2021中考數(shù)學(xué) 滾動小專題五 三角形的有關(guān)計算與證明

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1、 三角形的有關(guān)計算與證明 三角形的有關(guān)計算和證明是中考的必考內(nèi)容之一，這類試題解法比較靈活，通常以全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)和判定為考查重點，以計算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答這類問題時，不僅要熟練掌握有關(guān)的公式定理，更要注意它們之間的相互聯(lián)系. 例 (2014·重慶B卷)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D.CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求證：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路點撥】(1)要證明AF＝CG，可

2、以利用“ASA”證明△ACF≌△CBG來得到； (2)要證明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，則只要證明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故證明DG=BG即可. 【解答】證明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延長CG交AB于點H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H為AB中點. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G為BD中點，∠D＝∠EGC. ∵E為AC中點，∴AE＝E

3、C. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法歸納：解答與線段或角相等的有關(guān)問題時，通常將它轉(zhuǎn)化為全等三角形問題來求解. 1.(2014·長沙)如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O. (1)求證：△AOE≌△COD； (2)若∠OCD=30°，AB=,求△AOC的面積. 2.(2014·濱州)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)30°到DC′處，連接AC′，B

4、C′，CC′.寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程. 3.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF、DC分別交于點G、H，∠ABE=∠CBE. (1)線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由； (2)求證：BG2-GE2=EA2. 4.在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC=ED. (1)當(dāng)BE=AE時，求證：BD=AE； (2)當(dāng)BE≠AE時，“BD=AE”還成立嗎？若你認(rèn)為不

5、成立，請直接寫出BD與AE數(shù)量關(guān)系式，若你認(rèn)為成立，請給予證明. 5.(2014·重慶A卷)如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC. (1)求證：BE=CF； (2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME. 求證：①ME⊥BC；②DE=DN. 參考答案 1.(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得：AE＝AB,∠E＝∠B＝90°. ∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB,∠D＝90°. ∴AE＝

6、CD，∠E＝∠D＝90°. 在△AOE和△COD中， ∴△AOE≌△COD(AAS). (2)在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，∴OC=2OD. ∵AB＝CD＝，OD2+CD2=OC2， ∴OD2+()2=4OD2,解得OD＝1. ∴OC＝2. 由折疊知：∠BCA＝∠ACO. ∵AD∥BC，∴∠OAC＝∠BCA， ∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝2， ∴S△AOC=·OA·CD=×2×=. 2.圖中的所有的等腰三角形有：△DCC′，△DAC′，△ABC′，△BCC′，理由如下： ∵正方形ABCD， ∴CD=AD=AB=BC， ∠ADC=∠DAB=∠ABC=

7、∠BCD=90°. ∵邊DC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)30°到DC′處， ∴DC′=DC=AD=AB， ∠DCC′=∠DC′C= (180°-30°)=75°， 即△DCC′是等腰三角形. ∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°. ∵DC′=AD，∴△DAC′為等邊三角形. ∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°, ∴△ABC′為等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°, ∴∠ABC′=∠AC′B=(180°-30°)=75°, ∴∠C′BC=90°-75°=15°， ∠C′CB=90°-75°=15°, ∴∠C′BC=∠C′CB, ∴

8、△BCC′是等腰三角形. 3.(1)BH=AC. 證明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°, ∠ABC=45°, ∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC. 又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA. ∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC. (2)證明：連接GC.則GC2-GE2=EC2. ∵F為BC中點，DB=DC，∴DF垂直平分BC, ∴BG=GC. ∴BG2-GE2=EC2. ∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE, ∴△BCE≌△BAE. ∴EC=EA, ∴BG2-GE2=EA2. 4.(1)證明：如圖1，在等邊△ABC中，∠AB

9、C=∠ACB=60°. ∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°. 又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°. ∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE. (2)BD=AE還成立. 證明：如圖2，過點E作EF∥AC交BC于F， 易證△EFB為等邊三角形， ∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF. ∴∠CFE=∠EBD. ∵CE=DE，∴∠ECD=∠D. ∴△ECF≌△EDB，∴CF=BD. ∵AB=BC，AB-BE=BC-BF，即AE=CF. ∴AE=BD. 5.證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°. ∵FC⊥BC，

10、∴∠BCF=90°. ∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF. ∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF. 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴BE=CF. (2)①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形. ∴HE=BH，∠BEH=45°. ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE，∴DE=BH=HE. ∵BM=2DE，∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC. ②由題意，得∠CAE=45°+×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE. 在Rt△ACM和Rt△ECM中， ∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)， ∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°. 又∵∠DAE=×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠ECM. ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC， ∴AD=CD=BC. 在△ADE和△CDN中， ∴△ADE≌△CDN(ASA)， ∴DE=DN. 6