2022-2023學年高中數(shù)學 第三章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣學案 湘教版必修2

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第三章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣學案 湘教版必修2 [學習目標]　1.掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角． [知識鏈接] 1．手表慢了5分鐘，如何校準？手表快了半小時，又如何校準？ 答　可將分針順時針方向旋轉30°；可將時針逆時針方向旋轉180°. 2．在初中角是如何定義的？ 答　定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角． 定義2：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角． 3．初中所學角的范圍是什么

2、？ 答　角的范圍是[0°，360°]． [預習導引] 1．角的概念 (1)角的定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)角的表示方法：①常用大寫字母A，B，C等表示；②也可以用希臘字母α，β，γ等表示； ③特別是當角作為變量時，常用字母x表示． (3)角的分類： 一條射線繞著端點以逆時針方向的旋轉為正向，所成的角稱為正角，用正的角度來表示；順時針方向旋轉所成的角稱為負角，用負的角度來表示；不旋轉所成的角稱為零角，用0°表示． 2．象限角 角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說

3、這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限． 3．終邊相同的角 設α＝∠AOB，則所有以OA為始邊，OB為終邊的角都是α與整數(shù)個周角的和，組成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和. 要點一　任意角概念的辨析 例1　在下列說法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③鈍角都是第二象限角； ④小于90°的角都是銳角． 其中錯誤說法的序號為________ 答案?、佗冖? 解析　①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°，0°角不屬于任何象限，所以①

4、不正確． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，顯然390°>120°，所以②不正確． ③鈍角α的范圍是90°＜α＜180°，顯然是第二象限角，所以③正確． ④銳角α的范圍是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或負角，所以④不正確． 規(guī)律方法　判斷說法錯誤，只需舉一個反例即可．解決本題關鍵在于正確理解各類角的定義．隨著角的概念的推廣，對角的認識不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯誤． 跟蹤演練1　設A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　) A．BCAB．BAC C．D(A∩C) D．C

5、∩D＝B 答案　D 解析　銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍，如下表所示. 角 集合表示 銳角 B＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角 D＝{α|0°≤α<90°} 小于90°的角 A＝{α|α<90°} 第一象限角 C＝{α|k·360°<α

6、同的角是210°角，它是第三象限角． (2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角． (3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 規(guī)律方法　本題要求在0°～360°范圍內，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數(shù)的值打基礎． 跟蹤演練2　給出下列四個說法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315

7、°是第一象限角，其中正確的有(　　) A．1個B．2個C．3個D．4個 答案　D 解析　對于①：如圖1所示，－75°角是第四象限角； 對于②：如圖2所示，225°角是第三象限角； 對于③：如圖3所示，475°角是第二象限角； 對于④：如圖4所示，－315°角是第一象限角． 要點三　終邊相同的角的應用 例3　在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角． 解　(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°

8、0390°

9、°≤β<360°的元素β寫出來． 解　由終邊相同的角的表示知與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為：{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}． ∵－720°≤β<360°， 即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z)， ∴3≤k<6(k∈Z)．故取k＝4,5,6. k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°； k＝5時，β＝5×360°－1910°＝－110°； k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°. 要點四　區(qū)域角的表示 例4　寫出終邊落在陰影部分的角的集合． 解　設終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k

10、·360°＋30°≤α

11、05°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α

12、Z}， A∪B＝{γ|k·360°－45<γ

13、,0,1,2時，不等式均成立，所對應的角分別為－126°，－36°，54°，144°，故選C. 3．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________. 答案　270° 解析　由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°. 4．寫出終邊落在坐標軸上的角的集合S. 解　終邊落在x軸上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 終邊落在y軸上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴終邊落在

14、坐標軸上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}． 1.對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉量”決定角的“絕對值大小”． 2．關于終邊相同角的認識 一般地，若角α始邊與x軸非負半軸重合，則所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示

15、成角α與整數(shù)個周角的和． 注意：(1)α為任意角； (2)k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)； (3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍； (4)k∈Z這一條件不能少． 一、基礎達標 1．設A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90°的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 答案　D 2．與405°角終邊相同的角是(　　) A．k·360°－45°，k∈Z

16、B．k·180°－45°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z 答案　C 3.如圖，終邊落在直線y＝±x上的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z} 答案　D 4．若α是第四象限角，則180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．

17、5．已知0°＜α＜360°，α的終邊與－60°角的終邊關于x軸對稱，則α＝________. 答案　60° 6．下列說法中，正確的是________(填序號)． ①終邊落在第一象限的角為銳角； ②銳角是第一象限的角； ③第二象限的角為鈍角； ④小于90°的角一定為銳角； ⑤角α與－α的終邊關于x軸對稱． 答案?、冖? 解析　終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負角，故④的說法是錯誤的． 7．在與角－2013°終邊相同的角中，求滿足下

18、列條件的角． (1)最小的正角； (2)最大的負角； (3)－720°～720°內的角． 解　(1)∵－2013°＝－6×360°＋147°， ∴與角－2013°終邊相同的最小正角是147°. (2)∵－2013°＝－5×360°＋(－213°)， ∴與角－2013°終邊相同的最大負角是－213°. (3)∵－2013°＝－6×360°＋147°， ∴與－2013°終邊相同也就是與147°終邊相同． 由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得： k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得： －573°，－213°，147°，507°.

19、二、能力提升 8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是(　　) 答案　C 9．在－180°～360°范圍內，與2000°角終邊相同的角為______． 答案　－160°，200° 解析　∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°， ∴在－180°～360°范圍內與2000°角終邊相同的角有－160°，200°兩個． 10．角α，β的終邊關于y軸對稱，若α＝30°，則β＝________. 答案　150°＋k·360°，k∈Z 解析　∵30°與150°的終邊關于y軸對稱，

20、 ∴β的終邊與150°角的終邊相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z. 11．已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合． 解　(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}． (2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z} ＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z} ＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}． 12．已知角

21、β的終邊在直線x－y＝0上． (1)寫出角β的集合S； (2)寫出S中適合不等式－360°<β<720°的元素． 解　(1)如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝6

22、0°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－

23、·360°<α