2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 3 弧度制學案 北師大版必修4

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 3 弧度制學案 北師大版必修4 學習目標　1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數(shù)集一一對應關系.3.掌握并能應用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式. 知識點一　角度制與弧度制 思考1　在初中學過的角度制中，1度的角是如何規(guī)定的？ 答案　周角的等于1度. 思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何規(guī)定的，如何表示？ 答案　在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角，用符號rad表示. 思考3　“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關系嗎？ 答案　在半徑為1的圓

2、中，1弧度的角為長度為1的弧所對的圓心角，又當半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑之比是常數(shù)，故1弧度角的大小與所在圓的半徑大小無關. 梳理　(1)角度制和弧度制 角度制 用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制，規(guī)定1度的角等于周角的 弧度制 在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.它的單位符號是rad，讀作弧度.以弧度作為單位來度量角的單位制叫作弧度制 (2)角的弧度數(shù)的計算 設r是圓的半徑，l是圓心角α所對的弧長，則角α的弧度數(shù)的絕對值滿足|α|＝. 知識點二　角度制與弧度制的換算 思考　角度制和弧度制都是度量角的單位制，它們之間如何進行換算呢？ 答案

3、　 利用1°＝ rad和1 rad＝進行弧度與角度的換算. 梳理　(1)角度與弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30°＝57°18′ (2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應關系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 知識點三　扇形的弧長及面積公式 思考　扇形

4、的面積與弧長公式用弧度怎么表示？ 答案　設扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角的弧度數(shù)，則S＝lr，l＝αr. 梳理 α為度數(shù) α為弧度數(shù) 扇形的弧長 l＝ l＝αr 扇形的面積 S＝ S＝lr＝αr2 1.1 rad的角和1°的角大小相等.(　×　) 提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad. 2.用弧度來表示的角都是正角.(　×　) 提示　弧度也可表示負角，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù). 3.“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關.(　√　) 提示　“1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角，是一個定值，與所在圓的半徑大小無

5、關. 類型一　角度與弧度的互化 例1　將下列角度與弧度進行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 考點　弧度制 題點　角度與弧度的互化 解　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 反思與感悟　將角度轉(zhuǎn)化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記π rad＝180°即可求解.把弧度轉(zhuǎn)化為角度時，直接用弧度數(shù)乘以即可. 跟蹤訓練1　(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度. 考點　弧度制 題點　角度與弧度的互化 解　(1)112°30′＝°＝×＝. (

6、2)－＝－°＝－75°. 類型二　用弧度制表示終邊相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角. (1)－1 500°；(2)；(3)－4. 考點　弧度制的應用 題點　弧度制的應用 解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角. (2)∵＝2π＋， ∴與終邊相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角. 反思與感悟　用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時，其中2kπ

7、是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用. 跟蹤訓練2　(1)把－1 480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]內(nèi)找出與角終邊相同的角. 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－， 而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝. ∴－1 480°＝＋2×(－5)π. (2)∵＝×°＝72°， ∴終邊與角的終邊相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 當k＝0時，θ＝72°；當k＝1時，θ＝432°. ∴在[0°，720°]內(nèi)與角終邊相同的角為72°，4

8、32°. 類型三　扇形的弧長及面積公式的應用 例3　(1)若扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為(　　) A.π B. C. D. (2)如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為(　　) A.2 B. C.2sin 1 D. 考點　扇形的弧長及面積 題點　扇形的弧長及面積公式的應用 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)扇形的中心角為120°＝，半徑為， 所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π. (2)連接圓心與弦的中點，則以弦心距、弦長的一半、半徑長為長度的線段構(gòu)成一個直角三角形，半弦長為2，其所對的圓心角也為2，故半徑長為.

