】分別作出函數y=3x和y=|lg（﹣x）|的圖象，由圖象先確定兩個根的取值范圍，然后根據指數函數和對數函數的性質進行判斷． 【解答】解：分別作出函數y=3x和y=|lg（﹣x）

14、|的圖象如圖： 由圖象可知程3x=|lg（﹣x）|的兩個根為x1，x2，不妨設x1＜x2， 則兩根滿足﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0， ∴3x1=|lg（﹣x1）|=lg（﹣x1），① 3x2=|lg（﹣x2）|=﹣lg（﹣x2），② 且3x1＜3x2， ①﹣②得 3x1﹣3x2=lg（﹣x1）+lg（﹣x2）=lg（x1x2） ∵3x1＜3x2， ∴l(xiāng)g（x1x2）=3x1﹣3x2＜0， 即0＜x1x2＜1． 故選：D． 　 8．若函數f（x）=3x﹣x3在區(qū)間（a2﹣12，a）上有最小值，則實數a的取值范圍是（　?。? A． B．（﹣1，4） C．（﹣1，

15、2] D．（﹣1，2） 【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值． 【分析】求函數f（x）=3x﹣x3導數，研究其最小值取到位置，由于函數在區(qū)間（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值點的橫坐標是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到關于參數a的等式，解之求得實數a的取值范圍 【解答】解：由題 f'（x）=3﹣3x2， 令f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1 由此得函數在（﹣∞，﹣1）上是減函數，在（﹣1，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數 故函數在x=﹣1處取到極小值﹣2，判斷知此極小值必是區(qū)間（a2﹣12，a）上的最小值 ∴a2﹣12＜﹣1

16、＜a，解得﹣1＜a＜ 又當x=2時，f（2）=﹣2，故有a≤2 綜上知a∈（﹣1，2] 故選C 　 二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案填寫在答題紙上． 9． =　?。? 【考點】定積分的簡單應用． 【分析】求出被積函數2x﹣的原函數，將積分的上限、下限代入求值即可． 【解答】解： =（ x2+x﹣1）|13 =32+3﹣1﹣（ 12+1﹣1）=， 故答案為 　 10．已知，則=　﹣3?。? 【考點】指數式與對數式的互化． 【分析】先求出a=，由此能求出的值． 【解答】解：∵， ∴=，∴a=， ∴==﹣3． 故答案為：﹣3． 　 11．

17、在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面積為，則=　　． 【考點】正弦定理． 【分析】利用三角形面積公式列出關系式，將sinA，b，以及已知面積相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可． 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，b=1，其面積為， ∴bcsinA=，即c?=， 解得：c=4， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，即a=， 則由正弦定理==得： ===． 故答案為： 　 12．若函數，則f=f（x﹣2）+1，即此時函數的周期是2， 則f+1=…=f（0）+1007=f（﹣2）+1008=1﹣

18、2+1008=1007， 故答案為：1007． 　 13．當y=2sin6x+cos6x取得最小值時，cos2x=　3﹣2?。? 【考點】三角函數的最值． 【分析】先根據同角的三角函數的關系得到y=sin6x+1﹣3sin2x+3sin4x，再設sin2x=t，則t∈[0，1]，構造函數f（t）=t3+3t2﹣3t+1，t∈[0，1]，利用導數和最值的關系求出 sin2x=﹣1，再根據二倍角公式即可求出答案． 【解答】解：y=2sin6x+cos6x=2sin6x+（cos2x）3=2sin6x+（1﹣sin2x）3=2sin6x+1﹣3sin2x+3sin4x﹣sin6x=sin

19、6x+1﹣3sin2x+3sin4x， 設sin2x=t，則t∈[0，1]， 則f（t）=t3+3t2﹣3t+1，t∈[0，1]， ∴f′（t）=3t2+6t﹣3， 令f′（t）=3t2+6t﹣3=0，解得t=﹣1， 當f′（t）＞0時，即t∈（﹣1，1]，函數f（t）單調遞增， 當f′（t）＜0時，即t∈[0，﹣1]，函數f（t）單調遞減， ∴當t=﹣1時，函數f（t）有最小值， ∴sin2x=﹣1時，函數y=2sin6x+cos6x取得最小值， ∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2（﹣1）=3﹣2， 故答案為：． 　 14．已知集合A={x|x2﹣ax+3≤0}，

