2021中考數(shù)學 第22講 與圓有關的位置關系

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1、 第22講 與圓有關的位置關系 考點1 點與圓的位置關系 設圓的半徑為r,點到圓心的距離為d. 位置關系 點在圓內 點在圓上 點在圓外 數(shù)量(d與r)的大小關系 ① ② ③ 考點2 直線與圓的位置關系 設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d. 位置關系 相離 相切 相交 公共點個數(shù) 0 1 2 公共點的名稱 無 切點 交點 數(shù)量關系 ④ ⑤ ⑥ 考點3 圓的切線 切線的判定 (1)與圓有

2、⑦ 公共點的直線是圓的切線(定義法). (2)到圓心的距離等于⑧ 的直線是圓的切線. (3)過半徑外端點且⑨ 半徑的直線是圓的切線. 切線的性質 (1)切線與圓只有⑩ 公共點. (2)切線到圓心的距離等于圓的? . (3)切線垂直于經(jīng)過切點的? . 切線長 過圓外一點作圓的切線，這點和? 之間的線段長叫做這點到圓的切線長. 切線長定理 從圓外一點可以引圓的? 條切線，它們的切線長? ，這一點和圓心的連線? 兩條切線的夾角

3、. 考點4 三角形與圓 確定圓的條件 不在 直線的三個點確定一個圓. 三角形的外心 經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓， 的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫做這個圓的內接三角形；外心到三角形 的距離相等. 三角形的內心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 ，內切圓的圓心叫做三角形的 ，這個三角形叫圓的外切三角形，內心到三角形 的距離相等. 1.判斷一直線是否為圓的切線的方法：①連半徑，證垂直；②作垂線，證半徑. 2.直角三角形的外接

4、圓與內切圓半徑的求法： 若a,b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則①直角三角形的外接圓半徑R=；②直角三角形的內切圓半徑r=. 命題點1 點與圓、直線與圓的位置關系 例1 (2013·涼山)在同一平面直角坐標系中有5個點：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3). (1)畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P的位置關系； (2)若直線l經(jīng)過點D(-2，-2)，E(0，-3)，判斷直線l與⊙P的位置關系. 【思路點撥】(1)先畫出△ABC，然后確定⊙P，通過計算PD的長度來判斷點D與⊙P的位置關系； (2)通過(

5、1)判斷點D在圓上，則只需說明垂直即可. 【解答】 方法歸納：判斷點與圓和直線與圓的位置關系，都是判斷圓心與點或直線的距離與半徑的大小關系. 1.若⊙O的半徑為5 cm，點A到圓心O的距離為4 cm，那么點A與⊙O的位置關系是( ) A.點A在圓外 B.點A在圓上 C.點A在圓內 D.不能確定 2.已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則反映直線l與⊙O的位置關系的圖形是( ) 3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角邊AC=6 cm，以C為圓心，3 cm為半徑作圓，則⊙C與AB的位

6、置關系是 . 命題點2 切線的性質與判定 例2 (2014·天水)如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由. (2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長. 【思路點撥】(1)連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，從而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可； (2)首先利用勾股定理求出DC，由切線長定理得出DE=EB，在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可. 【解答】

7、 方法歸納：切線的性質與判定都與圓心和切點之間的線段有關，連接這條線段是常見的輔助線作法. 1.(2014·哈爾濱)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°.則∠ABD的度數(shù)是( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 2.如圖，從圓O外一點P引圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的長是( ) A.4 B.8

8、 C.4 D.8 3.下列說法中，正確的是( ) A.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 B.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 C.垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 D.垂直于半徑的直線是圓的切線 4.(2014·湘潭)如圖，⊙O的半徑為3，P是CB延長線上一點，PO=5，PA切⊙O于A點，則PA= . 5.(2013·昭通)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°. (1)求∠D的度數(shù)； (2)求證：AE是⊙O的切線. 命題點3 三

