2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列（含解析） 抓住5個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 1.數(shù)列的定義 2.通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系： 3.數(shù)列的一般性質(zhì)：（1）單調(diào)性；（2）周期性-若，則為周期數(shù)列，為的一個(gè)周期. 4.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：觀察、歸納與猜想 [高考常考角度] 角度1 已知數(shù)列滿足，則 解析：主要考查對(duì)數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的分析處理能力， 角度2 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為第項(xiàng)滿足則（ ） A. B. C. D. 解析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故 由，故選B

2、 重點(diǎn)2等差數(shù)列及其前項(xiàng)和 1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：，為常數(shù) 3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用：也成等差數(shù)列 4.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值：（1）若，數(shù)列的前幾項(xiàng)為負(fù)數(shù)，則所有負(fù)數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最??； （2）若，數(shù)列的前幾項(xiàng)為正數(shù)，則所有正數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最大； （3）通過用配方法或?qū)?shù)求解. 5等差數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義，（2）利用等差中項(xiàng)， （3）利用通項(xiàng)公式為常數(shù)，（4）利用前項(xiàng)和，為常數(shù) [高考?？冀嵌萞 角度1在等差數(shù)列中，，則__________ 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知. 角度2已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比

3、中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，，則的值為（ ） A． 　　 B． 　　 C． 　 D． 解析：∵，∴，解之得， ∴. 故選D. 角度3設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí)等于（ ） A． B． C． D． 解析：設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得， 所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.選A 角度4已知數(shù)列滿足對(duì)任意的，都有，且． （1）求，的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）當(dāng)時(shí)，有，由于，所以．

4、 當(dāng)時(shí)，有，將代入上式，由于，所以． （2）由于， ① 則有． ② ②－①，得， 由于，所以． ③ 同樣有，， ④ ③－④，得． 所以． 由于，即當(dāng)時(shí)都有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． 故． （3） 數(shù)列是遞增數(shù)列，故 要使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立 只須，又 故 所以 實(shí)數(shù)的取值范圍是 角度5 （xx.福建）已知等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ

5、）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值． 解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差，則， 由題設(shè)，，所以．． （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以，解得或．因?yàn)?，所以? 重點(diǎn)3 等比數(shù)列及其前項(xiàng)和 1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式： 3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等比數(shù)列 4.等比數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義為常數(shù)（2）利用等比中項(xiàng)， [高考?？冀嵌萞 角度1若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ） A. B. C. D. 解析：由題有，故選擇B. 角度2在等比數(shù)列中，若則公比 ；

6、 . 解析：由已知得；所以. 角度3設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知 （Ⅰ）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解析：（Ⅰ）由及，有 由，………………………① 　 則當(dāng)時(shí)，有……….② ②－①得 ， 又， 是首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， （如果不這樣，就要用到累差法了） 　　　數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列． 　　　， 故 角度4等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14

7、 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意；因此 故 （Ⅱ）因?yàn)? 重點(diǎn)4 數(shù)列的求和 1.數(shù)列求和的注意事項(xiàng)：（1）首項(xiàng)：從哪項(xiàng)開始相加；（2）有多少項(xiàng)求和；（3）通項(xiàng)的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式； （2）倒序相加法； （3）錯(cuò)位相減法； （4）分組求和法； （5）裂項(xiàng)法； （6）并項(xiàng)法 [高考?？冀嵌萞 角度1若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（

8、 ） A. B. C. D. 解析:方法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 方法二：，故.故選A. 角度2 已知數(shù)列，求此數(shù)列的前項(xiàng)和 解析：由 角度3數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且， 數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，. （1）求； （2）求證. 解：設(shè){}公差為，由題意易知，且 則{}通項(xiàng)，前項(xiàng)和 再設(shè){}公比為，則{}通項(xiàng) 由可得 ① 又{}為公比為64的等比數(shù)列，∴，∴ ② 聯(lián)立①、②及，且可解