20、B={x|1≤log2（x+1）≤2}，若A?B，則實數a的取值范圍是　?。? 【考點】集合的包含關系判斷及應用． 【分析】先化簡集合B，再利用A?B，可得A=?或，即可求出實數a的取值范圍． 【解答】解：集合B={x|1≤log2（x+1）≤2}={x|log22≤log2（x+1）≤log24} ={x|2≤x+1≤4}={x|1≤x≤3}， ∵A?B， ∴A=?或， ∴﹣2＜a＜2或2≤a≤4， ∴實數a的取值范圍是． 故答案為． 　 三．解答題：本大題共6小題，共80分，將解題過程及答案填寫在答題紙上． 15．設函數， （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調增區(qū)

21、間； （Ⅱ）當時，f（x）的最小值為0，求實數m的值． 【考點】三角函數的周期性及其求法；三角函數的最值． 【分析】（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式、正弦公式化簡解析式，由三角函數的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函數的增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間； （Ⅱ）由x的范圍求出2x+的范圍，由正弦函數的圖象、性質和條件列出方程，求出m的值． 【解答】解：（Ⅰ） = =， 由得， ， 則f（x）的單調增區(qū)間為，k∈Z， 且f（x）的最小正周期為T=π； （Ⅱ）∵，∴， 則， ∵f（x）的最小值為0， ∴，解得． 　 16．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．

22、設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中： （1）兩種大樹各成活1株的概率； （2）成活的株數ξ的分布列與期望． 【考點】離散型隨機變量及其分布列；n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率． 【分析】（1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相乘即可． （2）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可． 【解答】解：設Ak表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2 Bl表示乙種大樹成活1株，1=0，1，2 則Ak，Bl獨立．由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式有 P（Ak）=

23、C2k（）k（）2﹣k，P（Bl）=C21（）l（）2﹣l． 據此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=． P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=． （1）所求概率為P（A1?B1）=P（A1）?P（B1）=×=． （2）解法一：ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且 P（ξ=0）=P（A0?B0）=P（A0）?P（B0）=×=， P（ξ=1）=P（A0?B1）+P（A1?B0）=×+×=， P（ξ=2）=P（A0?B2）+P（A1?B1）+P（A2?B0）=×+×+×=， P（ξ=3）=P（A1?B2）+P（A2?B1）=×+×=． P（ξ=4）=P（A2?B2）=

24、×=． 綜上知ξ有分布列 ξ 0 1 2 3 4 P 從而，ξ的期望為 Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）． 解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分別表示甲乙兩種樹成活的株數，則 ξ1：B（2，），ξ2：B（2，） 故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1 從而知Eξ=Eξ1+Eξ2=． 　 17．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱AA1的長為3，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是棱BC的中點． （Ⅰ）求證：BD1∥平面C1DE； （Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值； （Ⅲ）在側棱BB1上是否存在點P，使得CP

25、⊥平面C1DE？證明你的結論． 【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定． 【分析】以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出相關點的坐標．（Ⅰ）求出平面C1DE的一個法向量，，通過數量積為0，推出BD1∥平面C1DE； （Ⅱ）求出平面ABCD的一個法向量，利用向量的數量積求解夾角的余弦函數值，然后求解二面角C1﹣DE﹣C的正切值． （Ⅲ）假設側棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設P（2，2，t），利用與共線，列出不等式組，求解即可． 【解答】解：以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間

26、直角坐標系D﹣xyz，則B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中點， ∴E（1，2，0）， （Ⅰ）設平面C1DE的一個法向量為， 則， ∵，∴， ∴，又DE?平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE； （Ⅱ）平面ABCD的一個法向量為， ∴，，， ∴二面角C1﹣DE﹣C的正切值為； （Ⅲ）假設側棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設P（2，2，t），則，且與共線， ∴存在實數λ使得，即這樣的λ不存在， ∴在側棱BB1上不存在點P，使得CP⊥平面C1DE． 　 18．已知函數f（x）=x2+ax

