2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 基礎(chǔ)考點及題型 專題16 相交線與平行線（含解析）

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1、專題16 相交線與平行線 考點總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】 知識點一 相交線 直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 垂線的概念：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足。 表示方法： 如圖，a ⊥ b，垂足為Ｏ． 記作：a ⊥ b于點Ｏ． 【注意事項】 1.線段與線段，線段與射線，線段與直線，射線與射線，射線與直線垂直，是特指它們所在的直線互相垂直。 2.兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角；若兩條直線的夾角為直角，則

2、這兩條直線互相垂直。 垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 垂線的畫法：一落、二移、三畫。 注意：經(jīng)過一點畫射線或線段的垂線，是指它們所在直線的垂線，垂足的位置不固定，可能會出現(xiàn)在射線的反向延長線或線段的延長線上。 垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。 注意： 1、 垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。 2、 經(jīng)過直線外一點到這條直線的垂線段有且只有一條。 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離 【典型例題】 1．（2016·福建中考模擬）兩條直線相交所成的四個角中，下列說法正確

3、的是（ ） A．一定有一個銳角 B．一定有一個鈍角 C．一定有一個直角 D．一定有一個不是鈍角 【答案】D 【解析】 因為兩條直線相交，分為垂直相交和斜交，故分兩種情況討論： ①當兩直線垂直相交時，四個角都是直角，故A、B錯誤； ②當兩直線斜交時，有兩個角是銳角，兩個角是鈍角，所以C錯誤； 綜上所述，D正確． 故選D． 2．（2018·天津中考模擬）有下列幾種說法： ①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角； ②兩條直線相交所成的四個角相等； ③兩條直線相交所成的四個角中有一組相鄰補角相等； ④兩條直線相交對頂角互補． 其中，能兩條直線互相垂直的是（

4、 ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角能得到兩條直線互相垂直； ②兩條直線相交所成的四個角相等能得到兩條直線互相垂直； ③兩條直線相交所成的四個角中有一組相鄰補角相等能得到兩條直線互相垂直； ④兩條直線相交對頂角互補能得到兩條直線互相垂直． 故選D. 3．（2018·湖南中考模擬）在同一平面內(nèi)，下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②兩條不相同的直線有且只有一個公共點；③經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中正確的個數(shù)為（

5、?? ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【詳解】在同一平面內(nèi)， ①過兩點有且只有一條直線，故①正確； ②兩條不相同的直線相交有且只有一個公共點，平行沒有公共點，故②錯誤； ③在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故③正確； ④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故④正確， 綜上所述，正確的有①③④共3個， 故選C． 4．（2019·貴州中考真題）如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點C到邊AB所在直線的距離是( ) A．線段CA的長度 B．線段CM的長度 C．線

6、段CD的長度 D．線段CB的長度 【答案】C 【詳解】 點C到邊AB所在直線的距離是點C到直線AB的垂線段的長度，而CD是點C到直線AB的垂線段， 故選C. 5．（2018·安徽中考模擬）下列說法正確的是(　　) A．兩點之間的距離是兩點間的線段 B．同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線平行 C．與同一條直線垂直的兩條直線也垂直 D．同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 【答案】D 【解析】試題解析：A. 兩點之間的距離是兩點間的線段的長度，故此選項錯誤； B. 同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故此選項錯誤； C. 與同一條

7、直線垂直的兩條直線平行，故此選項錯誤； D. 同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故此選項正確. 故選D. 考查題型一 垂線性質(zhì)的應(yīng)用方法 1．（2017·湖南中考模擬）如圖，AB∥CD，EG⊥AB，垂足為G．若∠1＝50°，則∠E＝（ ）. A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【解析】 先根據(jù)對頂角相等求出∠1的對頂角，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出直角三角形的一個內(nèi)角，然后可求得∠E=90°-50°=40°. 故選：C 2．（2018·廣西中考模擬）如圖，O為直線 AB上一點，OE平分∠BOC，OD⊥OE 于點 O，若

8、∠BOC=80°，則∠AOD的度數(shù)是（ ） A．70° B．50° C．40° D．35° 【答案】B 【解析】 ∵OE是∠BOC的平分線，∠BOC=80°， ∴∠COE=∠BOC=×80°=40°， ∵OD⊥OE ∴∠DOE=90°， ∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°， ∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°. 故選B. 3．（2015·河北中考模擬）如圖，已知點O在直線AB上，CO⊥DO于點O，若∠1=145°，則∠3的度數(shù)為（　?。? A．35° B．45° C．55° D．65

9、° 【答案】C 【解析】 試題分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°， ∵CO⊥DO，∴∠COD=90°， ∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°； 故選C． 4．（2019·湖南中考模擬）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，則∠AOC的大小為（　?。? A．25° B．35° C．65° D．115° 【答案】A 【詳解】 ∵OE⊥CD，∠BOE＝65°， ∴∠BOD＝90°﹣65°＝25°， ∴∠AOC＝∠BOD＝25°． 故選A． 5．（2017·重慶中考模擬）如圖，，點在上，分別交于點，且，，則

10、的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題解析：∵EF∥GH，∠PBG=35°， ∴∠EAP=∠PBG=35°， ∵AP⊥AQ， ∴∠BAC=90°， ∵∠EAP+∠BAC+∠FAC=180°， ∴∠FAC=180°-∠EAP-∠BAC=180°-35°-90°=55°． 故選C.． 考查題型二 判斷兩條直線是否垂直 1．（2018·廣東正德中學(xué)中考模擬）如圖，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，試說明：CD⊥AB． 【答案】證明見解析. 【解析】 ∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， ∴ ∠DGB=∠A

