2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點及題型 專題20 勾股定理（含解析）

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1、專題20 勾股定理 考點總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】 知識點一 直角三角形與勾股定理 直角三角形三邊的性質(zhì)： 1、 直角三角形的兩個銳角互余。 2、 直角三角形斜邊的中線，等于斜邊的一半。 3、 直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半。 勾股定理概念：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； 表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么 變式： 1）a2=c2- b2 2）b2=c2- a2 適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。

2、 勾股定理的證明： 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是： ①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 ②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 方法一：，，化簡可證． 方法二： 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積． 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為　　 大正方形面積為 所以 方法三：，，化簡得證 【考查題型匯總】 考查題型一 利用直角三角形的性質(zhì)解題 1．（2018·湖南中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂

3、直平分線，交BC于點F，交AB于點E．求證：FC=2BF． 【答案】見解析 【詳解】 證明：連接AF， ∵EF為AB的垂直平分線， ∴AF=BF， 又AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=∠BAF=30°， ∴∠FAC=90°， ∴AF=FC， ∴FC=2BF． 2.（2013·江蘇中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，點D為BC邊上一點，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周長(結(jié)果保留根號)． 【答案】； 【解析】 在Rt△ADC中，∠C＝90°，，∠ADC＝60°， 因為，即，所以AD＝2． 由勾股定理得：

4、． 所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝5， 由勾股定理得：， 所以Rt△ABC的周長為． 3．（2019·江蘇中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點，DE⊥AB于E，求EB：EA的值． 【答案】3 【詳解】如圖，連接AD， ∵AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點， ∴∠BAD=60°，AD⊥BC， ∴∠B=90°﹣60°=30°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE=90°﹣60°=30°， 設(shè)EA=x， 在Rt△ADE中，AD=2EA=2x， 在Rt△AB

5、D中，AB=2AD=4x， ∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x， ∴EB：EA=3x：x=3． 考查題型二 含30°角的直角三角形解題方法 1．（2018·黑龍江中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，則BC的長為（　?。? A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【詳解】 ∵AB=AC，∠C=30°， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=120°， ∵AB⊥AD，AD=4， ∴∠BAD=90°，BD=2AD=8， ∴∠DAC=120°-90°=30°， ∴∠DAC =∠C=30°， ∴AD=CD=4， ∴CB=D

6、B+CD=12． 故選C. 2．（2019·丹東市第十七中學(xué)中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長為（　　） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【解析】 ∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故選B． 3．（20

7、18·湖北中考模擬）如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于點D,E為AB上一點,連接DE,則下列說法錯誤的是( ) A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED 【答案】D 【解析】 試題分析：在△ABC中， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根據(jù)已知不能推出CD=DE， 只有D錯誤，選項A、B、C的答案都正確． 故選D． 4．（2018·安徽中考

8、模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，若BC=3，則DE的長為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1 考查題型三 利用勾股定理求幾何體表面最短距離 1．

9、（2017·河北中考模擬）如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點A爬到點B，則它走過的路程最短為（　?。? A．a(chǎn) B．（1+）a C．3a D．a(chǎn) 【答案】D 【解析】 詳解：如圖，則AB===a． 故選D． 2．（2016·山東中考模擬）如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是(　　) A．13cm B．261cm C．61 cm D．234cm 【答案】A 【解析】

10、 試題解析：如圖： ∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒， 此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處， ∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm， ∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離， A′B=A'D2+BD2=52+122=13（cm）． 故選A． 3．（2018·南宮市奮飛中學(xué)中考模擬）如圖,在底面周長為12,高為8的圓柱體上有A,B兩點,若沿圓柱的側(cè)面積運動，則AB之間的最短距離是( ) A．10 B．3 C．5 D．4 【答案】A 【解析

11、】 展開圓柱的半個側(cè)面，得到一個矩形：矩形的長是圓柱底面周長的一半是6， 矩形的寬是圓柱的高是8． 根據(jù)勾股定理求得矩形的對角線是10． 即A、B兩點間的最短距離是10． 故選C． 考查題型四 利用勾股定理解決實際問題 1．（2019·重慶市全善學(xué)校中考模擬）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（　?。? A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【詳解】 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴AC＝＝4米， ∴可得地毯長度＝AC+BC＝7米， 故選D． 2．（2019·福建中考模擬）《九章算術(shù)》中

