2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (III)

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (III) 一、選擇題：(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.) 1.已知復(fù)數(shù)z滿足，那么的虛部為（ ） A. 1 B. -i C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡，即可求出復(fù)數(shù)虛部. 【詳解】因?yàn)?，所以虛部?，故選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部的概念，屬于中檔題. 2.函數(shù)在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何

2、意義，可以求出切線的斜率，從而寫出切線的方程. 【詳解】因?yàn)椋?，切線方程為，即，故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，屬于中檔題. 3.定積分的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)定積分的含義，只需求出曲線在上與x軸圍成扇形的面積即可. 【詳解】由得，根據(jù)定積分的意義可知，扇形的面積 即為所求.故選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的幾何意義及圓的方程面積問題，屬于中檔題. 4.下面幾種推理過程是演繹推理的是( ) A. 某校高三有8個班,1班有51人,2班有53人,

3、3班有52人,由此推測各班人數(shù)都超過50人 B. 由三角形的性質(zhì),推測空間四面體的性質(zhì) C. 平行四邊形的對角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分 D. 在數(shù)列中，，，由此歸納出的通項(xiàng)公式 【答案】C 【解析】 【分析】 演繹推理是由一般到特殊，所以可知選項(xiàng). 【詳解】因?yàn)檠堇[推理是由一般到特殊，所以選項(xiàng)C符合要求，平行四邊形對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以對角線互相平分. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了推理中演繹推理的概念，屬于容易題. 5.曲線與坐標(biāo)軸所圍成圖形面積是（? ） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】D

4、【解析】 【分析】 根據(jù)定積分的意義，曲線與坐標(biāo)軸所圍成面積可轉(zhuǎn)化為求在上的定積分與在上的定積分值的差即可. 【詳解】根據(jù)定積分的意義可知，，故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的意義及定積分的運(yùn)算，屬于中檔題.利用定積分解決面積問題時，要注意面積與定積分值的關(guān)系，當(dāng)曲線在x軸下方時，定積分值的絕對值才是曲線圍成的面積. 6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A. B. C. D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，需要求函數(shù)導(dǎo)數(shù)在定義域上小于零的解集即可. 【詳解】因?yàn)椋罱獾?，所以選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)及利

5、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.解決此類問題時，要特別注意函數(shù)的定義域，通過解不等式尋求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時要注意定義域的限制. 7.函數(shù)的圖象可能是（ ） 【答案】A 【解析】 試題分析：因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故排除B、D；當(dāng)時，，故排除C，故選A． 考點(diǎn)：1、函數(shù)圖象；2、函數(shù)的奇偶性． 8.設(shè)已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（ ） A. B. 函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 C. 若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減 D. 若是的極值點(diǎn)，則 【答案】C 【解析】 因?yàn)樗杂闪泓c(diǎn)存在定理得 因?yàn)?所以函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間 若是的極值

6、點(diǎn)，則,因此C錯,選C. 9.在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前100個圈中的●的個數(shù)是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 試題分析： 由圖像可得 圖像所示的圈可以用首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列表示， 前120個圈中的●的個數(shù)即為， ，解得， 前120個圈中的●有個， 故選D． 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的定義及性質(zhì)；等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 . 10.已知復(fù)數(shù)是方程的一個根，則實(shí)數(shù)，的值分別是（ ） A. 12，26

7、 B. 24，26 C. 12，0 D. 6，8 【答案】A 【解析】 【分析】 復(fù)數(shù)是方程的根，代入方程，整理后利用復(fù)數(shù)的相等即可求出p,q的值. 【詳解】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€根，所以， 即，所以，解得，故選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)方程及復(fù)數(shù)相等的概念，屬于中檔題. 11.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)，求的最小值即可. 【詳解】因?yàn)椋谏鲜菧p函數(shù)，所以恒成立，即，而，所以只需，即，故選B. 【點(diǎn)睛

8、】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于難題.解決已知函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題，一般需要利用導(dǎo)數(shù)大于等于零（或小于等于零）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題來處理. 12.已知都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件： ①為奇函數(shù)，為偶函數(shù)； ②； ③當(dāng)時，總有，則的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 當(dāng)時，總有,即，所以在上是增函數(shù)，且在R上是奇函數(shù)，又，所以當(dāng)或時，因此可求解. 【詳解】令，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，又，故在R上是奇函數(shù)，且，所以當(dāng)或時，因?yàn)?，所以或，解得或，?/p>

9、選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，增減性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)在判定單調(diào)性上的應(yīng)用，解不等式，屬于難題.解決此類問題的核心是，根據(jù)所給含導(dǎo)數(shù)的不等式，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并根據(jù)所給式子確定所構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定構(gòu)造函數(shù)的增減性. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.給出下列不等式: ……… 則按此規(guī)律可猜想第個不等式為____________ 【答案】 【解析】 試題分析：觀察給定的式子左邊和式的分母是從1,2,3，……，直到，右邊分母為2，分子為n+1，故猜想此類不等式的一般形式為：（）。 考點(diǎn)：歸納推理。 點(diǎn)評：簡單

