《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 蘇教版（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列
[2019考向?qū)Ш絔
考點(diǎn)掃描
三年考情
考向預(yù)測(cè)
2019
2018
2017
1．等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
第8題
第9題
數(shù)列是江蘇高考考查的熱點(diǎn)．考查的重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法．一般有兩道題，一道填空題，一道解答題．在填空題中，突出了“小、巧、活”的特點(diǎn)，屬中高檔題，解答題主要與函數(shù)、方程、推理證明等知識(shí)綜合考查，屬中等難度以上的試題，甚至是難題，多為壓軸題．
2．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用
第20題
第20題
1．必記的概念與定理
(1)an與Sn的關(guān)系
Sn＝a1＋a2
2、＋…＋an，an＝
(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列
等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義
an－an－1＝常數(shù)(n≥2)
＝常數(shù)(n≥2)
通項(xiàng)公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
判定方法
(1)定義法
(2)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列
(3)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列
(1)定義法
(2)中項(xiàng)公式法：a＝an·an＋2(n≥1，n∈N*)(an≠0) ?{an}為等比數(shù)列
(3)通項(xiàng)
3、公式法：an＝c·qn(c、q均是不為0的常數(shù))?{an}為等比數(shù)列
判定方法
(5){an}為等比數(shù)列，an>0?{logban}為等差數(shù)列
(4){an}為等差數(shù)列?{ban}為等比數(shù)列(b>0且b≠1)
2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論
(1)等差數(shù)列的性質(zhì)
①在等差數(shù)列{an}中，an＝am＋(n－m)d，d＝；
②當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．
③若公差d>0，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則數(shù)列為遞減等
4、差數(shù)列，若公差d＝0，則數(shù)列為常數(shù)列．
④當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap．
⑤若{an}是等差數(shù)列，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列．
⑥在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝a中，S2n－1＝(2n－1)·a中(這里a中即an)，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
⑦若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為An、Bn，且＝f(n)，則＝＝＝f(2n－1)．
⑧“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，
5、前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和．法一：由不等式組(或)確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n∈N*．
⑨如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．
(2)等比數(shù)列的性質(zhì)
①在等比數(shù)列{an}中，an＝amqn－m，q＝；
②當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am·an＝ap·aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am·an＝a．
③若{an}是等比數(shù)列，且公比q≠－1，則數(shù)列Sn ，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等比數(shù)列
6、．
當(dāng)q＝－1，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列Sn ，S2n－Sn，S3n－S2n，…是常數(shù)列{0，0，0，…}，它不是等比數(shù)列．
④若a1>0，q>1，則{an}為遞增數(shù)列；若a1<0，q>1, 則{an}為遞減數(shù)列；若a1>0，0
7、都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．
(3)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0．
等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
[典型例題]
(1)(2019·高考江蘇卷)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．
(2)(2019·蘇北三市高三模擬)在公比為q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝，且S5＝S2＋2，則q的值為________．
【解析】 (1)通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4
8、d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，則S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16．
優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．S9＝＝9a5＝27，a5＝3，又a2a5＋a8＝0，則3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，則S8＝＝4(a4＋a5)＝4(1＋3)＝16．
(2)由題意得，a3＋a4＋a5＝2，又a1＝，所以1＋q＋q2＝2，即q2＋q－1＝0，所以q＝，又q＞0，所以q＝．
【答案】 (1)16 (2)
(1)等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d(q)，n，Sn，知道其中三個(gè)
9、就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d(q)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一))設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{an}與數(shù)列(t＜－1)分別是公比為q，q′的等比數(shù)列，則q＋q′的取值范圍為________．
[解析] 若q＝1，則＋t＝n＋t，不成等比數(shù)列，故q≠1，則＋t＝＋t，考慮前三項(xiàng)1＋t，＋t，＋t成等比數(shù)列得，t＝，反之，當(dāng)t＝時(shí)，＋t＝成等比數(shù)列，此時(shí)，公比為，即q′＝．由t＜－1，得＜－1，q