9、 這個圓心角所對的弧長為2×＝. 反思與感悟　聯(lián)系半徑、弧長和圓心角的有兩個公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中兩個，就可以求出另一個.求解時應注意先把度化為弧度，再計算. 跟蹤訓練3　一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù). 考點　扇形的弧長及面積 題點　扇形的弧長及面積公式的應用 解　設扇形的半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝4， ∴l(xiāng)＝4－2R，根據(jù)扇形面積公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圓心角為2 rad. 1.下列說法中，錯誤的是(　　) A.“度”與“弧度”是度量角的兩

10、種不同的度量單位 B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關 考點　弧度制 題點　對弧度制概念的理解 答案　D 解析　根據(jù)1度、1弧度的定義可知只有D是錯誤的，故選D. 2.時針經(jīng)過一小時，轉(zhuǎn)過了(　　) A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad 考點　弧度制 題點　角度與弧度的互化 答案　B 解析　時針經(jīng)過一小時，轉(zhuǎn)過－30°， 又－30°＝－ rad，故選B. 3.若θ＝－5，則角θ的終邊在(　　) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限

11、 D.第一象限 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 答案　D 解析　2π－5與－5的終邊相同， ∵2π－5∈， ∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角. 4.已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形圓心角的弧度數(shù)是(　　) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 考點　扇形的弧長及面積 題點　扇形的弧長及面積公式的應用 答案　C 解析　設扇形半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為α， 則由題意得∴或 5.已知扇形AOB的圓心角α為，半徑長R為6，求： (1)弧AB的長； (2)扇形所含弓形的面積. 考點　扇形的弧長與面積公式 題

12、點　扇形的弧長與面積公式的綜合應用 解　(1)l＝α·R＝×6＝4π，所以弧AB的長為4π. (2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π. 如圖所示，過點O作OD⊥AB，交AB于點D，＝120°， 所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°， 于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×6sin 30°＝9. 所以弓形的面積為S扇形OAB－S△OAB＝12π－9. 1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它

13、對應. 2.解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用“180°＝π rad”這一關系式. 易知：度數(shù)× rad＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×＝度數(shù). 3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，在具體應用時，要注意角的單位取弧度. 一、選擇題 1.下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是(　　) A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z) 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 答案　C 解析　A，B中弧度與角度混用，不正確. ＝2π＋，所以與的終邊相同. －315°＝

14、－360°＋45°， 所以－315°也與45°的終邊相同.故選C. 2.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是(　　) A.60°化成弧度是 B.－π化成度是－600° C.－150°化成弧度是－π D.化成度是15° 考點　弧度制 題點　角度與弧度的互化 答案　C 解析　C項中－150°＝－150×＝－π. 3.設角α＝－2弧度，則α所在的象限為(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點　弧度制的應用 題點　角所在象限的判斷 答案　C 解析　∵－π<－2<－， ∴2π－π<2π－2<2π－， 即π<2π－2<π， ∴2π－2為第三象限

15、角， ∴α為第三象限角. 4.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A.－π B.－2π C.π D.－π 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 答案　A 解析　∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋， ∴θ＝－π. 5.若扇形圓心角為，則扇形內(nèi)切圓的面積與扇形面積之比為(　　) A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9 考點　扇形的弧長與面積 題點　扇形的弧長與面積公式的應用 答案　B 解析　設扇形的半徑為R，扇形內(nèi)切圓半徑為r， 則R＝r＋＝r＋2r＝3r. ∴S內(nèi)切圓＝πr2， S扇形＝αR2＝

16、××9r2＝πr2. ∴S內(nèi)切圓∶S扇形＝2∶3. 6.已知一段圓弧的長度等于其所在圓的內(nèi)接正方形的邊長，則這段圓弧對應的圓心角的弧度數(shù)為(　　) A. B. C. D. 考點　弧度制 題點　弧度制的綜合應用 答案　C 解析　設圓內(nèi)接正方形的邊長為a，則該圓的半徑為a，所以圓心角α＝＝，故選C. 二、填空題 7.(2017·陜西榆林一中月考)圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是 . 考點　扇形的弧長與面積公式 題點　扇形的弧長公式 答案　2 解析　設圓的半徑為r，其外切正三角形的邊長為a， 則r＝××a＝a，又

