2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文（含解析） 【試卷綜評(píng)】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一、選擇題。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意。（本題共12小題，共60分。） 【題文】1、設(shè)集合（ ） A． B． C． D．R 【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.A1 【答案解析】C

2、 解析：因?yàn)樗曰?jiǎn)可得集合，，故，故選C. 【思路點(diǎn)撥】把原集合化簡(jiǎn)后求出交集即可. 【題文】2、復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B．4 C．1 D．一1 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4 【答案解析】B 解析：． ∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，∴，解得：a=4． 故選B． 【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi（a，b∈R），然后由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零且虛部不等于0求出實(shí)數(shù)的值. 【題文】3設(shè)向量，若，則（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)向量共線的充要條件.F2 【答案解析】D

3、 解析：因?yàn)?，所以，解得，故選D. 【思路點(diǎn)撥】直接利用兩個(gè)向量共線的充要條件即可. 【題文】4、四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論： ① y與x負(fù)相關(guān)且； ② y與x負(fù)相關(guān)且； ③ y與x正相關(guān)且； ④y與x正相關(guān)且. 其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)相關(guān)的概念.I4 【答案解析】D 解析：根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知②③是正確的，①④是不正確的，故選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知結(jié)果.

4、 【題文】5、若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓與拋物線的性質(zhì).H5 H7 【答案解析】B 解析：因?yàn)闄E圓中滿足，則，故橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，故選B. 【思路點(diǎn)撥】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求p的之即可. 【題文】6、設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是（?。? ?。? B C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn).B9 【答案解析】D 解析：因?yàn)?，，則，所以使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是，故選D. 【思路

5、點(diǎn)撥】判斷區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，乘積為異號(hào)即滿足條件. 【題文】7、閱讀如下程序框圖，如果輸出，那么空白的判斷框中應(yīng)填人的條件是 ( ) A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖.L4 【答案解析】B 解析：框圖首先給變量S和i賦值S=0，i=1，執(zhí)行i=1+1=2，判斷2是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=0+2=2，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立， 執(zhí)行i=2+1=3，判斷3是奇數(shù)成立，執(zhí)行S=2+2×3=8，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=3+1=4，判斷4是奇數(shù)不成立

6、，執(zhí)行S=8+4=12，滿足輸出條件，故此時(shí)在判斷時(shí)判斷框中的條件應(yīng)該不成立，而此時(shí)的S的值是12，結(jié)合上一次S的值為8，故判斷框中的條件應(yīng)S＜12．故選：B． 【思路點(diǎn)撥】由框圖給出的賦值，先執(zhí)行一次運(yùn)算i=i+1，然后判斷得到的i的奇偶性，是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2，是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1，然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件，滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行，不滿足跳出循環(huán)，輸出i的值． 【題文】8、 已知函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的最大值為1 C．將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象 D．將函數(shù)的圖象向左平移單位后得的圖象 【知識(shí)點(diǎn)

7、】三角函數(shù)的周期、最值；圖像的平移.C3 【答案解析】C 解析：因?yàn)椋云渥钚≌芷跒?，最大值為，故A,B錯(cuò)誤；又因?yàn)椋? ，所以將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象，排除D,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)排除A、B，然后結(jié)合平移排除D即可. 【題文】9、某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后 一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°， 第一排和最后一排的距離為10 m(如圖)， 則旗桿的高度為(　　) A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．

8、C8 【答案解析】B 解析：如圖所示， 依題意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°-60°-15°=105°∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理可知，∴米, ∴在Rt△ABC中，米，所以旗桿的高度為30米.故選B． 【思路點(diǎn)撥】先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得∠PCB和∠PEC，轉(zhuǎn)化為∠CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在Rt△BOP中求出OP即可． 【題文】10、直線與圓相切，則圓的半徑最大時(shí)，的值是（ ） A． B． C． D．可為任意非零實(shí)數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓相切的條件；基本不等式.H4 E6 【答

9、案解析】C 解析：因?yàn)橹本€與圓相切，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故選C. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直線與圓相切得到，再利用基本不等式求出當(dāng)半徑最大時(shí)的值即可. 【題文】11、已知是球的球面上三點(diǎn)，三棱錐O-ABC的高為，且，，則球的表面積為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．G8 【答案解析】C 解析：由題意是球的球面上三點(diǎn)，三棱錐O-ABC的高為，且，，即， 可知底面三角形是直角三角形，斜邊中點(diǎn)與球心的連線，就是棱錐的高， 所以球的半徑為：，所以球的表面積為：． 故選B． 【思路點(diǎn)撥】由題意判斷球心

10、與三棱錐的底面的位置關(guān)系，求出球的半徑，即可求出球的表面積． 【題文】12、定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性.B4 【答案解析】A 解析：因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)的周期為2,當(dāng)時(shí)，，令，則，，即的解析式為： ，因?yàn)?，? ，故選A. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)和周期為2的奇函數(shù)，再求出的解析式后代入數(shù)值即可. 二、填空題。（每小題5分，共20分） 【題文】13、已知命題，使成立，則 　　　 【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題；命題的否定．A2