27、﹣lnx，a∈R． （Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程； （Ⅱ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍； （Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值． 【分析】（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決． （II）

28、先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，2]上是減函數可得到其導函數在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得a的范圍． （III）先假設存在，然后對函數g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e2能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3． 【解答】解：（I）a=0時，曲線y=f（x）=x2﹣lnx， ∴f′（x）=2x﹣，∴g′（1）=1，又f（1）=1 曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x﹣y=0． （II）在[1，2]上恒成立， 令h（x）=2x2+ax﹣1，有得， 得

29、 （II）假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， = ①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去）， ②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增 ∴，a=e2，滿足條件． ③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去）， 綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3． 　 19．已知曲線C的方程為y2=4x（x＞0），曲線E是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）為焦點的橢圓，點P為曲線C與曲線E在第一象限的交點，且． （1）求曲線E的標

30、準方程； （2）直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍． 【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程． 【分析】（1）依題意，c=1，，利用拋物線的定義可得，由此能求出曲線E的標準方程． （2）設直線l與橢圓E交點A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中點F2的坐標為（x0，y0），設直線方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）與聯立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，由韋達定理得AB的中點（，），代入曲線C的方程為y2=4x（x＞0），得9m=﹣16k（3+4k2），由此能求出直線l的

31、斜率k的取值范圍． 【解答】解：（1）依題意，c=1，， 利用拋物線的定義得， ∴P點的坐標為… ，又由橢圓定義得．… ∴b2=a2﹣c2=3， 所以曲線E的標準方程為．… （2）設直線l與橢圓E交點A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中點M的坐標為（x0，y0）， 設直線方程為y=kx+m（k≠0，m≠0） 與聯立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，①… 由韋達定理得x1+x2=﹣，， ∴x0=，， 將中點（，）代入曲線C的方程為y2=4x（x＞0）， 整理，得9m=﹣16k（3+4k2），②… 將②代

32、入①得162k2（3+4k2）＜81 令∵x∈（1，eb）t=4k2（t＞0）， 則64t2+192t﹣81＜0，∴， ∴．… 　 20．函數． （1）若f（x）在x=2處取得極值，求p的值； （2）若f（x）在其定義域內為單調函數求p的取值范圍； （3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍． 【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的單調性． 【分析】（I）求導函數，利用f（x）在x=2處取得極值，可得f′（2）=0，從而可求p的值； （II）若f（x）在其定義域內為單調函數，則f′（x）≥0或f′（x）≤0

33、恒成立，若f′（x）≥0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即；若f′（x）≤0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即，由此可求p的取值范圍； （III）先確定g（x）的值域為[2，2e]．再分類討論，確定f（x）的值域，利用在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，構建不等式，即可求p的取值范圍． 【解答】解：（I）f′（x）= ∵f（x）在x=2處取得極值，∴f′（2）=0 ∴，∴p=； （II）若f（x）在其定義域內為單調函數，則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立 若f′（x）≥0恒成立，則在（0，+∞）上恒成立，即 若f′（x）≤0恒成立，則在（0，+

34、∞）上恒成立，即 令= ∴x=1時，h（x）max=1；x→0或x→+∞時，h（x）min→0 ∴p≤0或p≥1； （III）∵g（x）在[1，e]上單調遞減，∴g（x）的值域為[2，2e]． ①若p≥1，由（II）知，f（x）在[1，e]上單調遞增，∴f（x）的值域為[0，] ∵在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立， ∴，∴p＞； ②若p≤0，由（II）知，f（x）在[1，e]上單調遞減，∴f（x）的值域為[，0] ∵f（x）max=0＜2=g（x）min，∴此時不滿足題意 ③若0＜p＜1，則≤，函數在[1，e]上單調遞增 ∴≤e﹣ ∵e﹣＜2=g（x）min，∴此時不滿足題意 綜上，p＞． 　 xx11月7日