10、＞1，q＋q′＝q＋＞2，故q＋q′的取值范圍是(2，＋∞)．
[答案] (2，＋∞)
2．(2019·蘇州市高三調(diào)研)已知{an}是等差數(shù)列，a5＝15，a10＝－10，記數(shù)列{an}的第n項(xiàng)到第n＋5項(xiàng)的和為Tn，則|Tn|取得最小值時(shí)的n的值為________．
[解析] 由得，從而等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝40－5n，得Tn＝(40－5n)＋…＋(15－5n)＝165－30n，因?yàn)閨Tn|≥0，又n∈N*，
故當(dāng)n＝5或6時(shí)，|Tn|取得最小值15．
[答案] 5或6
等差、等比數(shù)列的判斷與證明
[典型例題]
(2019·江蘇名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列{an
11、}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的m，n∈N*，都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．
(1)求的值；
(2)求證：{an}為等比數(shù)列．
【解】 (1)由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，
得(S2＋S1)2＝4a，
即(a2＋2a1)2＝4a．
因?yàn)閍1>0，a2>0，
所以a2＋2a1＝2a2，即＝2．
(2)證明：法一：令m＝1，n＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，
即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4，
令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，
即2a1＋a2＋a3＝a4．
又＝2，所以a4＝4a2＝8a1，a3＝4a1．
由(Sm＋n＋
12、S1)2＝4a2na2m，
得(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．
兩式相除，得＝，
所以＝＝2，
即Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)，
從而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．
以上兩式相減，
得an＋3＝2an＋2，
故當(dāng)n≥3時(shí)，{an}是公比為2的等比數(shù)列．
又a3＝2a2＝4a1，
從而an＝a1·2n－1，n∈N*．
顯然，an＝a1·2n－1滿足題設(shè)，
因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列．
法二：在(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中，
令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n．①
令m＝n＋1，得S2
13、n＋1＋S1＝2，②
在①中，用n＋1代替n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2．③
②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2(－)，④
③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2·(－)，⑤
由④⑤得a2n＋1＝．⑥
將⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n，
將⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，
所以＝＝2．
又＝2，從而an＝a1·2n－1，n∈N*．
顯然an＝a1·2n－1滿足題設(shè)．
因此{(lán)an}是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列．
遞推數(shù)列問題常見的處理方法
(1)將第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)合并在一起，看是否是一個(gè)特殊數(shù)列；若遞推關(guān)系式含有an與Sn，則考慮是否可以將a
14、n與Sn進(jìn)行統(tǒng)一．
(2)根據(jù)遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征確定是否為熟悉的、有固定方法的遞推關(guān)系式向通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)換類型，否則可以寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，看能否找到規(guī)律，即先特殊、后一般、再特殊．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
3．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
[解] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
即＝
15、(n≥2，n∈N*)．
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝．
(2)因?yàn)閍1＝1，所以b1＝2a1＝2．
因?yàn)閎n＝，
所以＝＋1，
即－＝1(n≥2)．
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)·1＝，故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝．
等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用
[典型例題]
(2018·高考江蘇卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列．
(1)設(shè)a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1對(duì)n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范圍；
16、(2)若a1＝b1>0，m∈N*，q∈(1，]，證明：存在d∈R，使得|an－bn|≤b1對(duì)n＝2，3，…，m＋1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示)．
【解】 (1)由條件知：an＝(n－1)d，bn＝2n－1，
因?yàn)閨an－bn|≤b1對(duì)n＝1，2，3，4均成立，
即|(n－1)d－2n－1|≤1對(duì)n＝1，2，3，4均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得≤d≤，
因此，d的取值范圍為．
(2)由條件知：an＝b1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1．
若存在d，使得|an－bn|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)成立，
即|b1＋(n－1)d－
17、b1qn－1|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)，
即當(dāng)n＝2，3，…，m＋1時(shí)，d滿足b1≤d≤b1．
因?yàn)閝∈(1，]，則10，對(duì)n＝2，3，…，m＋1均成立．