9、得 ∴{}通項(xiàng)， 的通項(xiàng)， （2）由（1）知， ∴ 角度4 設(shè)若，則________ 解析： 由得 ， 角度5 設(shè)數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和 解析：（1）由已知 ① 當(dāng)時(shí)， ② 兩式相減得， 在①中，令，得 所以 （2） ③ ④ 相減得 重點(diǎn)5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 2.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用（貴州省所考的新課程全國Ⅱ卷基本上不考此類題，故未選入）

10、[高考?？冀嵌萞 角度1設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是________ 解析：由題意：， ，而的最小值分別為 . 角度2已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和． （Ⅰ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值； （Ⅱ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，、、也成等差數(shù)列． 解析：（Ⅰ）由已知，，因此，，． 當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，，可得． 化簡(jiǎn)得．解得． （Ⅱ）若，則的每項(xiàng)，此時(shí)、、顯然成等差數(shù)列． 若，由、、成等差數(shù)列可得，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差數(shù)列． 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 數(shù)列的遞推公式及

11、應(yīng)用 1.求（為常數(shù)）型的通項(xiàng)公式 （1）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列 （2）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列 （3）當(dāng)且時(shí)，方法是累差法或待定系數(shù)法，具體做法是： 數(shù)列為等比數(shù)列 2.求（且為常數(shù)）型的通項(xiàng)公式，具體做法是：“倒代換” 由變形為，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解 3. 求（為常數(shù)）型的通項(xiàng)公式，具體做法是： 由，令，則，再行求解. 典例 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1） （待定系數(shù)法） 解析：由，是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列 （2）（換元法） 解析：由，是以公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列 （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法） 解析：兩

12、邊除以得，令，則 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列， （4） （累積法） 解析：由已知得 以上各式相乘，得 （5） （換元法） 解析：由已知 是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 所以 難點(diǎn)2 數(shù)列與不等式的交匯 典例設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)記證明： 解析：（Ⅰ）由已知，是公差為1的等差數(shù)列，， （Ⅱ） 難點(diǎn)3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯 典例1已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為，求的解析式。 點(diǎn)評(píng)：本題考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查運(yùn)算求

13、解能力，考查函數(shù)與方程思想?；A(chǔ)題。 解：（Ⅰ）由題有； （Ⅱ）由（Ⅰ），故，又， 所以 規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 忽略成立的條件 典例 已知數(shù)列滿足， （1）證明是等差數(shù)列，并求出公差 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析：（1）由已知，，所以是等差數(shù)列，且公差為 （2） 當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證與不符 故 易失分點(diǎn)2 數(shù)列求和中包含的項(xiàng)數(shù)不清 典例 設(shè)，則等于（ ） A. B. C. D. 解析：容易錯(cuò)選A，其實(shí)仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，有項(xiàng)，故選D 易失分點(diǎn)3 數(shù)列中的最值求解不當(dāng) 典例 已

14、知數(shù)列滿足則的最小值為___________ 解析：由已知得以上各式相加得 ， 令，由對(duì)鉤函數(shù)或者求導(dǎo)可以知道在上遞減，在上遞增 又，所以時(shí)可能取到最小值，而，故的最小值為 易失分點(diǎn)4 使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)對(duì)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng) 典例 數(shù)列是等差數(shù)列，,其中，數(shù)列前項(xiàng)和存在最小值. （1）求通項(xiàng)公式; （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和 解：（1）∵ ∴ ………………………………2分 又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列， ∴ ∴（）+（）= 解之得：或 …………………4分 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)公差， 當(dāng)時(shí)，，公差，此時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和不存在最小值，故舍去。 ∴ ……………6分 （2）由（1）知， …………… ………8分 ∴（點(diǎn)評(píng)：此處有一項(xiàng)為0，但是必須寫上，否則會(huì)引起混亂） ………10分（點(diǎn)評(píng)：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)） …………12分