9、角形與圓的位置關系 例3 在銳角△ABC中，BC=5，sinA=. (1)如圖1，求△ABC的外接圓的直徑； (2)如圖2，點I為△ABC的內心，若BA=BC，求AI的長. 【思路點撥】(1)對于條件sinA=怎樣運用應該設法構造直角三角形，運用直徑所對的圓周角是直角及同弧所對的圓周角相等解答； (2)利用等腰三角形三線合一可知BI垂直于AC，再利用面積法解答. 【解答】 方法歸納：通常解決這類問題有兩種方法：(1)構造直角三角形；(2)等角代換，即在已有的直角三角形中找到與所求角相等的角.這道題目中沒有直角三角形，因此應該采用第一種方法，構造直角三

10、角形求解. 1.如圖，已知圓O是△ABC的內切圓，且∠BAC=50°，則∠BOC的度數(shù)是( ) A.90° B.100° C.115° D.130° 2.(2013·永安質檢)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A為(0，3)，點B為(2，1)，點C為(2，-3).則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外心坐標應是( ) A.(0，0) B.(1，0) C.(-2，-1) D.(2，0) 3.如圖：⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為10，

11、∠A=60°，求弦BC的長. 第1課時 基礎訓練 1.(2014·白銀)已知⊙O的半徑是6 cm，點O到同一平面內直線l的距離為5 cm，則直線l與⊙O的位置關系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷 2.(2013·青島)直線l與半徑為r的⊙O相交，且點O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是( ) A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 3.(2014·天津)如圖，AB是⊙O

12、的弦，AC是⊙O的切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心.若∠B=25°，則∠C的大小等于( ) A.20° B.25° C.40° D.50° 4.(2014·崇明二模)在⊙O中，圓心O在坐標原點上，半徑為2，點P的坐標為(4，5)，那么點P與⊙O的位置關系是( ) A.點P在⊙O外 B.點P在⊙O上 C.點P在⊙O內 D.不能確定 5.如圖，在坐標平面上，Rt△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x軸，M為Rt△ABC的外心.若A點坐標為(

13、3，4)，M點坐標為(-1，1)，則B點坐標為( ) A.(3，-1) B.(3，-2) C.(3，-3) D.(3，-4) 6.(2014·淄博)如圖，直線AB與⊙O相切于點A，弦CD∥AB，E，F(xiàn)為圓上的兩點，且∠CDE=∠ADF.若⊙O的半徑為，CD=4，則弦EF的長為( ) A.4 B. C.5 D.6 7.在平面內，⊙O的半徑為5 cm，點P到圓心O的距離為3 cm，則點P與⊙O的位

14、置關系是 . 8.(2014·重慶B卷)如圖，C為⊙O外一點，CA與⊙O相切，切點為A，AB為⊙O的直徑，連接CB.若⊙O的半徑為2，∠ABC=60°，則BC= . 9.如圖，點A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延長線交直線BC于點C，且∠OCB=40°，直線BC與⊙O的位置關系為 . 10.如圖所示，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，則△ABC外接圓半徑的長度為 . 11.如圖，⊙P的半徑為2，圓心P在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上運動，當⊙P與x軸相切

15、時，點P的坐標為 . 12.如圖，⊙O與直線l1相離，圓心O到直線l1的距離OB=，OA=4，將直線l1繞點A逆時針旋轉30°后得到的直線l2，剛好與⊙O相切于點C，則OC= . 13.(2014·牡丹江)如圖，已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，OD=30 cm.求：直徑AB的長. 14.(2014·鹽城)如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D=2∠CAD. (1)求∠D的度數(shù)； (2)若CD=2，求BD的長.