因此，取d＝0時(shí)，|an－bn|≤b1對(duì)n＝2，3，…，m＋1均成立．
下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值(n＝2，3，…，m＋1)．
①當(dāng)2≤n≤m時(shí)，－＝＝，
當(dāng)1＜q≤2時(shí)，有qn≤qm≤2，從而n(qn－qn－1)－qn＋2>0．
因此，當(dāng)2≤n≤m＋1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，
故數(shù)列的最大值為．
②設(shè)f(x)＝2x(1－x)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝(ln 2－1－
18、xln 2)2x<0，
所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)
19、
(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，數(shù)列{bn＋mbn＋1}都是等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差；
(3)設(shè)cn＝dn＝，
求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，并比較Tn與dn的大小．
[解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則解得(舍去)，或
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n．
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，4b1＝b＋2b1＋1，所以b1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，4(Sn－Sn－1)＝4bn＝b＋2bn＋1－(b＋2bn－1＋1)，
所以(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
因?yàn)閎n＋bn－1>0，所以bn－bn－1＝2，
所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2n－1．
20、
因?yàn)閎n＋1＋mbn＋2－(bn＋mbn＋1)＝(bn＋1－bn)＋m(bn＋2－bn＋1)＝2＋2m，
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)m，數(shù)列{bn＋mbn＋1}都是等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為2＋2m．
(3)因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，cn＝＝－，又c1＝－也符合此式，
所以cn＝－，
所以Tn＝(－2)＋(－)＋…＋(－)＝－2．
又dn＝＝－2，
所以Tn－dn＝－2－[－2]＝，
當(dāng)n<6時(shí)，<0，所以Tn6時(shí)，>0，所以Tn>dn．
1．(2019·南京模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則＝_______
21、_．
[解析] 法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aq6＝16，所以a1q3＝±4．由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1．于是＝q10＝1．
法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，所以或因?yàn)閍＝a4a8>0，所以則公比q滿足q4＝1，q2＝1，所以＝q10＝1．
[答案] 1
2．(2019·宿遷模擬)若等差數(shù)列{an}滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是________．
[解析] 由S3＝3a2，得a2＝1，由S5＝5a3，得a3＝2，則a4＝3，S7＝7a4
22、，則a4＋S7＝8a4＝24．
[答案] 24
3．(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，bn＝(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是________．
[解析] 由已知得＝(n∈N*)，
則＝＋n＋(n∈N*)，即bn＋1－bn＝n＋(n∈N*)，所以b2－b1＝1＋，b3－b2＝2＋，…，bn－bn－1＝(n－1)＋，
累加得bn－b1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋＝＋＝，
又b1＝＝1，所以bn＝＋1＝．
[答案] bn＝
4．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝_
23、_______．
[解析] 因?yàn)?(an＋an＋2)＝5an＋1，
所以2an(1＋q2)＝5anq，
所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝．
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a1>0，所以q>1，所以q＝2．
[答案] 2
5．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研(一))中國古代著作《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為______．
[解析] 由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為{an}，易知公比q＝，則S
24、7＝＝2a1＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q6＝700××＝，所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為．
[答案]
6．(2019·蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝______．
[解析] 法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若公比q為1，則＝，與已知條件不符，所以公比q≠1，所以Sn＝，因?yàn)椋剑裕?，所以q5＝2，所以＝＝＝．
法二：因?yàn)椋?，所以不妨設(shè)S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比數(shù)列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，從
25、而S20＝15a，所以＝＝．
[答案]
7．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么an＋bn組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為________．
[解析] {an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{an＋bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋b1＝100，
d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－100＝0，所以{an＋bn}為常數(shù)數(shù)列，第37項(xiàng)為100．
[答案] 100
