（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第1講 集合與常用邏輯用語學案 文 蘇教版

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1、第1講　集合與常用邏輯用語 [2019考向?qū)Ш絔 考點掃描 三年考情 考向預測 2019 2018 2017 1．集合間的關系及運算 第1題 第1題 第1題 　　江蘇高考對集合的考查一般包含兩個方面：一是集合的運算，二是集合間的關系．試題難度為容易題，若以集合為載體與其他知識交匯，則可能為中檔題．邏輯知識是高考冷點，復習時要抓住基本概念． 2．四種命題及其真假判斷 3．充分條件與必要條件 4．邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞 1．必記的概念與定理 (1)四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復雜

2、問題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理． (2)充分條件與必要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； 若p?q，則p，q互為充要條件． 2．記住幾個常用的公式與結(jié)論 (1)(A∩B)?(A∪B)； (2)A?B?A∩B＝A；A?B?A∪B＝B； (3)集合與集合之間的關系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n個元素的集合的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為2n－1，非空真子集數(shù)為2n－2； (4)集合的運算： ?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A． 3．需要關注的易錯易混點 (1)集合

3、中元素的特性：確定性、互異性、無序性，求解含參數(shù)的集合問題時要根據(jù)互異性進行檢驗． (2)有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時我們要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．對命題的否定，首先弄清楚是全稱命題還是存在性命題，再針對不同形式加以否定． (3)“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者不同，前者是“p?q但qp”而后者是“q?p，p q”． 集合間的關系及運算 [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝________． (2)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝

4、{1}，則實數(shù)a的值為________． (3)(2019·蘇州第二次質(zhì)量預測)已知集合P＝{x|y＝，x∈N}，Q＝{x|ln x＜1}，則P∩Q＝________． 【解析】　(1)由交集定義可得A∩B＝{1，6}． (2)因為a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即實數(shù)a的值為1． (3)由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因為x∈N，所以P＝{0，1，2}．因為ln x＜1，所以0＜x＜e，所以Q＝(0，e)，則P∩Q＝{1，2}． 【答案】　(1){1，6}　(2)1　(3){1，2} 解集合運算問題應注意以下兩點 (1)看元素組成．集合是由元素組成的，從

5、研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關鍵． (2)對集合化簡．有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決．　 [對點訓練] 1．(2018·高考江蘇卷)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________． [解析] 由集合的交運算可得A∩B＝{1，8}． [答案] {1，8} 2．(2019·江蘇省名校高三入學摸底)已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B?A，則實數(shù)m＝________． [解析] 因為B?A，所以m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，經(jīng)檢

6、驗均滿足題意， 故m＝－1或0． [答案] －1或0 四種命題及其真假判斷 [典型例題] (1)(2019·蘇州第一次質(zhì)量預測)下列說法正確的是________． ①“若a＞1，則a2＞1”的否命題是“若a＞1，則a2≤1”； ②“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真命題； ③存在x0∈(0，＋∞)，使3x0＞4x0成立； ④“若sin α≠，則α≠”是真命題． (2)給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是________． 【解析】　(1)對于①，“若a＞1，則a2＞1”

7、的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故①錯誤；對于②，“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”，因為當m＝0時，am2＝bm2，所以其逆命題為假命題，故②錯誤；對于③，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，對任意的x∈(0，＋∞)，都有4x＞3x，故③錯誤；對于④，“若sin α≠，則α≠”的逆否命題為“若α＝，則sin α＝”，且其逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故④正確． (2)易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題只有一個． 【答案】　(1)④　(2)1 一個命題的否命題、逆命題、

8、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試　 題時要注意對于一些關鍵詞的否定，等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于．“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某個”，“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，“任意兩個”的否定是“某兩個”．像這類否定同學們不妨探究一下． [對點訓練] 3．已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是________．(只填序號)

9、 ①否命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題?、谀婷}“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”是假命題　③逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”是真命題?、苣娣衩}“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題 [解析] 命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題． [答案] ④ 4．命題“面積相等的三角形是全等三角形”的否定為_______

