4、r>．
思路二：用方程思想來(lái)思考．
從C1和C2的方程中消去一個(gè)未知數(shù)，比如消去x，得到一個(gè)關(guān)于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，
兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程－y2＋2y＋10－r2＝0或者沒(méi)有實(shí)數(shù)根，或者兩個(gè)根y1，y2?[－2，2]．
若沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則Δ＝4－4(10－r2)<0,
解得r>或r<－(由r>0，知r<－應(yīng)舍去)．
若兩個(gè)根y1，y2?[－2，2]，
設(shè)φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，則
解得0．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題難在由兩個(gè)曲線方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到等式后不會(huì)處理，或
5、處理方式不當(dāng)，導(dǎo)致解法出錯(cuò)．對(duì)于一個(gè)含變量限制條件問(wèn)題的處理，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題研究比研究方程的根會(huì)更好．
(2019·南通模擬)已知集合M＝{(x，y)|(x＋)(y＋)＝1}，則集合M表示的圖形是________．
【解析】 思路一：把式子中的字母x，y看作變量，把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù)．
等式化為x＋＝＝－y＋．
構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R)，
則上式就是f(x)＝f(－y)，
由于，函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R)為R上的增函數(shù)，則x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
思路二：構(gòu)造一個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)g(x)＝lg(x＋)(x∈R)，則g(x)為R上的增函數(shù)
6、，且為奇函數(shù)．又已知等式可化為g(x)＋g(y)＝lg(x＋)＋lg(y＋)＝lg 1＝0．
于是有g(shù)(x)＝－g(y)＝g(－y)，因此x＝－y，即x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
思路三：以方程的知識(shí)為切入點(diǎn)，
設(shè)s＝x＋，t＝y(tǒng)＋，于是，s，t分別是方程s2－2xs－1＝0，t2－2yt－1＝0的正根．由此可得s－2x－＝0，t－2y－＝0，相加得，
s＋t－2(x＋y)－＝0，又st＝1，所以x＋y＝0．所以，集合M表示的圖形是直線．
【答案】 直線
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題難在對(duì)所給的式子不會(huì)化簡(jiǎn)，導(dǎo)致半途而廢．因?yàn)樗o式子中有兩個(gè)變量x，y，如果把所給等式進(jìn)行整理x
7、＋ ＝＝－y＋ ，不難發(fā)現(xiàn)能構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋ (x∈R)來(lái)解決．高考中的壓軸題往往需要站在數(shù)學(xué)思想的角度來(lái)研究，蠻干是不行的． 本題思路三對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)要求比較高，僅供同學(xué)們賞析．
已知m，n是正整數(shù)，且1＜m＜n． 證明：(1＋m)n＞(1＋n)m．
【證明】 (1＋m)n>(1＋n)m?nln(1＋m)>mln(1＋n)?>．
因此，可以構(gòu)造函數(shù)g(x)＝(x≥2)．只要證明
g(x)＝為減函數(shù)即可．
由g′(x)＝<0，
則g(x)＝為減函數(shù)，由2≤mg(n)，
因而>， 于是，(1＋m)n＞(1＋n)m成立．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題難在對(duì)要證明的結(jié)論
8、與條件不會(huì)正確溝通，無(wú)法找到聯(lián)系，導(dǎo)致找不到解法．有些看起來(lái)不像函數(shù)問(wèn)題，如果通過(guò)恰當(dāng)變形，構(gòu)造函數(shù)，往往會(huì)得到妙解．
已知α，β，γ都是銳角，且滿足cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1．求α＋β＋γ的值．
【解】 由cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cos αcos βcos γ＝1可得
cos2α＋(2cos βcos γ)cos α＋(cos2β＋cos2γ－1)＝0，看作關(guān)于cos α的一元二次方程，
Δ＝4cos2βcos2γ－4(cos2β＋cos2γ－1)＝4sin2βsin2γ，
所以，cos α＝
＝－cos(β±γ)．
9、
因?yàn)棣?，β，γ都是銳角，所以cos α＝－cos(β－γ)應(yīng)舍去．
因此，cos α＝－cos(β＋γ) ，又因?yàn)?<α<，0<β＋γ<π，所以，
