2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜述】本試卷注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了對(duì)數(shù)學(xué)的計(jì)算能力、邏輯思維能力等方面的考察。突出考查數(shù)學(xué)主干知識(shí) ,側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查；側(cè)重于知識(shí)交匯點(diǎn)的考查。注重雙基和數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法的復(fù)習(xí)，注重運(yùn)算能力思維能力的培養(yǎng)。較多試題是以綜合題的形式出現(xiàn)，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，能考查學(xué)生的能力。 【題文】一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 【題文】1．已知集合A={1,3,4,6,7,8}，B=｛1,2,4,5,6｝則集合A∩B有（ ）個(gè)子集 A

2、.3 B.4 C.7 D.8 【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算；子集的概念. A1 【答案】【解析】D 解析：∵ A∩B={1,4,6}，∴A∩B有個(gè)子集，故選D. 【思路點(diǎn)撥】求得A∩B，再用公式求其子集個(gè)數(shù). 【題文】2．設(shè)向量滿足，則（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 【知識(shí)點(diǎn)】向量的模與與向量數(shù)量積的關(guān)系. F1 F3 【答案】【解析】A 解析：因?yàn)?，所? 兩式相減得: 44，所以1，故選A. 【思路點(diǎn)撥】將向量的模平方，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積運(yùn)算，再相減得結(jié)論. 【題文】3．已知a,b為實(shí)數(shù)，命題甲：，命題乙：，則

3、甲是乙的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件的判定. A2 【答案】【解析】B 解析：當(dāng)a=2,b=1時(shí)，，但不成立；當(dāng)時(shí)， ，則成立，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】只需判斷命題：“若甲則乙”與“若乙則甲”的真假. 【題文】4．已知變量滿足約束條件，則的最大值為( ) A.8 B.11 C.9 D.12 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃. E5 【答案】【解析】B 解析：畫出可行

4、域，平移目標(biāo)函數(shù)得最優(yōu)解為直線y=2與x-y=1的交點(diǎn)（3,2）所以的最大值為11，故選B. 【思路點(diǎn)撥】畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解即可. 【題文】5．已知且，則=（　　?。? A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.2 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)集合交集是空集的條件. A1 【答案】【解析】A 解析：若，則或，解得a= -6或a= -2,故選A. 【思路點(diǎn)撥】要使，需使：缺少點(diǎn)（2，3）的直線y-3=3(x-2)與直線ax+2y+a=0平行，或者直線ax+2y+a=0過點(diǎn)（2，3），但不與直線y-3=

5、3(x-2)重合即可. 【題文】6已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為(??? ) A. B. C. D. 不存在 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；基本不等式 D3 E6 【答案】【解析】A 解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q, ,則若，故選A 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，再結(jié)合，求出m,n的和，再結(jié)合基本不等式，即可得到答案. 【題文】7設(shè)斜率為的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為(　　) A. B.

6、 C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線 H8 【答案】【解析】C 解析：兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c,c，所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為，代入橢圓，兩邊乘以則，故選C. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意表示出兩個(gè)焦點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，再解有關(guān)于a與c的關(guān)系式即可. 【題文】8若（），則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A. 882 B. 756 C.750 D. 378 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì) C3 【答案】【解析】B 解析：由題意可知，由三角函數(shù)值與三角函數(shù)的周期性可知前

7、16個(gè)值中有6個(gè)正數(shù)，分別為，16個(gè)值為一組呈現(xiàn)周期性，xx為，所以正數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選B 【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值與三角函數(shù)的周期性可知前16個(gè)值為一個(gè)周期，其16個(gè)值中有6個(gè)正數(shù)，分別為，類推可得結(jié)果. 【題文】9已知A，B，C，D是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，,B為軸上的點(diǎn)，C為圖像上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在軸上的投影為，則的值為（ ） A. B． C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) C4 【答案】【解析】D 解析：因?yàn)锳，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+ ）（ω

8、＞0，0＜＜一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的五個(gè)點(diǎn)，如圖所示， ，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱， 在x軸上的投影為， 所以T=4×（）=π，所以ω=2，因?yàn)椋? 所以0=sin（﹣+ ），0＜＜，=． 故選D． 【思路點(diǎn)撥】通過函數(shù)的圖象，結(jié)合已知條件求出函數(shù)的周期，推出ω，利用A的坐標(biāo)求出的值即可． 【題文】10.如圖，已知B、C是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A在劣弧PQ（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，其中，OP⊥OQ，作AH⊥BC于H。若記，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D.