10、_，否命題為________． [答案] 面積相等的三角形不是全等三角形 面積不相等的三角形不是全等三角形 充分條件與必要條件 [典型例題] (1)若a，b∈R，則“a(a－b)<0”是“>1”的____________．(填寫“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中的一個) (2)已知條件p：－1≤x＋2≤1，q：x≥a，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　(1)因為>1?－1>0?>0?a(a－b)<0，所以“a(a－b)<0”是“>1”的充要條件． (2)因為p是q的充分不必要條件，故p?q，

11、但qp，即不等式－1≤x＋2≤1的解集是{x|x≥a}的真子集，從而a≤－3． 【答案】　(1)充要條件　(2)(－∞，－3] 判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價轉(zhuǎn)化方法．　 [對點訓練] 5．(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是________． ①m＞；②0＜m＜1；③m＞0；④m＞1． [解析] 若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此當不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時，必有m＞0，但當m＞0時，不一定推出不等式

12、在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0． [答案] ③ 6．(2019·徐州模擬)若a＝2x，b＝logx，則“a>b”是“x>1”的________條件． [解析] 如圖所示， 當x＝x0時，a＝b． 若a＞b，則得到x＞x0， 且x0＜1， 所以由a＞b不一定得到x＞1， 所以“a＞b”不是“x＞1”的充分條件； 若x＞1，則由圖象得到a＞b， 所以“a＞b”是“x＞1”的必要條件． 故“a＞b”是“x＞1”的必要不充分條件． [答案] 必要不充分 邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞 [典型例題] (1)命題“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝

13、x0－1”的否定，下列正確的是________． ①?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 ②?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 ③?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 ④?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1 (2)已知命題p：?x∈[0，1]，a≥2x；命題q：?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0．若命題“p∨q”是真命題，“﹁p∧q”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】　(1)改變原命題中的兩個地方即可得其否定，?改為?，否定結(jié)論，即ln x≠x－1． (2)命題p為真，則a≥2x(x∈[0，1])恒成立， 因為y＝2x在[0，1]上單調(diào)遞增，

14、所以2x≤21＝2， 故a≥2，即命題p為真時，實數(shù)a的取值集合為P＝{a|a≥2}． 若命題q為真，則方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4． 故命題q為真時，實數(shù)a的取值集合為Q＝{a|a≤4}． 若命題“p∨q”是真命題，那么命題p，q至少有一個是真命題； ﹁由“﹁p∧q”是假命題，可得﹁p與q至少有一個是假命題． ①若p為真命題，則﹁p為假命題，q可真可假， 此時實數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)； ②若p為假命題，則q必為真命題，此時，“﹁p∧q”為真命題，不合題意． 綜上，實數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)． 【答案】　(1)③　(2)[2

15、，＋∞) 全稱命題(存在性命題)的否定是其全稱量詞改為存在量詞(存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定，而命題的否定則是直接否定結(jié)論． [對點訓練] 7．(2019·無錫市高三上學期期末考試)命題“?x≥2，x2≥4”的否定是“________，x2＜4”． [解析] 由全稱命題的否定是存在性命題得，命題“?x≥2，x2≥4”的否定是“?x≥2，x2＜4”，故填?x≥2． [答案] ?x≥2 8．下列四個命題： ①?x∈R，使sin x＋cos x＝2； ②對?x∈R，sin x＋≥2； ③對?x∈，tan x＋≥2； ④?x∈R，使sin x＋cos x＝． 其中正

16、確命題的序號為________． [解析] 因為sin x＋cos x＝sin∈[－， ]； 故①?x∈R，使sin x＋cos x＝2錯誤； ④?x∈R，使sin x＋cos x＝正確； 因為sin x＋≥2或sin x＋≤－2， 故②對?x∈R，sin x＋≥2錯誤； ③對?x∈，tan x>0，>0，由基本不等式可得tan x＋≥2正確． [答案] ③④　 1．(2019·江蘇名校高三入學摸底)設集合A＝{－2，2}，B＝{x|x2－3x－4≥0}，則A∩(?RB)＝______． [解析] 由B＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，得?RB＝{x