12、的“折竹抵地”問題上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。問折高幾何？意思是：如圖，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)。問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（ ） A． x2-6=10-x2 B． x2-62=10-x2 C．x2+6=(10-x)2 D．x2+62=(10-x)2 【答案】D 【詳解】 解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10-x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10-x）2． 故選：D． 3．（2019·湖北

13、中考模擬）從電線桿離地面8米處拉一根長為10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有( )m． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【詳解】 解：由題意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10， 所以BC＝＝6． 故選：C． 4．（2019·湖北中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里． （1）求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離； （2）若救助船A，分別以40海里/小時、30海里/小時的速度

14、同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá)． 【答案】（1）收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；（2）救助船先到達(dá)． 【詳解】 (1)如圖，作于， 則， 由題意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里，海里， 答：收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里； (2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)， ∴救助船所用的時間為(小時)， 救助船所用的時間為(小時)， ∵， ∴救助船先到達(dá)． 考查題型五 構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解題 1．（2019·山東中考模擬）在△ABC中，

15、AB=10，AC=2，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（ ） A．10 B．8 C．6或10 D．8或10 【答案】C 【詳解】 分兩種情況： 在圖①中，由勾股定理，得 ; ; ∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10. 在圖②中，由勾股定理，得 ; ; ∴BC＝BD―CD＝8―2＝6. 故選C. 2．（2015·河北中考模擬）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為（ ） A．32 B．42 C．32或42 D．以上都不對 【答案】C 【解析】 試題分析：∵AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，

16、 ∴AD=AC2-CD2=152-122=9， BD=BC2-CD2=132-122=5， 如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時，AB=AD+BD=9+5=14， 此時，△ABC的周長=14+13+15=42， 如圖2，CD在△ABC外部時，AB=AD-BD=9-5=4， 此時，△ABC的周長=4+13+15=32， 綜上所述，△ABC的周長為32或42． 故選C． 3．（2018·甘肅中考模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=CB，ED⊥CB，垂足為D點，且∠CED=60°，∠EAB=30°，AE=2，求CB的長． 【答案】1+ 【解析】 過E點作EF⊥AB，垂足

17、為F． ∵∠EAB=30°，AE=2，∴EF=BD=1． 又∵∠CED=60°，∴∠ECD=30°． ∵AB=CB，∴∠EAC=∠ECA=15°，∴AE=CE=2． 在Rt△CDE中，∠ECD=30°，∴ED=1，CD==， ∴CB=CD+BD=1+． 考查題型六 利用勾股定理解決翻折問題 1．（2019·浙江省杭州第七中學(xué)中考模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿OB對折，使點A落在A1處，已知OA=，AB=1，則點A1的坐標(biāo)是（ ） A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 【答案】A 【解析】 過A1作A1D⊥OA， ∵

18、OA＝，AB＝1， ∴在Rt△OAB中，OB＝＝2，AB＝1， ∴AB＝OB， ∵△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝30°， OB為折痕， ∴∠A1OB＝∠AOB＝30°，OA1＝OA＝， Rt△OA1D中，∠OA1D＝30°， ∴OD＝×＝， A1D＝×= ∴點A1的坐標(biāo)（，）． 故選A． 2．（2019·云南中考模擬）如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為 A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【詳解】 ∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根據(jù)勾股定理得AC=

19、5 根據(jù)折疊可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E 設(shè)ED=x，則D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2， 解得：x= 故選A. 3．（2019·四川中考模擬）如圖，長方形中，，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】 將此長方形折疊，使點B與點D重合， ∴BE=ED． ∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE． ∴BE=9-AE， 根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．

20、即32+AE2=（9-AE）2 解得AE=4． ∴△ABE的面積為3×4÷2=6． 故選A． 考查題型七 利用勾股定理解決幾何圖形面積問題 1.（2017·山東中考模擬）如圖，在長方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長方形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解析】 試題解析：易證△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF， 設(shè)D′F=x，則AF=8-x， 在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42， 解之得：x=3， ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC=?AF?BC=10． 故選

