2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文(含解析)

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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文(含解析) 一、單選題(每小題5分，共60分) 1.1.設(shè)全集，集合，則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合，然后再求出即可． 【詳解】由題意得，， 所以． 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式的解法和補(bǔ)集的求法，考查運(yùn)算能力，屬于容易題． 2.2.復(fù)數(shù)的虛部為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 將復(fù)數(shù)化為的形式后再求出其虛部． 【詳解】由題意得， 所以復(fù)數(shù)的虛部

2、為． 故選A． 【點(diǎn)睛】解答本題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部是，而復(fù)數(shù)的虛部是． 3.3.已知，,如果∥，則實(shí)數(shù)的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，即. 考點(diǎn)：向量平行的充要條件. 4.4.命題：使；命題：都有.下列結(jié)論正確的是（ ） A. 命題是真命題 B. 命題是真命題 C. 命題是真命題 D. 命題是假命題 【答案】C 【解析】 命題：，故不存在使，命題為假命題 命題：，故命題為真命題 故命題是真命題 故選 5.5.已知橢圓的右焦點(diǎn)，則（ ） A.

3、 B. C. D. 【答案】B 【解析】 橢圓的， 由題意可得，又 解得 故選 6.6.執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的.則輸出的=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 分析：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量n的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案． 詳解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=1，不滿足退出循環(huán)的條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=2，不滿足退出循環(huán)的條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=3，不滿足退出循環(huán)的

4、條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=4，不滿足退出循環(huán)的條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=5，不滿足退出循環(huán)的條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=6，不滿足退出循環(huán)的條件； 再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=7，滿足退出循環(huán)的條件； 故輸出的n值為7． 故選：B． 點(diǎn)睛：本題的實(shí)質(zhì)是累加滿足條件的數(shù)據(jù)，可利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)值的累加（乘）常分以下步驟： （1）觀察S的表達(dá)式分析，確定循環(huán)的初值、終值、步長(zhǎng)； （2）觀察每次累加的值的通項(xiàng)公式； （3）在循環(huán)前給累加器和循環(huán)變量賦初值，累加器的初值為0，累乘器的初值為1，環(huán)變量的初值同累加（乘）第一項(xiàng)的相關(guān)

5、初值； （4）在循環(huán)體中要先計(jì)算累加（乘）值，如果累加（乘）值比較簡(jiǎn)單可以省略此步，累加（乘），給循環(huán)變量加步長(zhǎng)； （5）輸出累加（乘）值． 7.7.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ） A. B. 1 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 畫(huà)出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值為,故選C. 8.8.將函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(　　) A. y＝sin B. y＝－cos 2x C. y＝cos 2x D. y＝sin 【答案】A 【解析】 依題意得，y＝sin＝si

6、n＝sin. 故選：A 9.9.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，內(nèi)容極為豐富，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何”.意思是：“5人分取5錢(qián)，各人所得錢(qián)數(shù)依次成等差數(shù)列，其中前2人所得錢(qián)數(shù)之和與后3人所得錢(qián)數(shù)之和相等”，則其中分得的錢(qián)數(shù)最多的是（ ） A. 錢(qián) B. 1錢(qián) C. 錢(qián) D. 錢(qián) 【答案】D 【解析】 設(shè)5人所得錢(qián)數(shù)分別為，則成等差數(shù)列，令其公差為， 由題意得，即，解得． 所以數(shù)列為遞減數(shù)列，最大． 即分得的錢(qián)數(shù)最多的是錢(qián)．選D． 10.10.若的內(nèi)角滿足,則 A. B. C.

7、D. 【答案】D 【解析】 的內(nèi)角滿足 由于， ， 故選 11.11.已知點(diǎn)F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 ∵AB⊥x軸，又已知△ABE是直角三角形，且必有AE＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形，所以∠AEB＝90°，∠AEF＝45°，于是AF＝EF 不妨設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，則A（－c，），故＝a＋c 即b2＝a（a＋c），得c2－ac－2a2＝0

8、 即e2－e－2＝0，得e＝2（e＝－1舍去） 考點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線位置關(guān)系 12.12.已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上根的個(gè)數(shù)是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意可得，．即函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，又是偶函數(shù)， 所以，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出函數(shù)，的圖象，觀察它們?cè)趨^(qū)間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是方程在上根的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，共有個(gè)交點(diǎn)，故選． 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性，函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)． 二、填空題(每小題5分，共20分) 13.13.已知冪函數(shù)的圖象

9、過(guò)點(diǎn)，則　　　. 【答案】3 【解析】 試題分析：依題意，得，. 考點(diǎn)：1.冪函數(shù)的性質(zhì)；2.指數(shù)的運(yùn)算；3.對(duì)數(shù)運(yùn)算. 14.14.已知正數(shù)x、y滿足，則的最小值是 【答案】18 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：均值不等式求最值 15.15.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由三視圖得到幾何體的直觀圖，然后再求出該幾何體的體積即可． 【詳解】由三視圖可得，該幾何體為棱長(zhǎng)為2的正方體挖去了兩個(gè)底面為半徑是1、高為2的四分之一圓柱而成的， 所以該幾何體的體積為． 【點(diǎn)睛】以

10、三視圖為載體考查幾何體的表面積和體積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后再結(jié)合題意求解． 16.16.設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=_____________. 【答案】8 【解析】 試題分析：由拋物線方程可知其準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，即。由拋物線的定義可知，所以。 考點(diǎn)：拋物線的定義。 三、解答題 17.17.在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C所對(duì)的三邊， （I）求角A； （II）若，求b的值. 【答案】(1);(2)1. 【解析】 試題分析：（I）利用余弦定理表示出c