16、 15.(2014·畢節(jié))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，連接CD. (1)求證：∠A=∠BCD； (2)若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由. 第2課時 能力訓練 1.(2014·益陽)如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為(-3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為( ) A.1 B.1或5 C.3

17、 D.5 2.如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB,BC分別相切于點D,E，過劣弧(不包括端點D,E)上任一點Ｐ作⊙O的切線MN與AB,BC分別交于點M,N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為( ) A.r B.r C.2r D.r 3.(2014·宜賓)已知⊙O的半徑r=3，設圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點的個數(shù)為m，給出下列命題： ①若d＞5，則m=0；②若d=5，則m=1；③若1＜d＜5，則m=3；④若d=1，則m=2；⑤若d＜1

18、，則m=4. 其中正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4.(2014·玉林)如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME=EF，且EF∥MN，則cos∠E= . 5.如圖，在△ABC中，BC=3 cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半徑至少為 cm的圓形紙片所覆蓋. 6.(2014·宜賓)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點，過圓上一點C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點M、N，連接AC

19、、CB，若∠ABC=30°，則AM= . 7.如圖所示，已知點A從點(1，0)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著x軸的正方向運動，經(jīng)過t秒后，以點O、A為頂點作菱形OABC，使點B、C都在第一象限內，且∠AOC=60°，若以點P(0，4)為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t= . 8.(2014·河南)如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2 cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B. (1)連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①當DP=

20、 cm時，四邊形AOBD是菱形； ②當DP= cm時，四邊形AOBD是正方形. 9.(2014·德州)如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦BC為6 cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC＝PE. (1)求AC，AD的長； (2)試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由. 10.如圖，點B在y軸上，BA∥x軸，點A的坐標為(5.5，4)，⊙A的半徑為2.現(xiàn)有點P從點B出發(fā)沿射線BA運動. (1)當點P在⊙A上時，請直接寫出它的坐標； (2)設點P

21、的橫坐標為x，連接OP，試探究射線OP與⊙A的位置關系，并說明理由. 參考答案 考點解讀 ①d＜r ②d=r ③d＞r ④d＞r ⑤d=r ⑥d＜r ⑦唯一 ⑧半徑 ⑨垂直于 ⑩一個 ?半徑 ?半徑 ?切點 ?兩 ?相等 ?平分 同一 外接圓 外心 三個頂點 內切圓 內心 三邊 各個擊破 例1 (1)所畫的⊙P如圖所示，由圖知⊙P的半徑為.連接PD. ∵PD=12+22=，∴點D在⊙P上. (2)直線l與⊙P相切. 理由：連接PE. ∵直線l經(jīng)過點D(-2，

22、-2)，E(0，-3)， ∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5. ∴PE2=PD2+DE2. ∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°. ∴PD⊥l.∴直線l與⊙P相切. 題組訓練 1.C 2.B 3.相切 例2 (1)直線CD和⊙O的位置關系是相切. 理由是：連接OD. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°. ∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°. ∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO. ∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE. ∴直線CD是⊙O的切線， 即直線CD和⊙O的位置關系是相切

23、. (2)∵AC=2，⊙O的半徑是3， ∴OC=2+3=5，OD=3. 在Rt△CDO中，由勾股定理得CD=4. ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE=EB，∠CBE=90°. 設DE=EB=x， 在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2=BE2+BC2， 則(4+x)2=x2+(5+3)2，解得x=6. 即BE=6. 題組訓練 1.B 2.B 3.A 4.4 5.(1)∵∠B與∠D都是弧AC所對的圓周角， ∴∠ADC=∠B=60°. (2)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+6

24、0°=90°， 即BA⊥AE. ∴AE是⊙O的切線. 例3 (1)作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD,則∠CBD=90°，∠D=∠A， ∴=sinD=sinA=. ∵BC=5，∴CD=， 即△ABC的外接圓的直徑為254. (2)連接BI并延長交AC于點H，作IE⊥AB于點E. ∵點I為△ABC的內心，∴BI平分∠ABC. ∵AB=BC，∴BH⊥AC.∴IH=IE. ∴在Rt△ABH中， BH=AB·sin∠BAH=4，AH==3. ∵S△ABI+S△AHI=S△ABH， ∴+=. 即+=. ∵IH=IE，∴IH=. 在Rt△AHI中，由勾股定理，

25、得 AI==. 題組訓練 1.C 2.C 3.過O作OD⊥BC于D， 則∠BOD=∠COD=∠BOC. 又∵∠BOC=2∠A，∴∠BOD=∠A=60°. 在Rt△BOD中，OB=10，∠BOD=60°， ∴BD=OB=5， ∴BC=2BD=10. 整合集訓 第1課時 基礎訓練 1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.點P在⊙O內 8.8 9.相切 10. 11.(3，2) 12.2 13.∵∠A=30°，OC=OA， ∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°. ∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°.