α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題難在不會(huì)用方程思想看待這個(gè)等式，導(dǎo)致胡亂化簡(jiǎn)，得不出結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)中的一些具體方法都是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下產(chǎn)生的，我們?cè)诮忸}的時(shí)候，如果能夠站在數(shù)學(xué)思想的高度，抓住數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西去思考，就會(huì)使解題更加科學(xué)與合理，就會(huì)使解題從被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，就會(huì)形成較為完善的解題系統(tǒng)．
(2019·淮安質(zhì)檢)已知f(x)＝4x＋ax2－x3(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．
(1) 求實(shí)數(shù)a的
10、值組成的集合A；
(2) 設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝2x＋x3的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為x1，x2．試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解】 (1)f′(x)＝4＋2ax－2x2，由已知，f(x)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)，等價(jià)于f′(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立．即x2－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立．
記φ(x)＝x2－ax－2．
法一：要使φ(x)≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，只要φmax(x)≤0．
由于x≤時(shí)，φ(x)為減函數(shù)，x≥時(shí)，φ(x)為增函數(shù)，因此
11、，
當(dāng)x＝≤0時(shí)，由φ(x)的圖象(圖1)可以看出，φ(1)最大． 解不等式組得－1≤a≤0，
當(dāng)x＝>0時(shí)，由φ(x)的圖象(圖2)可以看出，φ(－1)最大． 解不等式組得00，所以方程x2－ax－2＝0有兩個(gè)非零實(shí)根x1、x2．
由x1＋x2＝a，x1x2＝－2得
|x1－x2|＝＝．
本題等價(jià)于是否存在m，使不等式m2＋tm＋1≥，①
對(duì)
12、a∈A，t∈[－1，1]恒成立．
把看作關(guān)于a的函數(shù)T(a)＝，則①式等價(jià)于m2＋tm＋1≥T(a)max，②
由于a∈A，則T(a)＝≤＝3，從而②式轉(zhuǎn)化為m2＋tm＋1≥3，
即m2＋tm－2≥0，③對(duì)t∈[－1，1]恒成立．
又可以把③式的左邊看作t的函數(shù)．記g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2．④
對(duì)m＝0或m≠0分類研究．
若m＝0，④式化為g(t)＝－2≥0，顯然不成立；
若m≠0，g(t)是關(guān)于t的一次函數(shù)，這樣，要使g(t)≥0對(duì)t∈[－1，1]恒成立，只要g(－1)≥0及g(1)≥0同時(shí)成立即可(圖3，4)．
解不等式組
得m≤－2或m≥2．
所以
13、存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A，t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≤－2或m≥2}．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題難點(diǎn)有三：①對(duì)題意理解不清；②對(duì)所求問(wèn)題不會(huì)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題；③計(jì)算分類不準(zhǔn)確．
二 分類討論思想
分類討論的幾種情況
(1)由數(shù)學(xué)的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論：數(shù)學(xué)中的概念有些就是分類的，如絕對(duì)值的概念．
(2)由數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論：一些數(shù)學(xué)定理和公式是分類的，如等比數(shù)列的求和公式等．
(3)由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論：當(dāng)要解決的問(wèn)題中涉及參數(shù)時(shí)，由于參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，問(wèn)題的發(fā)展方向不同，這就要把參數(shù)劃分
14、幾個(gè)部分分類解決．
(4)問(wèn)題的具體情況引發(fā)的分類討論：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題本身就要分情況解決，如概率計(jì)算中要根據(jù)要求，分類求出基本事件的個(gè)數(shù)．
(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類討論的解題策略來(lái)解決．
(2019·徐州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(an－1＋2an－2)(n＝3，4，…)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，bn(n＝2，3，…)是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝nanbn(n＝1，2，…)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．