8．(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比列{an}中，a2＝3，a4＝27，S2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列{anan＋1}的前n項(xiàng)和，若S2n＝
26、kTn，則實(shí)數(shù)k的值為______．
[解析] 因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，所以S2n＝＝，an＝3n－1．令bn＝anan＋1＝3n－1·3n＝32n－1，所以b1＝3，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比q′＝9，所以Tn＝＝．因?yàn)镾2n＝kTn，所以＝k·，解得k＝．
[答案]
9．(2019·泰州市高三模擬)已知公差為2的等差數(shù)列{an}及公比為2的等比數(shù)列{bn}滿足a1＋b1>0，a2＋b2<0，則a3＋b3的取值范圍是________．
[解析] 法一：由題意可得，該不等式組在平面直角坐標(biāo)系a1Ob1中表示的平面區(qū)域如圖
27、中陰影部分所示，則當(dāng)a3＋b3＝a1＋4＋4b1經(jīng)過點(diǎn)(2，－2)時(shí)取得最大值－2，則a3＋b3<－2．
法二：由題意可得，則a3＋b3＝a1＋4＋4b1＝－2(a1＋b1)＋3(a1＋2b1)＋4<－2，故a3＋b3的取值范圍是(－∞，－2)．
[答案] (－∞，－2)
10．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0．
其中所有正確判斷的序號(hào)是________．
[解析] 由等差比數(shù)
28、列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時(shí)，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以④正確．
[答案] ①④
11．(2019·寶雞模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解] (1)證明：因?yàn)閍n＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an
29、－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，
所以an＋2an－1≠0(n≥2)，
所以＝3(n≥2)，
所以數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，
所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又因?yàn)閍1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．
所以an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
12．(2019·蘇州市高三模擬)已知數(shù)列{an}滿足：
30、a1＝，an＋1－an＝p·3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R．
(1)若q＝0，且數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求p的值；
(2)若p＝1，且a4為數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，求q的取值范圍．
[解] (1)因?yàn)閝＝0，an＋1－an＝p·3n－1，
所以a2＝a1＋p＝＋p，a3＝a2＋3p＝＋4p．
由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得＝，解得p＝0或p＝1．
當(dāng)p＝0時(shí)，an＋1＝an，所以an＝，符合題意；
當(dāng)p＝1時(shí)，an＋1－an＝3n－1，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＋(1＋3＋…＋3n－2)＝＋＝·3n－1，
所以＝3．符合題
31、意．
所以p的值為0或1．
(2)因?yàn)閜＝1，所以an＋1－an＝3n－1－nq，
又a4為數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，
所以，即，所以3≤q≤．
此時(shí)a2－a1＝1－q<0，a3－a2＝3－2q<0，
所以a1>a2>a3≥a4．
當(dāng)n≥4時(shí)，令bn＝an＋1－an，bn＋1－bn＝2·3n－1－q≥2·34－1－>0，
所以bn＋1>bn，所以0≤b4
32、等差數(shù)列，并記在an－1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的均值為Cn－1．
(1)若an＝，求C1，C2，C3；
(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)λ，使{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的λ，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
[解] (1)由題意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，
所以在a1與a2之間插入－1，0，C1＝－．
在a2與a3之間插入2，3，4，C2＝3．
在a3與a4之間插入6，7，8，9，C3＝．
(2)在an－1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，d＝＝1，
所以Cn－1＝＝＝．
假設(shè)存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．
所以(Cn＋1
33、－λCn)－(Cn－λCn－1)
＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1)
＝－λ·
＝(1－λ)n＋－λ＝常數(shù)，所以λ＝1．
即λ＝1時(shí)，{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．
14．(2019·無錫期中檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1＝1，其前n項(xiàng)和為Tn，且b2＋S2＝11，2S3＝9b3．
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)問是否存在正整數(shù)m，n，r，使得Tn＝am＋r·bn成立？如果存在，請(qǐng)求出m，n，r的關(guān)系式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn
34、}的公比為q(q＞0)，則
解得d＝3，q＝2．
所以an＝3n，bn＝2n－1．
(2)因?yàn)門n＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，
所以有2n－1＝3m＋r·2n－1．(*)
若r≥2，則r·2n－1＞2n－1，(*)不成立，
所以r＝1，m＝．
若n為奇數(shù)，①當(dāng)n＝1時(shí)，m＝0，不成立，
②當(dāng)n＞1時(shí)，設(shè)n＝2t＋1，t∈N*，
則m＝＝＝∈Z；
若n為偶數(shù)，設(shè)n＝2t，t∈N*，
則m＝＝＝＝2·＋，
因?yàn)椤蔤，所以m?Z．
綜上所述，存在正整數(shù)m，n，r，使得Tn＝am＋r·bn成立，此時(shí)n為大于1的奇數(shù)，r＝1，且m＝．
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（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 蘇教版
