（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案 文 蘇教版

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1、第3講　平面向量 [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測(cè) 2019 2018 2017 1．平面向量的概念及線性運(yùn)算 江蘇高考對(duì)平面向量考查命題熱點(diǎn)是：平面向量的幾何意義、數(shù)量積、兩向量平行與垂直．試題常以填空題形式出現(xiàn)，數(shù)量積是命題熱點(diǎn)．平面向量常與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等． 2．平面向量的數(shù)量積 第12題 第13題 3．平面向量與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 第12題 第16題 1．必記的概念與定理 (1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0． (2)長度等于

2、1個(gè)單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為． (3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)． (4)如果直線l的斜率為k，則a＝(1，k)是直線l的一個(gè)方向向量． 2．平面向量的兩個(gè)重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa． (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 3．平面向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a|

3、|b|cos θ，其中θ是a與b的夾角．向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°，a與b同向時(shí)，夾角θ＝0°；a與b反向時(shí)，夾角θ＝180°． 4．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論 (1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)． (3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝－＝(x2－x1，y2－y1)． (4)設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． (5)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2． (6)兩向量a，b的

4、夾角公式：cos θ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (7)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0， 則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0． a⊥b(b≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0． 5．需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)． (2)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的． (3)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，

5、向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息． (4)“a·b>0”是“θ為銳角”的必要不充分條件， “a·b<0”是“θ為鈍角”的必要不充分條件． 平面向量的概念及線性運(yùn)算 [典型例題] (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． (2)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°．若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________． 【解析】　(1)因?yàn)閙a＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 所以所以所以m－n＝2－5＝－

6、3． (2)法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，則xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得解得所以m＋n＝＋＝3． 法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，則cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n

7、 ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n?、?，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n?、冢?lián)立①②，解得所以m＋n＝＋＝3． 【答案】　(1)－3　(2)3 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解． (3)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·徐州模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC．若＝x＋y

8、(x，y∈R)，則x－y的值為________． [解析] 如圖，延長DC，AB交于點(diǎn)E， 因?yàn)椤螪CA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA．又∠ABC＝90°，所以＝－．因?yàn)椋絰＋y，所以＝－x＋y．因?yàn)镃，D，E三點(diǎn)共線，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1． [答案] －1 2．(2019·江門模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為________． [解析] 如圖所示，由＝λ且＋＋＝0，則P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)， 因此＝－2，則λ＝－2． [答案] －2 平面向量的數(shù)量積 [典型例題] (

9、2019·高考江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若·＝6·，則的值是________． 【解】　法一：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，則直線OA：y＝x，直線CE：(b－2a)y＝c(x－a)，聯(lián)立可得O，則·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化簡(jiǎn)得4ab＝b2＋c2＋a2，則＝＝＝． 法二： 由A，O，D

10、三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ，則＝(＋)，由E，O，C三點(diǎn)共線可設(shè)＝μ，則－＝μ(－)，則＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)·＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，則＝(＋)，＝－＝－，則6·＝6×(＋)·＝(·＋2－2)＝·，化簡(jiǎn)得32＝2，則＝． 向量數(shù)量積是高考命題的熱點(diǎn)，可以說是必考內(nèi)容．向量數(shù)量積主要應(yīng)用于三類問題：一是角度問題，二是求模問題，三是與三角形結(jié)合解決有關(guān)問題． 涉及數(shù)量積和模的計(jì)算問題，通常有兩種求解思路： (1)直接利用數(shù)量積的定義， 在利用定義計(jì)算時(shí)，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模、夾角和已知的向量進(jìn)行計(jì)算．求平面向量的模時(shí)，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方． (2)

11、建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．(2019·蘇北四市高三模擬)已知||＝||＝，且·＝1，若點(diǎn)C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是________． [解析] 由題意可得·＝||·||cos∠AOB＝2cos∠AOB＝1，則cos∠AOB＝，∠AOB＝．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過點(diǎn)O且與OA垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(，0)，B，設(shè)C(x，y)，則＋＝，又|＋|＝1，所以＋＝1，即點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓．||的幾何意義是點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，又圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以－1≤||≤＋1． [答案] [－1，＋1] 4．(

12、2019·益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a，b滿足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b與a－b的夾角為，則t的值為________． [解析] 因?yàn)閍·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|．又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|．因?yàn)閍＋b與a－b的夾角為，所以＝cos ，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2．又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝．因?yàn)閠＞0，所以t＝． [答案] 平面向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用 [典型例題] (2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市

13、模擬)已知向量a＝，b＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1)若a⊥b，求tan α的值； (2)若a∥b，求α的值． 【解】　(1)因?yàn)閍⊥b，所以sin＋12cos α＝0， 即sin α＋cos α＋12cos α＝0， 即sin α＋cos α＝0， 又cos α≠0，所以tan α＝－． (2)若a∥b，則4cos αsin＝3， 即4cos α＝3， 所以sin 2α＋cos 2α＝2, 所以sin＝1， 因?yàn)棣痢?0，π)，所以2α＋∈， 所以2α＋＝，即α＝． 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，

14、如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問題． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 5．(2019·江蘇省四星級(jí)學(xué)校聯(lián)考)已知向量a＝(2，cos 2x)，b＝，函數(shù)f(x)＝a·b． (1)若f(α)＝，α∈，求f的值； (2)若函數(shù)g(x)＝af(x)＋b的定義域?yàn)?，值域?yàn)閇1－，3]，求實(shí)數(shù)a，b的值． [解] 由題意知f(x)＝2cos2－cos 2x＝cos＋1－cos 2x＝2sin＋