【解】 (1
15、)由an＝(an－1＋2an－2)得
an－an－1
＝－(an－1－an－2)(n≥3) ，
又a2－a1＝1≠0，
所以數(shù)列{an＋1－an}是首項(xiàng)為1，公比為－的等比數(shù)列，
an＋1－an＝，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋＋…＋
＝1＋＝－，
由，得b2＝－1，
由，得b3＝1，…
同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn＝－1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn＝1；因此bn＝
(2)cn＝nanbn＝
Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn＝－
＝－
．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn＝
16、
－
＝－－
，
令Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，①
①×得：Tn＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n，②
①－②得：Tn＝1＋＋＋＋＋…＋－n
＝－n＝3－(3＋n)，
所以Tn＝9－(9＋3n)
因此Sn＝
[名師點(diǎn)評(píng)] 對(duì)于(2)中的求解難點(diǎn)有二：一是數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式是分段函數(shù)，求其前n項(xiàng)和，對(duì)n分奇數(shù)或偶數(shù)的含義是什么要清楚， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)，而不是指Sn＝c1＋c3＋…＋cn．同樣當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一項(xiàng)是偶數(shù)項(xiàng)，而不是指Sn＝c2＋c4＋…＋cn．二是n
17、分奇數(shù)或偶數(shù)后對(duì)括號(hào)中數(shù)據(jù)的觀察處理要類比．不然項(xiàng)數(shù)和符號(hào)都會(huì)出錯(cuò)．
設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解】 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝a＋2－，
所以或
或
所以a≥1或；
當(dāng)a<0時(shí)，，解得?；
當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6,
所以不符合題意，
由以上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情況，再對(duì)每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與開(kāi)區(qū)間的關(guān)系分三種進(jìn)行
18、討論，即在開(kāi)區(qū)間的左邊、右邊、中間．本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖象，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用．
三 數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中的六個(gè)常考點(diǎn)
(1)集合的運(yùn)算及Venn圖；(2)函數(shù)及其圖象；(3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解；(6)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn))．
設(shè)M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，
19、求a的最大值和最小值．
【解】 如圖，集合M表示以O(shè)(0，0)為圓心，半徑r1＝a的上半圓，集合N表示以O(shè)′(1，)為圓心，半徑r2＝a的圓．因?yàn)镸∩N≠?，所以半圓O和圓O′有公共點(diǎn)．
當(dāng)半圓O和圓O′外切時(shí)，a最??；內(nèi)切時(shí)，a最大．
因?yàn)閨OO′|＝2，
所以外切時(shí)，a＋a＝2，a＝＝2－2．
內(nèi)切時(shí)a－a＝2，a＝2＋2．
所以a的最大值為2＋2，a的最小值為2－2．
[名師點(diǎn)評(píng)] 本題巧妙地轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，可謂是極具創(chuàng)新性的解題，既避免常規(guī)方法中的繁雜與高難度，又能通過(guò)圖形非常直觀地加以處理方程的問(wèn)題，真正達(dá)到數(shù)形結(jié)合的最佳效果．
(2019·泰州摸
20、底)滿足條件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面積的最大值是________．
【解析】 以直線AB 為x軸，線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C(x，y)，則由AC＝BC，得＝·，
所以(x－3)2＋y2＝8．點(diǎn)C的軌跡為圓(除去與x軸的交點(diǎn))，其半徑為2．則△ABC的面積的最大值等于×2×2＝2．
【答案】 2
[名師點(diǎn)評(píng)] 從解題的簡(jiǎn)捷性原則考慮，例1中將“數(shù)”的問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合在“形”中解決，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的難度，若利用“數(shù)”運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系求解，則問(wèn)題利于解決．這進(jìn)一步驗(yàn)證了華羅庚教授的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微