9、 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義 F1 【答案】【解析】B 解析：由題意，B（1，0），C（﹣1，0）， 由三角函數(shù)定義，可設(shè)A（cosθ，sinθ），則H（cosθ，0），． ∴，，， 由，可得， ∴， ∴， 由，知xy∈， 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)定義，可設(shè)A（cosθ，sinθ），則H（cosθ，0），，利用，求出x，y，表示出xy，即可求出其取值范圍. 【題文】二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共計(jì)25分） 【題文】11設(shè)復(fù)數(shù)，則_____________ 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)

10、數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4 【答案】【解析】 解析： 故答案為。 【思路點(diǎn)撥】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求模． 【題文】12若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________ 【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．A2 【答案】【解析】 解析：∵“”是假命題 ∴“”的否定“?x∈R，”為真命題 令，y表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到數(shù)2及-1的距離， 所以y的最小值為3，∴，故答案為。 【思路點(diǎn)撥】利用已知判斷出否命題為真命題；構(gòu)造函數(shù)，利用絕對(duì)值的幾何意義求出函數(shù)的最小值，令最小值大于2，求出a的范圍． 【題文】13已知是定義在R上的奇函

11、數(shù)。當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______________ 【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．B5 【答案】【解析】[-5，0]∪[5，+∞） 解析：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f（0）=0． 設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=x2+4x， 又f（-x）=x2+4x=-f（x），∴f（x）=-x2-4x，x＜0． 當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）≥x得x2-4x≥x，即x2-5x≥0，解得x≥5或x≤0（舍去），此時(shí)x≥5． 當(dāng)x=0時(shí)，f（0）≥0成立． 當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）≥x得-x2-4x≥x，即x2+5x≤0，解得-5≤x≤0（舍去），此時(shí)-5≤x＜0． 綜上-5≤x≤0或

12、x≥5．故答案為：[-5，0]∪[5，+∞）． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后解不等式即可． 【題文】14.有兩個(gè)零點(diǎn)，則______________ 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像.B10 【答案】【解析】 解析：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)根,令,即兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像可知，故 【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合法即可。 【題文】15.點(diǎn)P（-1,0）在動(dòng)直線上的射影為M，已知點(diǎn)N（3,3），則線段MN長(zhǎng)度的最大值是____________ 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．D2H2 【答案】【解析】 解析：易知?jiǎng)又本€恒過定A

13、點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓B上，MN長(zhǎng)度的最大值為。故答案為。 【思路點(diǎn)撥】先求出直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，再計(jì)算最大值即可。 【題文】三、解答題（本大題共6小題，16，17，18題每題13分，19，20，21題每題12分.） 【題文】16．已知函數(shù)。 (1) 求函數(shù)的最小正周期和值域； (2) 若為第二象限角，且，求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)；的性質(zhì)；同角三角函數(shù)關(guān)系；三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn). C6 C5 C4 C2 C7 【答案】【解析】（1）函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，值域?yàn)閇-1,3]；（2）. 解析

14、：（1）∵， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，值域?yàn)閇-1,3]. (2)∵∴，即， 又∵是第二象限角，∴. ∵ = ∴原式= 【思路點(diǎn)撥】（1）利用二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)公式把函數(shù)f(x)化為： ，再確定其周期和值域；（2）由（1）及已知得，. 然后把所求化簡(jiǎn)得，所求=，從而得所求值. 【題文】17.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列， 恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，。 （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意的， 恒成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列；等比數(shù)列 D2 D3 【答案】【解析】 (1) (2) 解析：設(shè)公差為d，則有

15、 ，又因?yàn)椋? (Ⅱ) ， 對(duì)恒成立， 對(duì)恒成立， 令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差、等比數(shù)列的概念可列出關(guān)系求出公差與公比，再寫出通項(xiàng)公式，第二問，可變形為與k有關(guān)的不等式，再利用通項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行證明. 18.已知函數(shù)（為常數(shù)）。 （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值； （2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，試判斷f（x）的單調(diào)性； （3）若對(duì)任意的 存在，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B12 【答案】【解析】（1）3；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（3）（﹣∞，﹣log2e]。 解析：依題意．

