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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(VI)
一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則為
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2. 已知一個幾何體的三視圖是三個全等的邊長為1的正方形 (如圖所示),則它的體積為
俯視圖
正視圖
側(cè)視圖
A. B.
C. D.
3. 已知傾
2、斜角為的直線與直線垂直，則的值為
A. B. C. D.
4. 已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函數(shù)在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量滿足，且，則與的夾角為
A. B. C.
3、 D.
7. 如圖所示，點是函數(shù)圖象的一個最高點，、是圖象與軸的交點，若，則等于
A.8 B.
C. D.
8．的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則向量在向量方向上的投影為
A. B. C. D.
9．已知實數(shù)滿足：，，則的取值范圍是
A. B. C. D.
10．已知函數(shù)對任意
4、的滿足 (其中 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
11．已知命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為
A.m≥2 B. m≤－2或m>－1
C. m≤－2或m≥2 D.－1＜m≤2
12. .已知函數(shù),n∈N*的圖象與直線交于點P，若圖象在點P處的切線
5、與x軸交點的橫坐標為，則＋＋…＋的值為
A.－1 B. 1－log20132012 C.-logxxxx D.1
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則 .
14.若直線過曲線的對稱中心，
則的最小值為 .
15.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是 .
16. 數(shù)列的通項為，前項和為，則=
6、 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和， 已知b1≠0，2bn–b1=S1 Sn，n∈N*．
D
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=bn log3 an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，,,
,分別為棱的中點．
（Ⅰ）求證:∥平面；
（Ⅱ）若異面直線與 所成角為，
求三棱錐的體積．
19.（本小題滿分12分）已知某班學(xué)
7、生語文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表，若抽取學(xué)生n人，成績分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個等級，設(shè)x，y分別表示語文成績與數(shù)學(xué)成績．例如：表中語文成績?yōu)锽等級的共有20＋18＋4＝42人．已知x與y均為B等級的概率是0.18．
（Ⅰ）求抽取的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)該樣本中，語文成績優(yōu)秀率是30%，求a，b值；
（Ⅲ）已知求語文成績?yōu)锳等級的總?cè)藬?shù)
比語文成績?yōu)镃等級的總?cè)藬?shù)少的概率.
20.（本小題滿分12分）已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與
8、以橢圓的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點
和，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.
21. （本小題滿分12分）已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1， +∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，
求的取值范圍．
四、請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形內(nèi)接于
9、⊙，過點作⊙的
切線交的延長線于，已知.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，
曲線方程為; 的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線的直角坐標方程和的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點為曲線上的任意一點，求點 到曲線距離的取值范圍．
24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知關(guān)于的不等式，其解集為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，
10、均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
蘭州一中xx-1學(xué)期高三月考（12月）數(shù)學(xué)試題
文科試題
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一.選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則為 (B)
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2.已知一個幾何體的三視圖是三個全等的邊長為1的正方形，如圖所示，則它的體積為 (D)
俯視圖
正視圖
側(cè)視圖
A
11、. B.
C. D.
3. 已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為 (B)
A. B. C. D.
4. 已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（ C ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函數(shù)在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為（ C ）
A.0
12、 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量滿足，且，則與的夾角為 (A)
A. B. C. D.
7. 如圖所示，點是函數(shù)圖象的最高點，、是圖象與軸的交點，若，則等于 (C)
A. B.
C. D.
8． 的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則向量在向量方向上的投影為 ( A )
A.
13、 B. C. D.
9．已知實數(shù)滿足：，，則的取值范圍是（ B ）
A. B. C. D.
10．已知函數(shù)對任意的滿足 (其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是 (A)
A. B.
C. D.
11．已知命題p：?x∈R，(m＋1
14、)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 (B)
A．m≥2 B．m≤－2或m>－1
C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2
12. .已知函數(shù),n∈N*的圖象與直線交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為，則＋＋…＋的值為（ A ）
A.－1 B. 1－log20132012 C.-logxxxx D.1
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
本卷包括必考
15、題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則 2
14.若直線過曲線的對稱中心，
則的最小值為________.
15．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是 .