21、B． 2．（2018·江蘇省泰興市濟川中學(xué)中考模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積（ ）cm2. A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【解析】 根據(jù)折疊可得：∠CBD=∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE， 設(shè)BE=DE=x，則AE=8－x，根據(jù)Rt△ABE的勾股定理可得：x=5， 即DE=5，則S陰影=5×4÷2=10，故選B． 3．（2018·福建中考模擬）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的

22、正方形的邊長為（　?。? A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【詳解】 解：由勾股定理得，正方形A的面積=289-225=64， ∴字母A所代表的正方形的邊長為=8， 故選：C． 4．（2019·廣西中考模擬）如圖,已知點E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是(　　) A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【解析】 ∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴AB= ∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102- =100-24 =76. 故選C. 知識點二 勾股定理的逆定

23、理 勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù) 常見的勾股數(shù)：如；；；等 擴展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)： 1）（為正整數(shù)）； 2）（為正整數(shù)） 3）（，為正整數(shù)） 注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。 勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊 注意： ①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三

24、角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形； ②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊 ③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別和聯(lián)系： 聯(lián)系： 1、 兩者都與直角三角形三邊有關(guān)，且都與直角三角形有關(guān)。 2、 兩者是互逆定理。 區(qū)別： 1、 兩者的條件與結(jié)論相反。 2、 勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。 【考查題型匯總

25、】 考查題型八 運用勾股定理逆定理判斷三角形形狀 1．（2018·山東中考模擬）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的兩根相等，則△ABC為（　?。? A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．任意三角形 【答案】B 【詳解】原方程整理得（a+c）x2+2bx+a-c=0， 因為兩根相等， 所以△=b2-4ac=（2b）2-4×（a+c）×（a-c）=4b2+4c2-4a2=0， 即b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形， 故選B. 2．（2018·南宮市奮飛中學(xué)中考模擬）若△ABC三邊長a，b

26、，c滿足+||+()2=0，則△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【詳解】 ∵+|b-a-1|+(c-5)2=0， ∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0， ∴a=12，b=13，c=5， ∵， ∴△ABC是直角三角形. 故選C. 3．（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，內(nèi)角所對的邊分別為． （1）若，請直接寫出與的和與的大小關(guān)系； （2）求證：的內(nèi)角和等于； （3）若，求證：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析 【詳解】 在中，， ； 如圖，過點作

27、， ， （兩直線平行，同位角相等）， （平角的定義）， （等量代換）， 即：三角形三個內(nèi)角的和等于； （3）， ， ， ， 是直角三角形． 考查題型九 勾股定理逆定理的實際應(yīng)用 1．（2019·四川中考模擬）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（　?。? A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．

28、750平方千米 【答案】A 【解析】 ∵52+122=132， ∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形， ∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故選：A． 2．（2016·河北中考模擬）一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達(dá)點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處，若M、N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解析】 ∵OM=60

29、海里，ON=80海里，MN=100海里， ∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°， ∵∠EOM=20°， ∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故選C． 3．（2019·湖北中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里． （1）求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離； （2）若救助船A，分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá)． 【答案】（1）收到

30、求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；（2）救助船先到達(dá)． 【詳解】 (1)如圖，作于， 則， 由題意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里，海里， 答：收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里； (2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)， ∴救助船所用的時間為(小時)， 救助船所用的時間為(小時)， ∵， ∴救助船先到達(dá)． 4．（2012·山東中考模擬）如圖，某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達(dá)點B測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁． （1）說明點B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)； （2）若繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？請說明理由． 【答案】（1）B點不在暗礁區(qū)域內(nèi)；（2）繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險，理由見解析. 【解析】 （1）B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)就要看CB的距離，若CB＞16，則點B不在暗礁區(qū)域內(nèi)；若CB＜16，則點B在暗礁區(qū)域內(nèi). （2）往東航行是否有觸礁危險，就要看點C到AB的距離CH與16的大小關(guān)系.若CH＞16，則無觸礁的危險；若CB＜16，則有觸礁的危險 24