11、osA，將已知的等式變形后代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（II）根據(jù)正弦定理得到sinC的值為1，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角，可得C為直角，利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，進(jìn)而確定出sinB的值，由=c得到b=csinB，將c及sinB的值代入即可求出b的值． 詳解：（I）由a2﹣（b﹣c）2=bc得：a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，即b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA==，又0＜A＜π， ∴A=； （II）由正弦定理得：=，又=c， ∴sinC=1，又C為三角形的內(nèi)角， ∴C=， ∴B=π﹣（A+C）=， ∵， ∴b

12、=csinB=2sinB=2×=1． 點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題. 對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用. 18.18.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1 （1）求證：{an}是等差數(shù)列； （2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn （3）設(shè)，試求++…+． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）n2（3） 【解析】 試題分析：（1）利用定義只要證明當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣an﹣1為常數(shù)即可． （2）由

13、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出即可． （3）因?yàn)閎n=n，所以由裂項(xiàng)求和即可． 解：（1）a1=2×1﹣1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣an﹣1=2n﹣1﹣[2（n﹣1）﹣1]=2為常數(shù)，∴數(shù)列{an}是以a1=2×1﹣1=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． （2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得=n2． （3）∵==n，∴==， ∴++…+=+…+=1﹣=． 考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定． 19.19.如圖，在四棱錐中，平面，，平分，為的中點(diǎn)，，. （1）證明：平面. （2）證明：平面. （3）求直線與平面所成的角的正切值. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析（3） 【解析】

14、試題分析： （I）設(shè)，連結(jié)，由三角形中位線定理得．由此能證明． （II）由線面垂直得，由（I）得，，由此能證明． （Ⅲ）由知，為直線與平面所成的角．由此能求出直線與平面所成的角的正切值． 試題解析： （1）設(shè)，連接，在中，因?yàn)?，且平分，所以為的中點(diǎn)，又由題設(shè)，知為的中點(diǎn)，故，又平面，且平面，所以 平面. （2）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，由?）可得，，又，故平面. （3）由平面可知，為在平面內(nèi)的射影，所以為直線與平面所成的角，由，， ，可得，. 在中，. 所以直線與平面所成的角的正切值為. 點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型. (1)證明線面、面

15、面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 20.20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為. (1)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程； (2)設(shè)，過(guò)點(diǎn)作直線，交橢圓于不同于的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：本題考查橢圓的基本量間的關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用.第一問(wèn)是考查橢圓的基本量間的關(guān)系，比較簡(jiǎn)單；第二問(wèn)是直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，先設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達(dá)式，但是在本問(wèn)中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊(yùn)含

16、了分類討論的思想的應(yīng)用. 試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓． 由，得．故曲線的方程為． 5分 （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為， 由，得． 7分 設(shè)，，，． 從而． 11分 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得， 得． 綜上，恒有． 12分 考點(diǎn)：1.三角形面積公式；2.余弦定理；3.韋達(dá)定理；4.橢圓的定義. 21.21.某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間如下: 組號(hào) 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [

17、90,100] (1)求圖中a的值; (2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分; (3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率. 【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：（1）由頻率分布圖中小矩形面積和為1，能求出a的值 （2）由頻率分布直方圖，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表即可估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分． （Ⅲ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，則第3、4

18、、5組分別抽取3人、2人、1人，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出從中隨機(jī)抽取2名，第4組的至少有一位同學(xué)入選的概率． 試題解析：（1）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． （2）由直方圖分?jǐn)?shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30， [80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 （3）由直方圖，得：

19、 第3組人數(shù)為0.3×100=30。 第4組人數(shù)為0.2×100=20人， 第5組人數(shù)為0.1×100=10人． 所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生， 每組分別為： 第3組：人， 第4組：人， 第5組： =1人． 所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．… 設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下： （A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1

20、），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）， 其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．… 所以其中第4組的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為 22.22.已知圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且離心率為； （1）求曲線的方程； （2）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍； （3）在條件（2）下，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)離心率可得曲線為雙曲線，然后根據(jù)焦點(diǎn)及離心率可

21、得，進(jìn)而得到曲線方程．（2）將直線方程代入雙曲線方程得到二次方程，根據(jù)題意可得該二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得所求．（3）由弦長(zhǎng)公式及（2）中實(shí)數(shù)的取值范圍可得，于是可得直線AB的方程．設(shè)C（x0，y0），由條件可得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上可求得． 【詳解】（1）由e=知，曲線E是以F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0）為焦點(diǎn)的雙曲線， 且c=，， 解得， ∴b2=2﹣1=1， 故雙曲線E的方程是x2﹣y2=1． （2）由消去整理得 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 由題意可得方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根， ∴，解得， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． （3）由題意及（2）得 6=||

22、=|x1﹣x2|=?=， 整理得28k4﹣55k2+25=0， 解得或， 又﹣， ∴k=﹣， 故直線AB的方程為． 設(shè)C（x0，y0），由=m，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0）， 又=﹣4，y1+y2=k（x1+x2）﹣2=8， ∴． ∵點(diǎn)在曲線E上， ∴，解得m=±4， 當(dāng)m=﹣4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意， ∴m=4為所求． 【點(diǎn)睛】（1）直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題可通過(guò)代數(shù)法求解，即將直線方程與曲線方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，根據(jù)二次方程根的情況可得直線與圓錐曲線的位置關(guān)系． （2）圓錐曲線中的向量問(wèn)題，可根據(jù)向量的相關(guān)知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，然后根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行求解．