16、（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分） （2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f′（x）= 因?yàn)?＜a≤2，所以，而x＞0，即， 故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（8分） （3）當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1﹣a， 故問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立 記，（1＜a＜2），則，…（10分） 令M（a）=﹣alna﹣1+a，則M'（a）=﹣lna＜0 所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分） 故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上單調(diào)遞減， 所以 即實(shí)數(shù)

17、m的取值范圍為（﹣∞，﹣log2e]．…（14分） 【思路點(diǎn)撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的 定義，即可求a的值；當(dāng)0＜a≤2時(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；（3）問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立． 【題文】19.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，且，＝1，b＝2。 (1)求∠C和邊c； (2)若,,且點(diǎn)P為△BMN內(nèi)切圓上一點(diǎn)， 求的最大值。 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；誘導(dǎo)公式；余弦定理；坐標(biāo)法求最值. C2 C6 C8 H9 【答案】【解析】（1）C＝ ，c=；(2) 最大值 解析：(1)∵2sin

18、2＋cos 2C＝1， ∴cos 2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cos C， ∴2cos2C＋cos C－1＝0，∴cos C＝或cos C＝－1， ∵C∈(0，π)，∴cos C＝，∴C＝． 由余弦定理得c＝＝． （2） 建立坐標(biāo)系，由（1）A，由,知 ，△BMN的內(nèi)切圓方程為：，設(shè)，則令 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二倍角公式，誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角范圍，求得 C＝，再由余弦定理求邊c的長(zhǎng)；（2）由(1)知△ABC 是∠B=90°，∠C=60°的直角三角形，故可以以B為原點(diǎn)，直線BA為x軸，直線BC 為y軸建立直角坐標(biāo)系，從而得△BMN的內(nèi)切圓的參數(shù)方程，進(jìn)一

19、步得所求關(guān)于的函數(shù)，求此函數(shù)最大值即可. 【題文】20.已知點(diǎn),橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的下焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （1）求E的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線與E 相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的直線方程。 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線 H5 H8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AF的斜率，，； （2） 依題直線的斜率存在。 設(shè) 聯(lián)立方程消去得：， 設(shè)，則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的直線方程為。 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可求出橢圓的幾何量a,b,c,再列出橢圓方程，根據(jù)直線與圓錐曲線

20、的關(guān)系可聯(lián)立方程，找出所用條件求解. 【題文】21已知數(shù)列中， （1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求使不等式成立的的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)學(xué)歸納法．D1 M3 【答案】【解析】（1）（2）（2，]． 解析：（1）， ，即bn+1=4bn+2 ，a1=1，故 所以{}是首項(xiàng)為﹣，公比為4的等比數(shù)列， ， （Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1得c＞2． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時(shí)an＜an+1． （?。┊?dāng)n=1時(shí)，a2=c﹣＞a1，命題成立； （ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak＜ak+1， 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 故由（i）（ii）知當(dāng)c＞2時(shí)，a

21、n＜an+1 當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，由 當(dāng)2＜c≤時(shí)，an＜α≤3 當(dāng)c＞時(shí)，α＞3且1≤an＜α 于是 當(dāng)n＜ 因此c＞不符合要求． 所以c的取值范圍是（2，]． 【思路點(diǎn)撥】（1）令c=代入到an+1=c﹣中整理并令bn=進(jìn)行替換，得到關(guān)系式bn+1=4bn+2，進(jìn)而可得到{}是首項(xiàng)為﹣，公比為4的等比數(shù)列，先得到{}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． （2）先求出n=1，2時(shí)的c的范圍，然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c＞2時(shí)an＜an+1，然后當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，根據(jù)由可發(fā)現(xiàn)c＞時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定c的范圍． 二、填空題 11. 12.

22、 13. 14. 15. 15. 15.易知?jiǎng)又本€恒過定A點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓B 上，MN長(zhǎng)度的最大值為。 三、 解答題 16．【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos， 17. (Ⅱ) ， 對(duì)恒成立， 對(duì)恒成立， 令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，． 18. 19.解：(1)∵2sin2＋cos 2C＝1， ∴cos 2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cos C， ∴2cos2C＋cos C－1＝0，∴cos C＝或cos C＝－1， ∵C∈(0，π)，∴cos C＝，∴C＝． 由余弦定理得c＝＝． （3） 建立坐標(biāo)系，由（1）A，由,知 ，△BMN的內(nèi)切圓方程為：，設(shè)，則令 20.（1）； （3） 依題直線的斜率存在。 設(shè) 聯(lián)立方程消去得：， 設(shè)，則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的直線方程為。 21.