21、”的數(shù)學(xué)思維典語(yǔ)．
若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解】 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，結(jié)合草圖可知，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的圖象開(kāi)口向上，零點(diǎn)x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，
那么，即，
解得，即
22、
(1)化為已知：當(dāng)所要解決的問(wèn)題和我們已經(jīng)掌握的問(wèn)題有關(guān)系時(shí)，把所要解決的問(wèn)題化為已知問(wèn)題．
(2)化難為易：化難為易是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，當(dāng)我們遇到的問(wèn)題是嶄新的，解決起來(lái)困難時(shí)，就要把這個(gè)問(wèn)題化為我們熟悉的問(wèn)題，熟悉的問(wèn)題我們有解決的方法，就是容易的問(wèn)題，這是化難為易的一個(gè)方面．
(3)化繁為簡(jiǎn)：在一些問(wèn)題中，已知條件或求解結(jié)論比較煩瑣，這時(shí)就可以通過(guò)化簡(jiǎn)這些較煩瑣的已知或者結(jié)論為簡(jiǎn)單的情況，再解決問(wèn)題，有時(shí)把問(wèn)題中的某個(gè)部分看做一個(gè)整體，進(jìn)行換元，這也是化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想．
(4)化大為?。涸诮獯鹁C合性試題時(shí)，一個(gè)問(wèn)題往往是由幾個(gè)問(wèn)題組成的，整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，是通過(guò)這一系列的
23、小問(wèn)題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行解決．
(2019·無(wú)錫模擬)已知a1，a2，a3成等差數(shù)列(a3≠0)，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)也成等差數(shù)列，問(wèn)a1，a3，a5之間有什么關(guān)系？
【解】 由題設(shè)，為消去a2，a4，可從方程組中解出a2＝和a4＝，代入a＝a2a4得a＝·，
因?yàn)閍3≠0，則a3＝，
整理得a＝a1a5．因此，a1，a3，a5 成等比數(shù)列．
[名師點(diǎn)評(píng)] 一個(gè)題目含有較多的元素，它們之間有一定的聯(lián)系，我們?cè)诮忸}時(shí)，總是希望通過(guò)一定的變形、轉(zhuǎn)化來(lái)減少題目中的元素，從而變成一個(gè)較容易的題目，這是一種從多元向少元
24、的化歸，實(shí)現(xiàn)這一化歸的主要方法是消元法．例如，解二元一次方程組時(shí)，遇到兩個(gè)未知數(shù)，我們用消元法變成一個(gè)一元一次方程就是一種典型的從多元向少元的化歸．
設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，不等式x2log2＋2xlog2＋log2>0恒成立，求a的取值范圍．
【解】 設(shè)log2＝t,
則log2＝log2＝3－t，log2＝－2t．
于是，已知的不等式化為(3－t)x2＋2tx－2t>0．
該不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是
解得t<0．
即log2<0，進(jìn)一步解得0
25、在研究函數(shù)、不等式、三角問(wèn)題時(shí)應(yīng)用很廣．
試求常數(shù)m的范圍，使曲線y＝x2的所有弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分．
【解】 若拋物線上兩點(diǎn)(x1，x)，(x2，x)關(guān)于直線y＝m(x－3)對(duì)稱，則滿足
所以
消去x2得2x＋x1＋＋6m＋1＝0．
因?yàn)閤1∈R，所以Δ＝－8>0，
所以(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，所以m<－．
即當(dāng)m<－時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝m(x－3)對(duì)稱．
而原題要求所有弦都不能被直線垂直平分，那么所求的范圍為m≥－．
[名師點(diǎn)評(píng)] (1)在運(yùn)用補(bǔ)集的思想解題時(shí)，一定要搞清結(jié)論的反面是什么，這里所有的弦都不能被直線y＝m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一條弦能被直線y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直線y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探討某一問(wèn)題的解決辦法時(shí)，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)從反面的方向去探求．
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（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 考前高效提分策略 第1講 數(shù)學(xué)思想學(xué)案 文 蘇教版