11、 【答案解析】，成立 解析：命題，使成立， 其￢p是，成立， 答案為：，成立 【思路點(diǎn)撥】本題中的命題是一個(gè)特稱命題，其否定是全稱命題，依據(jù)特稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定即可 【題文】14、已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 。 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】 解析：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3， 底面三角形的一條邊長(zhǎng)為3，該邊上的高為1， ∴幾何體的體積．故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3，底面三角形的一條邊長(zhǎng)為3，該邊上的高為1，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算可得答案．

12、 【題文】15、已知等差數(shù)列中，，那么 。 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．C5 D2 【答案解析】 解析：∵數(shù)列為等差數(shù)列，， ∴；又，∴．故答案為. 【思路點(diǎn)撥】利用等差中項(xiàng)易求，再求，從而可得答案． 【題文】16、已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。 【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式；不等式恒成立問題.E2 【答案解析】 解析：因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)恒成立，故； 當(dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)恒成立，即，矛盾舍去. 綜上所述：，故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合已知條件先去絕對(duì)值然后轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題即可. 三、

13、解答題（解答應(yīng)寫出必要的演算過程或文字說明。本大題共6小題，共70分。） 【題文】17、（本小題滿分10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非 負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交 點(diǎn)為O、P，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)． 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系．H4 N3 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 2 解析：（Ⅰ）圓C的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為 （Ⅱ）法一：由；由 從而 法二：直線，射線 由；：由 從而由兩點(diǎn)間距離公式得

14、 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得：．代入化簡(jiǎn)即可得到此圓的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）由直線l的極坐標(biāo)方程是，射線OM：．分別與圓的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出． 【題文】18、（本小題滿分12分） 年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某小區(qū)的老齡人有350人， 他們的健康狀況如下表： 健康指數(shù) 2 1 0 -1 60歲至79歲的人數(shù) 120 133 34 13 80歲及以上的人數(shù) 9 18 14 9 其中健康指數(shù)的含義是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能夠自理”，-1代表“生活不能自理”。

15、 （Ⅰ）隨機(jī)訪問該小區(qū)一位80歲以下的老齡人，該老人生活能夠自理的概率是多少？ （Ⅱ）按健康指數(shù)大于0和不大于0進(jìn)行分層抽樣，從該小區(qū)的老齡人中抽取5位，并隨機(jī)地訪問其中的3位.求被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率.。 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．K2 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為， 所以該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為． （Ⅱ）該小區(qū)健康指數(shù)大于0的老齡人共有280人， 健康指數(shù)不大于0的老齡人共有70人， 由分層抽樣可知， 被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健

16、康指數(shù)不大于0． 設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4， 健康指數(shù)不大于0的老齡人為B． 從這五人中抽取3人，結(jié)果有10種： （1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， 其中恰有一位老齡人健康指數(shù)不大于0的有6種： （1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， ∴被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)80歲以下老齡人的人數(shù)，即可估計(jì)該地區(qū)80歲

17、以下老齡人生活能夠自理的概率．（Ⅱ）由分層抽樣方法可得被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健康指數(shù)不大于0，設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4，健康指數(shù)不大于0的老齡人為B；列舉從這五人中抽取3人的結(jié)果，由古典概型公式計(jì)算可得答案． 【題文】19、（本小題滿分12分） 已知數(shù)列與，若且對(duì)任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項(xiàng)和。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和．D4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 對(duì)不成立。 所以，數(shù)列的通項(xiàng)

18、公式: （Ⅱ）時(shí)， 時(shí)， 所以 仍然適合上式 綜上， 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）依題意知，是以3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，，對(duì)不成立，于是可求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利用裂項(xiàng)法可求得從而可求 【題文】20、（本小題滿分12分） 如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面）中，是的中點(diǎn)， 。 （Ⅰ） 求證：∥平面； （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離。 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 解析：證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

19、 ∵AA1=AB ∴四邊形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中點(diǎn)， 又D是BC的中點(diǎn)， ∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. （Ⅱ）由體積法 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取C1B1的中點(diǎn)E，連接A1E，ED，易證平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性質(zhì)即可證得A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）由體積轉(zhuǎn)化可得結(jié)果. 【題文】21、（本小題滿分12分） 已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。 （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交

20、點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．H6 H8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為 則，再由得 故的方程為 （2）將代入，得 由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得： 且① 設(shè)，則 又，得 即，解得：② 由①、②得：,故的取值范圍為 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)根據(jù)橢圓方程求得雙曲線的左右頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，進(jìn)而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得．（Ⅱ）將直線代入雙曲線方程消去

21、y，進(jìn)而根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)求得關(guān)于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案． 【題文】22、 （本小題滿分12分） 已知函數(shù)。 （Ⅰ）求函數(shù)的極值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．B12 【答案解析】（Ⅰ）和； （Ⅱ） 解析：（Ⅰ） 的定義域?yàn)椋? 列表可求得 和； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由化簡(jiǎn)得 令，則化為 ①當(dāng)，即時(shí)，等價(jià)于， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即取等號(hào)， 此時(shí)； ②當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)； ③當(dāng)，即時(shí)，等價(jià)于， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即取等號(hào)， 此時(shí)； 綜上所述 （其他方法也可以，比如轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）求導(dǎo)后再列表即可；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由化簡(jiǎn)得，然后利用分類討論的思想方法結(jié)合基本不等式即可.