16．?dāng)?shù)列的通項為，前項和為，則= 200 ．
三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1
16、=1，an+1=3an ,n∈N*．設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，
已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設(shè)cn=bnlog3an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；
解：（1）∵an+1=3an，∴{an}是公比為3，首項a1=1的等比數(shù)列，
∴通項公式為an=3n–1． ………………2分
∵2bn–b1=S1?Sn，∴當(dāng)n=1時，2b1–b1=S1?S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．
∴當(dāng)n＞1時，
17、bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比為2，首項a1=1的等比數(shù)列，
∴通項公式為bn=2n–1． …………6分
（2）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，
Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ①
2Tn= 0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ②
①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)
18、2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． …………12分
D
18.（本小題滿分12分）．如圖，在直三棱柱中，,,,分別為棱的中點．
（1）求證:∥平面；
（2）若異面直線與所成角為，
求三棱錐的體積．
解：（1）證明：取的中點,連接, 因為分別為棱的中點，
所以∥,∥,,平面,
平面,所以平面∥平面，
又平面,所以∥平面. ………………………
19、……………4分
（2）由（Ⅰ）知異面直線與所成角,所以, ……………6分
因為三棱柱為直三棱柱，所以平面,所以平面,,,,
由,
平面, ……………………10分
所以 . ……………………12分
19. （本小題滿分12分）．已知某班學(xué)生語文與數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表，若抽取學(xué)生n人，成績分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（及格）三個等級，設(shè)x，y分別表示語文成績與數(shù)學(xué)成績．例如：表中語文成績?yōu)锽等級的共有20＋18＋4＝42人．已知x與y均為B等級的概率是0.18．
（1）求抽取的學(xué)
20、生人數(shù)；
（2）設(shè)該樣本中，語文成績優(yōu)秀率是30%，求a，b值；
（3）已知求語文成績?yōu)锳等級的總?cè)藬?shù)比語文成績?yōu)?
C等級的總?cè)藬?shù)少的概率.
解：（1）由題意可知＝0.18，得.故抽取的學(xué)生人數(shù)是 .…………..2分
（2） 由（Ⅰ）知，，故， …………..4分
而，故. …………..6分
（3）設(shè)“語文成績?yōu)榈燃壍目側(cè)藬?shù)比語文成績?yōu)榈燃壍目側(cè)藬?shù)少”為事件，
由（2）易知，且滿足條件的
21、有
共有組，其中的有組， …………..11分
則所求概率為. …………..12分
20.（本小題滿分12分）已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰
直角三角形，直線與以橢圓的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點，若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）由題意，以橢圓的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為，
∴圓心到直線的距離（*）………
22、………………………1分
∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴,， 代入（*）式得， ∴，
故所求橢圓方程為 ……………………………………………………4分
（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)，
將直線方程代入橢圓方程得：，
∴，∴.
設(shè),，則， …………………6分
由，
當(dāng),直線為軸，點在橢圓上適合題意； …………………………………7分
當(dāng)，得
∴
將上式代入橢圓方程得：，
整理得：，由知，，
所以， ……………………………………………………………11分
綜上可得. …………………………………
23、…………………………12分
21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值；
（2）若在區(qū)間（1， +∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時
……………1分
當(dāng),有；當(dāng)，有，在區(qū)間
上是增函數(shù)，在 上為減函數(shù)， …………… 3分
又 …
24、…………4分
（2）令，則的定義域為
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方
等價于 在區(qū)間上恒成立. ……………………5分
①
①若，令，得極值點
當(dāng)，即時，在（，1)上有，在上有，
在上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，
并且在該區(qū)間上有
不合題意；
25、
當(dāng)，即時，同理可知，在區(qū)間上，有
，也不合題意； ……………………8分
② 若，則有，此時在區(qū)間上恒有，
從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是。 ……………………11分
綜合①②可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在直線下方.
26、 ……………12分
四、請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．
22．（本小題滿分10分） 選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，過點作⊙的切
線交的延長線于，已知.
證明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）∵與⊙相切于點，
∴. …………………2分
27、 又，
∴，
∴. …………………………5分
（Ⅱ）∵四邊形內(nèi)接于⊙，
∴， ……………………………………………………………6分
又， ∴∽.
∴，即，∴. ………………………10分
23．（本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線方程為．的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（I）寫出曲線的直角坐標方程和的普通方程；
（II）設(shè)點為曲線上的任意一點，求點到曲線距離的取值范圍．
解：（I）的直角坐標方程：，
的普通
28、方程：． ………………4分
（II）由（I）知，為以為圓心，為半徑的圓，
的圓心到的距離為，則與相交，
到曲線距離最小值為0，最大值為，
則點到曲線距離的取值范圍為． ………………10分
24.（本小題滿分10分） 選修4—5：不等式選講
已知關(guān)于的不等式，其解集為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
24.（本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）不等式可化為，
∴，即, ……………………………………2分
∵其解集為，∴ ，. ………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
∴ ，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為.……………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為.……………10分
（方法三：消元法求二次函數(shù)的最值）
∵，∴，
∴，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為.………………………………10分
2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(VI)