26、∵OD=30 cm，∴OC=OD=15 cm， ∴AB=2OC=30 cm. 14.(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD. ∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°. (2)∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 22+22=(2+BD)2， ∴BD=-2. 15.(1)證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD. (2)

27、當MC=MD(或點M是BC的中點)時，直線DM與⊙O相切. 理由：連接DO. ∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD. ∵DM=CM，∴∠DCM=∠CDM. ∵∠OCD+∠DCM=90°， ∴∠ODC+∠CDM=90°， ∴直線DM與⊙O相切. 第2課時 能力訓練 1.B 2.C 3.C 4. 5. 6. 提示：連接OM，OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，∠AOM=∠COM=∠AOC=30°， 在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°， ∴tan30°=，即=，解得AM=. 7. 提示：由題意可知，當以點P(0，4)為圓心，PC為半徑的圓

28、恰好與OA所在的直線相切時，如圖所示. 連接PC，作PD⊥OC于點D，則∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×4=2.∴OC=2OD=4.∴OA=OC=4.則t=. 8.(1)證明：連接OA，AC. ∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°. 在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，∴∠ACP=30°. ∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP， 即△ACP是等腰三角形. (2)①1;②2-1. 提示：①要使四邊形AOBD是菱形，則OA=AD=OD，∴∠AOP=60°， ∴OP=2OA，DP=OD

29、=CD=1. ②要使四邊形AOBD是正方形，則必須∠AOP=45°，OA=PA=1，則OP=， ∴DP=OP-1=-1. 9.(1)連接BD. ∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，AC＝==8. ∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD. 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，AD=BD＝5， ∴AC＝8 cm，AD＝5 cm. (2)直線PC與⊙O相切. 理由：方法一：連接OC，OD. ∵AD=BD，∴OD⊥AB，∴∠DOE＝90°， ∴∠ODE+∠OED＝90°. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC， ∴∠OED＝∠PEC＝∠P

30、CE. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠OCP＝∠PCE+∠OCD＝∠OED+∠ODE＝90°，即OC⊥PC. ∴直線PC與⊙O相切. 方法二：連接OC. ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE+∠ACE， ∴∠PCB+∠ECB＝∠CAE+∠ACE. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB, ∴∠PCB＝∠CAE,∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠ACO+∠OCB＝90°，即OC⊥PC， ∴直線PC與⊙O相切. 10.(1)點P的坐標為(3.5，4)或

31、(7.5，4)； (2)過點O作圓A的切線OM，切點為M，連接AM，則AM⊥OM， 由題意可知：OM與BA的交點為P，BP=x， 當點P在點A的左側時， x＜5.5，點A的坐標為(5.5，4)， 此時⊙A過P的切線為OM1,M1為切點，如圖. AP1=5.5-x，OB=4，⊙A的半徑為2， ∴AM1=2，BA∥x軸，∴∠OBP1=90°， ∴∠AM1P1=∠OBP1，∠AP1M1=∠OP1B， ∴△OBP1∽△AM1P1，∴=. ∴=，即OP1=11-2x. 在Rt△OBP1中，(11-2x)2=42+x2， 解得x=3或x=(舍去)； 當點P在點A的右側時，x＞5.5， 同理可解得x=3(舍去)或x=353. ∴當x=3或時，直線OP與圓A相切； 當0＜x＜3或x＞時相離； 當3＜x＜直線與圓相交. 16