15、1． (1)因?yàn)閒(α)＝2sin＋1＝， 所以sin＝－．又α∈， 所以2α－∈，則cos＝． 因?yàn)閒＝2sin＋1＝2sin 2α＋1， sin 2α＝sin＝－×＋×＝， 所以f＝2×＋1＝＋1＝． (2)因?yàn)間(x)＝af(x)＋b＝2asin＋a＋b，由x∈可得，2x－∈， 所以sin∈．顯然a≠0， ①當(dāng)a＞0時(shí)，由題意可得， 解得； ②當(dāng)a＜0時(shí)，由題意可得， 解得． 綜上，或． 1．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________． [解析] 由題意知a＋λb＝k[－(b－3a)]， 所以解得 [答案]

16、 － 2．(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的單位向量，且c·a＝c·b＝－1，則|a－2b＋3c|＝________． [解析] 設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則c·a＝x＝－1，c·b＝y(tǒng)＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝＝． [答案] 3．(2019·南京、鹽城高三模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則·的值為________． [解析] 由＝2，得＝(＋2)，又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以·＝(＋2)·(－)＝(－9＋3

17、)＝－2． [答案] －2 4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與b的夾角θ＝________． [解析] 因?yàn)閍·(b－a)＝a·b－a2＝2， 所以a·b＝2＋a2＝3． 所以cos θ＝＝＝． 所以向量a與b的夾角為． [答案] 5．(2019·無錫市高三模擬)已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則α的模的取值范圍為________． [解析] 法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠

18、ABO∈，即0<|α|≤． 法二：設(shè)|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0

19、2，得nb＝．易得＋2＝(4，n＋2b)，則|＋2|＝≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2b時(shí)取等號(hào)，故|＋2|的最小值為2． [答案] 2 7．(2019·南通市高三模擬)如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1，3．點(diǎn)B，C分別在m，n上，|＋|＝5，則·的最大值是________． [解析] 以直線n為x軸，過點(diǎn)A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0，3)，設(shè)C(c，0)，B(b，2)，則＝(b，－1)，＝(c，－3)， 從而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9， 又·＝bc＋3≤＋3＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)

20、取等號(hào)． [答案] 8．(2019·南京高三模擬)在凸四邊形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，則四邊形ABCD的面積為________． [解析] (＋)·(＋)＝(－＋)·(－＋)＝(＋)·(－)＝－＝5，即AC2－BD2＝5．因?yàn)锽D＝2，所以AC＝3， 所以四邊形ABCD的面積為AC×BD＝×2×3＝3． [答案] 3 9．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(一))如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為5的圓O上，E是OA的中點(diǎn)，AB＝8，AC＝6，＝x＋y(x，y是實(shí)數(shù))，則的值是______． [解析] 連結(jié)BC，根據(jù)題意，可知AB2＋AC2＝102，

21、又圓O的半徑為5，則直徑是10，所以BC恰好是圓O的直徑，所以AB⊥AC．＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝－，此時(shí)x＝，y＝－，x－y＝－(－)＝1．又＝(＋)，·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝－，故＝－． [答案] － 10．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2≥(m－2)·＋m(·)·(·)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是________． [解析] 原不等式可化為(a－c)2＋(b－d)2≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，

22、整理成關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式為a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，從而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc)≤0，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)d的不等式為d2－mbd＋b2＋c2－mbc－m2c2≥0，從而Δ2＝m2b2－4≤0，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)b的不等式為(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0， 從而， 解得1－≤m≤－1＋，所以m的最大值是－1． [答案] －1 11．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一))已知在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b＋2c，a)，且m⊥n． (1)求角

23、A的大??； (2)若a＝4，b＋c＝8，求AC邊上的高h(yuǎn)的值． [解] (1)因?yàn)閙⊥n，所以m·n＝0， 所以(b＋2c)cos A＋acos B＝0， 由正弦定理得cos Asin B＋2cos Asin C＋cos Bsin A＝0， 即sin(A＋B)＋2cos Asin C＝0， 因?yàn)锳＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＋2cos Asin C＝0． 又C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos A＝－． 因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝． (2)由 解得b＝c＝4． 又S△ABC＝bcsin A＝h·AC，所以h＝2． 12．(2

24、019·蘇州期末檢測(cè))已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共線，其中θ∈． (1)求tan的值； (2)若5cos (θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值． [解] (1)因?yàn)閍∥b，所以sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2． 所以tan ＝＝＝－3． (2)由(1)知tan θ＝2，又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝， 因?yàn)?cos(θ－φ)＝3cos φ， 所以5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3cos φ， 即cos φ＋2sin φ＝3cos φ， 所以cos φ＝sin φ，即tan φ＝1， 又0＜

25、φ＜，所以φ＝． 13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α

26、令t＝sin x＋cos x， 則2sin xcos x＝t2－1，且－1

27、0， 所以sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0． 所以sin 2α＋cos 2α＝0，所以tan 2α＝－． 14．(2019·鎮(zhèn)江期末)已知△ABC的面積為S，且·＝S． (1)求sin A； (2)若||＝3，|－|＝2，求sin B． [解] (1) 因?yàn)椤鰽BC的面積為S，且·＝S， 所以bccos A＝×bcsin A， 所以sin A＝cos A， 所以A為銳角，且sin2A＋cos2A＝sin2A＋sin2A＝sin2A＝1， 所以sin A＝． (2)設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， 因?yàn)閨|＝c＝3， |－|＝||＝a＝2， 由正弦定理得＝， 即＝， 所以sin C＝，又因?yàn)閏＜a，則C為銳角， 所以C＝， 所以sin B＝sin＝sin Acos ＋cos Asin ＝×＋×＝． - 15 -