10、題，歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理。 14.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ ”時，從“”變到“”時，左邊應(yīng)增乘的因式是 ________． 【答案】 【解析】 試題分析：當(dāng)n=k時，左邊=（k+1）（k+2）…（k+k）， 當(dāng)n=k+1時，左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）， 故從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是 考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法 15.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是________ 【答案】 【解析】 試題分析：直線斜率是2，y'==2，x=，即y=ln上(,ln)處切線斜率是2 所以切線是y-ln()=2(x-)，2x-

11、y-1-ln2=0，則和2x-y+3=0的距離就是最短距離 在2x-y+3=0上任取一點(diǎn)(0,3)，到2x-y-1-ln2=0距離=。 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 16.若函數(shù)在上無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在R上恒大于等于零即可，，分離參數(shù)即可. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上無極值點(diǎn)，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又，所以. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，極值，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題. 三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17.已知復(fù)數(shù) （1）m取什么值時，z是實(shí)數(shù)

12、？ （2）m 取什么值時，z是純虛數(shù)？ 【答案】（1）；（2）3 【解析】 試題分析：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，明確實(shí)數(shù)的條件是復(fù)數(shù)的虛部是0，且分式的分母有意義 第二問明確復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件是虛部不為0而實(shí)部為0． 試題解析：（1）解 當(dāng)時，z為實(shí)數(shù) （2）解： 當(dāng)時，z為純虛數(shù) 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，純虛數(shù)的條件． 18.已知函數(shù). （1）求函數(shù)的極值； （2）求函數(shù)在上的最大值和最小值. 【答案】（1）極小值為,無極大值；（2）. 【解析】 試題分析：（1）先寫出定義域,再求,令,得,再對左右側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號檢驗(yàn),看是否為極值點(diǎn)；（2）由（1）的結(jié)論, 求出最大值

13、和最小值. 試題解析：解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 且f ′(x)＝＝， 令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， 當(dāng)x∈(0,1)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， 所以f(x)在x＝1處取得極小值為． （2）由（1）可知函數(shù)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝． 考點(diǎn)：1.函數(shù)極值的求法；2.函數(shù)的最值. 19.數(shù)列中，，前項(xiàng)的和記為． （1）求的值，并猜想的表達(dá)式； （2）請用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． 【答案】（1）見解析；（2）見解析

14、【解析】 【分析】 （1）根據(jù)通項(xiàng)公式寫出前三項(xiàng)，再寫出的值即可（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可. 【詳解】（1）∵，∴，，∴猜想． （2）證明：①當(dāng)時， ，猜想成立； ②假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即：； ∴當(dāng)時， ∴時猜想成立∴由①、②得猜想得證． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中歸納、猜想及數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題. 20.如圖計算由直線y＝6－x，曲線以及x軸所圍圖形的面積． 【答案】 【解析】 【分析】 畫出函數(shù)圖象，找到所圍成區(qū)域，分割為兩個區(qū)域，分別用定積分求其面積即可. 【詳解】作出直線y＝6－x，曲線y＝的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積． 解方程組得直線

15、y＝6－x 與曲線y＝交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)， 直線y＝6－x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)． 若選x為積分變量，所求圖形的面積 S＝S1＋S2＝＋ ＝ ＝＋＝＋8＝. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，定積分求函數(shù)所圍成區(qū)域的面積，定積分的計算，屬于中檔題. 21.已知函數(shù)在處取得極值 （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 試題分析：（1）令，即可求得值； （2）在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)根，即在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)根， 問題可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在上最值和極值情況．利用導(dǎo)數(shù)可以求得，再借助圖

16、象可得的范圍． 試題解析：（1）， ∵，． （2） 所以問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的解， 從而可研究函數(shù)在上最值和極值情況． ∵, ∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為． ∴， 又， ∴當(dāng)時，方程有兩個不同解． 考點(diǎn)：1．函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；2．根的存在性及根的個數(shù)判斷． 22.已知函數(shù)在x＝－1與x＝2處都取得極值． (1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)若對，不等式恒成立，求c的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，利用求,再利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求其單調(diào)區(qū)間（2）利用函數(shù)單調(diào)性，分析的最大值，只需即可. 【詳解】(

17、1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由題意得 即解得 ∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6. 令f′(x)<0，解得－10，解得x<－1或x>2. ∴f(x)的減區(qū)間為(－1，2)， 增區(qū)間為(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；在(－1，2)上單調(diào)遞減；在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴x∈時，f(x)的最大值即為：f(－1)與f(3)中的較大者． f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c. ∴當(dāng)x＝－1時，f(x)取得最大值． 要使f(x)＋cf(－1)＋c，即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>. ∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的求解，屬于難題.一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值.