17、|－1

18、x＋＝2； ②?x∈R，sin x＝－1； ③?x∈R，x2>0； ④?x∈R，2x>0． [解析] 對于①x＝1成立，對于②x＝成立，對于③x＝0時顯然不成立，對于④，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)顯然成立． [答案] ①②④ 5．已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(?UA)∩B＝?，則a＝______． [解析] 由題意知B?A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a．當a2－2a＋2＝1時，解得a＝1；當a2－2a＋2＝a時，解得a＝1或a＝2．當a＝1時，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當a＝2時，滿足題意．所以a＝2． [答案] 2 6．若命題“a

19、x2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] ax2－2ax－3≤0恒成立，當a＝0時，－3≤0成立；當a≠0時，得－3≤a<0； 所以－3≤a≤0． [答案] －3≤a≤0 7．(2019·南京調(diào)研)設函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為________． [解析] 因為A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

20、≤0}＝(－∞，0]，?RB＝(0，＋∞)， 所以題圖陰影部分表示的集合為(A∩?RB)∪(B∩?RA)＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1] 8．(2019·江蘇省名校高三入學摸底卷)已知集合P＝{x|x≤a}，Q＝，若P∩Q＝Q，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 由Q＝，得Q＝{1，2}，又P∩Q＝Q，所以a≥2，即實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞) 9．若?θ∈R，使sin θ≥1成立，則cos的值為________． [解析] 由題意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．

21、 所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．故cos＝． [答案] 10．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(八))已知x≠0，x∈R，則“<1”是“3x>9”的______條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) [解析] 由<1得x>2或x<0．由3x>9得x>2，所以由“3x>9”可以得“<1”，反之卻無法得到，所以“<1”是“3x>9”的必要不充分條件． [答案] 必要不充分 11．給出以下三個命題： ①若ab≤0，則a≤0或b≤0； ②在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B； ③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0

22、，則方程有實數(shù)根． 其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________．(填序號) [解析] 在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin B?a＝b?A＝B．故填②． [答案] ② 12．(2019·南京高三模擬)下列說法正確的序號是________． ①命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”； ②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件； ③命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題； ④命題“?x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”． [解析] 命題“若x2＝1，則x＝1

23、”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，所以①不正確．由x＝－1，能夠得到x2－5x－6＝0，反之，由x2－5x－6＝0，得到x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，所以②不正確．命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”為真命題，所以其逆否命題也為真命題，所以③正確．命題“?x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以④不正確． [答案] ③ 13．若命題“?x∈[－1，1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命題，則實數(shù)a的最小值為 __________． [解析] 變形得a<－＝－＋， 令t＝，則a<－＋， 因為x∈[－1

24、，1]，所以t∈， 所以f(t)＝－＋在上是減函數(shù)， 所以[f(t)]min＝f(2)＝－＋＝－6， 又因為該命題為假命題， 所以a≥－6， 故實數(shù)a的最小值為－6． [答案] －6 14．(2019·江蘇四星級學校高三聯(lián)考)設P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，則集合P*Q中元素的個數(shù)為________． [解析] 法一(列舉法)：當b＝0時，無論a取何值，z＝ab＝1；當a＝1時，無論b取何值，ab＝1；當a＝2，b＝－1時，z＝2－1＝；當a＝2，b＝1時，z＝21＝2．故P*Q＝，該集合中共有3個元素． 法二(列表法)：因為a∈P，b∈Q，所以a的取值只能為1，2；b的取值只能為－1，0，1．z＝ab的不同運算結(jié)果如下表所示： b a －1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 由上表可知P*Q＝，顯然該集合中共有3個元素． [答案] 3 - 10 -