17、弧長為a， 所以圓心角為α＝＝＝＝2. 8.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝ . 考點　弧度制的應用 題點　弧度制與集合的綜合 答案　[－4，－π]∪[0，π] 解析　如圖所示， ∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]. 9.若2π<α<4π，且α與－π角的終邊垂直，則α＝ . 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 答案　π或π 解析　α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z， ∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π； 或者α＝－π＋＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，

18、∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π. 綜上，α＝π或π. 10.如果圓心角為的扇形所對的弦長為2，則扇形的面積為 . 考點　扇形的弧長與面積 題點　扇形的弧長與面積公式的應用 答案　 解析　如圖，作BF⊥AC. 已知AC＝2，∠ABC＝，則AF＝，∠ABF＝. ∴AB＝＝2，即扇形的半徑R＝2. ∴弧長l＝|α|R＝，∴S＝lR＝. 三、解答題 11.已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積； (2)若扇形的周長是30，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 考點　扇形的弧長與面

19、積 題點　扇形的弧長與面積公式的應用 解　(1)設弧長為l，弓形面積為S弓. ∵α＝60°＝，R＝10 cm，∴l(xiāng)＝αR＝ (cm). S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2). (2)∵l＋2R＝30，∴l(xiāng)＝30－2R， 從而S＝·l·R＝(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－2＋. ∴當半徑R＝ cm時，l＝30－2×＝15(cm)， 扇形面積的最大值是 cm2，這時α＝＝2(rad). ∴當扇形的圓心角為2 rad，半徑為 cm時，面積最大，為 cm2. 12.已知角α＝1 200°. (1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0

20、≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限的角； (2)在區(qū)間[－4π，π]上找出與α終邊相同的角. 考點　弧度制的應用 題點　用弧度制表示終邊相同的角 解　(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋， 又<<π， ∴角α與的終邊相同，且角α是第二象限的角. (2)∵與角α終邊相同的角(含角α在內(nèi))為2kπ＋，k∈Z， ∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤. ∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0. 故在區(qū)間[－4π，π]上與角α終邊相同的角是－，－，. 13.如圖，已知一個長為 dm，寬為1 dm的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四面時被一小木板擋住，使

21、木塊底面與桌面成的角.求點A走過的路程及走過的弧所對扇形的總面積. 考點　扇形的弧長與面積公式 題點　扇形的弧長與面積公式的綜合應用 解　AA1所在圓弧的半徑是2 dm，圓心角為；A1A2所在圓弧的半徑是1 dm，圓心角為；A2A3所在圓弧的半徑是 dm，圓心角為，所以走過的路程是3段圓弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圓弧所對的扇形的總面積是×2×π＋×＋××＝(dm2). 四、探究與拓展 14.《九章算術》是我國古代數(shù)學的杰出代表作.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦

22、長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，半徑為4 m的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是(　　) A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2 考點　扇形的弧長與面積 題點　扇形的弧長與面積公式的應用 答案　B 解析　根據(jù)題設，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)， 故弧田面積＝×(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 15.已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限； (2)將β1，β2用角度制表示出來，并在[－72

23、0°，－180°]內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角. 考點　弧度制綜合 題點　弧度制綜合 解　(1)α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋. 故α1＝－，α2＝， α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限. (2)β1＝＝×180°＝108°，β2＝－＝－×180°＝－60°. 設θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)，θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 則由－720°≤θ1≤－180°(k∈Z)，－720°≤θ2≤－180°(k∈Z)， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z)，－720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z)， 得k1＝－2，－1，k2＝－1. 故在[－720°，－180°]內(nèi)，與β1終邊相同的角是－612°和－252°，與β2終邊相同的角是－420°.