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1、2022年高中數(shù)學《第二章 平面向量》周練1 新人教A版必修4
一、選擇題(每小題5分，共40分)
1．下列說法錯誤的是( )．
A．向量與的長度相等
B．兩個相等的向量若起點相同，則終點必相同
C．只有零向量的模等于0
D．零向量沒有方向
解析 零向量的方向是任意的，不能理解為沒有方向．
答案 D
2．將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點，則這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是( )．
A．一個點 B.兩個點
C．一個圓 D.一條線段
解析 在該直線上與起點的距離為1的兩個點．
答案 B
3．設(shè)a、b為不共線的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝
2、－6a－4b ，那么( )．
A.與同向，且||>||
B.與同向，且||<||
C.與反向，且||>||
D.∥
解析 ∵＝＋＋＝(2a＋3b)＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b＝(－8a－2b)＝.故選A.
答案 A
5．已知點C在線段AB上，且＝，則等于( )．
A. B.
C．－ D.－
解析?。?＝.
∴＝＝－，∴＝－.
答案 D
6．如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么＝( )．
A.－
B.＋
C.＋
D.－
解析?。剑剑剑?
答案 D
7．已知向量a、b滿足|a|＝1，|
3、b|＝2，|a－b|＝2，則|a＋b|等于( )．
A．1 B.
C. D.
解析 設(shè)＝a，＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊作? OACB，則a－b＝.
∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，
∴?OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，
由平行四邊形的對角線長的平方和等于四邊的平方和可得|a＋b|＝||＝.
答案 D
8．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的( )．
A．外心 B.內(nèi)心
C．重心 D.垂心
解析 如圖，設(shè)為上的單位向量，為上的單位向量，則＋的方向為∠BAC的
4、角平分線的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向與＋的方向相同.＝＋λ.＝λ.∴點P在上移動，∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．
答案 B
二、填空題(每小題5分，共20分)
9．已知＝，＝，則＝________.
解析?。剑剑剑?－)＝.
答案
10．設(shè)點O是三角形ABC所在平面上一點，若||＝||＝||，則點O是三角形ABC的________心．
解析 由||＝||＝||可得，O點到三角形各頂點的距離相等．可見滿足||＝||＝||的點O是三角形ABC的外心．
答案 外心
12．如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，＝a，＝b，＝c，則＝________.
5、
解析 因為＝，
＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋.所以＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
三、解答題(每小題10分，共40分)
13．已知?ABCD中，＝a，＝b，對角線AC，BD
交于點O，用a，b表示，.
解?。剑剑?a＋b)，
＝＝(－)＝(b－a)．
14．在四邊形ABCD中，＝，N，M是AD，BC上的點，且DN＝MB.求證：＝.
證明 ∵＝，
∴||＝||且AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CB＝DA，
∵DN＝MB，∠D＝∠B.
∴△ADN≌△CBM，∴CM＝NA，
又∵CM∥NA，∴四邊形CNAM是平行四邊形，
∴CN綉MA，又與方
6、向相同，∴＝.
15．如圖，平行四邊形ABCD中，點M在AB的延長線上，且BM＝AB，點N在BC上，且BN＝BC.求證：M、N、D三點共線．
證明 設(shè)＝e1，＝e2，則＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1，
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1＝3＝3，
∴向量與共線．又M是公共點，故M、N、D三點共線．
16．運用向量法證明：平行四邊形的一頂點與不過此點的一條邊的中點的連線三等分該平行四邊形的一條對角線．
證明 如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點，E為AF與BD的交點，要說明E為BD的一個三等分點，只要得到＝
即可．由于A，E，F(xiàn)三點共線，B，E，D三點共線，則設(shè)(λ，μ為實數(shù))，所以＝＋＝＋＝＋(－)．又＝(＋)＝(＋)＝，所以(－)＋＝(＋)，即＝，所以解得
即＝，所以點E三等分BD.
2022年高中數(shù)學《第二章 平面向量》周練1 新人教A版必修4
