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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(V)
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
1. “”是“方程表示橢圓”的（ ）條件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D. 既不充分也不必要
2、已知函數(shù)的值域?yàn)?，則正實(shí)數(shù)等于（ ）
A. B. C. D.
3. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝的四個(gè)命題：其中的真命題為（ ）
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i， p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i， p4：z的虛部為－1．
A．p2，p3 B．p1
2、，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
4. 設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，
輸出S
是
否
開(kāi)始
結(jié)束
是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5.已知的圖像是由的圖像向左平移個(gè)單位得到，
是的導(dǎo)函數(shù)，且，則的最小值是( )
. . . .
6.右邊框圖是用數(shù)列的前100項(xiàng)和，矩形賦值框和菱形
判斷框應(yīng)分別填入( )
A. ？ B. ？
C. ？ D.
3、 ？
7.已知平面區(qū)域：，，的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，頂點(diǎn)到底面的距離為，點(diǎn)均在半徑為的同一球面上，為定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是（ ）
. . . .
9．如圖，已知點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量上的投影的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．1
10．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線(xiàn)段，
4、在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段，則a+b的最大值為 ( )
A． B． C． D．
11.如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線(xiàn),之間//,與半圓相交于F,G兩點(diǎn),與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點(diǎn),設(shè)弧的長(zhǎng)為,,若從平行移動(dòng)到,則函數(shù)的圖像大致是 （ ）
12.定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿(mǎn)足，，則稱(chēng)數(shù)，為上的“對(duì)望數(shù)”，函數(shù)為上的“對(duì)望函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
. . . .
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知向量
5、a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝ ．
14.點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，且在點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角為
，則的取值范圍是
15. 已知是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，B是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，如果與的夾角不小于，則該橢圓的離心率的取值范圍是 ．
16. 數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前64項(xiàng)和為 ．
三．解答題：解答時(shí)需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和推理過(guò)程，本大題共6小題，
17．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知向量，設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求在區(qū)間上的零點(diǎn)；
（Ⅱ）在△中，角的對(duì)邊分別是，且滿(mǎn)足，求的取值范
6、圍．
18.（本小題滿(mǎn)分12分）某高校自主招生選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某同學(xué)能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響。
（I）求該同學(xué)被淘汰的概率；
（Ⅱ）該同學(xué)在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
19．（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，正四棱錐S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分別為BC、SC、DC的中點(diǎn)，設(shè)P為線(xiàn)段FG上任意一點(diǎn)．
（l）求證：EP⊥AC;
（2）當(dāng)直線(xiàn)BP與平面EFG所成的角取得最大值時(shí)，
求二面角P-BD-C的大?。?
20
7、. （本小題滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），且滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)：若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由．
21. 已知，．
（Ⅰ）設(shè)，求函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意的恒成立；
22．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—1幾何證明選講：
如圖，CD為△ABC外接圓的切線(xiàn)，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)D，E,F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且，四點(diǎn)共圓．
（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（Ⅱ）若，求過(guò)四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．
8、
23．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線(xiàn)(為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與，M為PQ的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求M的軌跡的參數(shù)方程；
（Ⅱ）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
24．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—5；不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明： （Ⅰ）； （Ⅱ）．
漢鐵高中xx屆高三12月月考試題答案（理科）
B B C C A B C D A C D
13. 14. 15. 16. 2080
17. 因?yàn)椋瘮?shù)．
所以 ………………………2分
9、 ………………………4分
（Ⅰ）由，得．
，或
又，或．
所以在區(qū)間上的零點(diǎn)是和． ………………………8分
（Ⅱ）在△中，，所以．
由且，得從而 ……………10分
， ． ………………12分
18. ．解析：（Ⅰ）記“該同學(xué)能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，
則，，，
所以該同學(xué)被淘汰的概率為：
．……………6分
（Ⅱ）的可能值為1,2,3，，，．
所以的分布列為：
1
2
3
P
數(shù)學(xué)期望為.…………12分
A
B
C
D
S
F
G
E
P
z
y
x
O
3分
19．(1)
10、證：設(shè)AC交BD于O，
∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC 1分
又∵BD⊥AC，
又∵，∴. 4分
(2)解：設(shè)AB = 2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)，F(xiàn)(，，)，B(1，，0) 5分
∴
設(shè)，
故點(diǎn)
∴ 6分
設(shè)面EFG的法向量為n = (abc)
∵
∴ ，令a = 1得n = (1，1，0) 7分
設(shè)BP與平面EFG所成角為，則
= 8分
∵點(diǎn)P在線(xiàn)段FG上，∴，即=1時(shí)取最大值
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合 9分
設(shè)二面角P－BD－C的大小為
11、
∵點(diǎn)P到平面ABCD的距離為，點(diǎn)P到BD的距離為1 10分
則 ∴二面角P－BD－C的大小為． 12分
解：（Ⅰ）橢圓的方程可化為，則，，．
故離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．
（Ⅱ）由題意，直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，則，．
由得．
判別式．
所以，，
因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，所以，
所以．
化簡(jiǎn)得，
所以，
化簡(jiǎn)得，即或．
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為，過(guò)定點(diǎn)．
代入判別式大于零中，解得．
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)定點(diǎn)，不符合題意．
故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
21．解：（1），，則 ，∴圖像在處的切線(xiàn)方程為即 3分
（2）令， 4分
則
12、
∵與同號(hào) ∴ ∴
∴ ∴在單調(diào)遞增 6分
又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 ∴
∴ 即對(duì)任意的恒成立
22．解：(1)證明：因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線(xiàn)，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．
(2)聯(lián)結(jié)CE，因?yàn)椤螩BE＝90°，所以過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB＝BE
13、，有CE＝DC，
又BC＝DB·BA＝2DB，所以CA＝4DB＋BC＝6DB.
而DC＝DB·DA＝3DB，故過(guò)B，E，F(xiàn)，C的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.
23．解：(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)．
(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離
d＝＝(0<α<2π)．當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
24．證明：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca得
a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
由題設(shè)得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因?yàn)?＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，
所以＋＋≥1.
2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(V)