11、CB=90°（垂直的定義）， ∴ DG∥AC（同位角相等，兩直線平行）. ∴ ∠2=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. ∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代換）， ∴ EF∥CD（同位角相等，兩直線平行）. ∴ ∠AEF=∠ADC（兩直線平行，同位角相等）. ∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定義）， ∴ ∠ADC=90°（等量代換）. ∴ CD⊥AB（垂直的定義）． 考察題型三 利用垂線段最短，解決實際問題 1．（2018·貴州中考模擬）如圖，計劃把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足為B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的

12、依據(jù)是（　?。? A．兩點之間線段最短 B．垂線段最短 C．過一點只能作一條直線 D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 【答案】B 【詳解】計劃把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足為B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的依據(jù)是垂線段最短，故選B． 考查題型四 相交線交點的判斷 1．（2013·湖北中考真題）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，…那么六條直線最多有(??? ) A．21個交點 B．18個交點 C．15個交點 D．10個交點 【答案】C 【解析】 由題意兩條直線最多有個交點，

13、三條直線最多有個交點，四條直線最多有個交點，根據(jù)這個規(guī)律即可求得結(jié)果. 由題意得六條直線最多有個交點，故選C. 2．觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點的個數(shù)是( ) A．10 B．20 C．36 D．45 【答案】D 【詳解】 2條直線相交，只有1個交點，3條直線相交，最多有3個交點，4條直線相交，最多有6個交點，…，n條直線相交，最多有個交點，n=10時，45． 故選D． 3．（2017·溫江區(qū)期末）三條互不重合的直線的交點個數(shù)可能是（　?。? A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2 【答案】C

14、 【解析】分四種情況：①三條直線平行，有0個交點；②三條直線相交于同一點，有1個交點；③一條直線截兩條平行線有2個交點；④三條直線兩兩相交有3個交點．故選C． 知識點二 相交線中的角 鄰補角與對頂角的知識點 兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表： 圖形 頂點 邊的關(guān)系 大小關(guān)系 對頂角 ∠1與∠2 有公共頂點 ∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線 對頂角相等 即∠1=∠2 鄰補角 ∠3與∠4 有公共頂點 ∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線. ∠3+∠4=180°

15、 注意點： （1）對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角； （2）如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角； （3）如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角； （4）兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個. 同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角的知識點 同位角：在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同位角。（同旁同側(cè)） 如：∠1和∠5。 內(nèi)錯角：在在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系

16、的兩個角叫內(nèi)錯角。（內(nèi)部異側(cè)） 如：∠3和∠5。 同旁內(nèi)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同旁內(nèi)角。（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。 三線八角:指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角有2對，同旁內(nèi)角有2對。 考查題型五 同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角的判斷 1．（2019·浙江中考模擬）兩條直線被第三條直線所截，∠1是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯角． （1）畫出示意圖，標出∠1，∠2，∠3． （2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度數(shù)． 【答案】(1)見解析；(2) 36° 【詳解】 解：（

17、1）如圖所示： （2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3， ∴設(shè)∠3＝x，則∠2＝2x，∠1＝4x， 故x+4x＝180°， 解得：x＝36°， 故∠3的度數(shù)為36°． 2．（2019·福建中考模擬）如圖，與∠1是同旁內(nèi)角的是(　　) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】D 【解析】 解：A．∠1和∠2是對頂角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤； B．∠1和∠3是同位角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤； C．∠1和∠4是內(nèi)錯角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤； D．∠1和∠5是同旁內(nèi)角，故本選項正確． 故選D． 3．（2019·甘肅中考模擬）如圖，下列四個選項中

18、，與是內(nèi)錯角的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 根據(jù)兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角． 只有B符合條件． 故選B． 考查題型六 利用對頂角的性質(zhì)求角的度數(shù) 1．（2019·余干縣瑞洪中學(xué)中考模擬）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且OF在∠COE的內(nèi)部． (1)若∠COF＝15°，求∠BOD的度數(shù)． (2)若∠BOD＝x°，則∠COF＝__________°(用含x的代數(shù)式表示)． 【答案】（1）∠BOD＝60°；（2）

19、 . 【詳解】 解：(1)∵ CO⊥EO，∴ ∠COE＝90°． ∴ ∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°． ∵ OF平分∠AOE，∴ ∠AOF＝∠EOF＝75°， ∴ ∠AOC＝∠AOF－∠COF＝75°－15°＝60°， ∴ ∠BOD＝∠AOC＝60°． (2)由（1）可知道∠AOF =75°，∠BOD＝∠AOC ， ∴∠COF =∠AOF－∠BOD =75°－x°． 2．（2017·河南中考模擬）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為（　?。? A．30° B．35° C．40° D．70° 【答案】A 【

20、解析】 ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝70°， ∵∠2＝40°， ∴∠1＝70°?40°＝30°， 故選：A． 考查題型七 利用對頂角、鄰補角的性質(zhì)求角的度數(shù) 1．（2012·北京中考真題）如圖，直線AB，CD交于點O，射線OM平分∠AOD，若∠BOD=760，則∠BOM等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 角平分線定義，對頂角的性質(zhì)，補角的定義。 由∠BOD=760，根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，得∠AOC=760，根據(jù)補角的定義，得∠BOC=1040。 由射線OM平分∠AOD，根據(jù)角平分線定義，∠COM=380。 ∴∠B

21、OM=∠COM＋∠BOC=1420。故選C。 2．（2012·四川中考模擬）如圖，，，點B、O、D在同一直線上，則的度數(shù)是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因為∠1=15°，∠1+∠COB=90°所以∠COB=90°-15°=75°又∵∠2+∠COB=180°∴∠2=180°-75°=105°故B正確． 3．（2018·河南中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O，∠EOD=50°，則∠BOC的度數(shù)為_____． 【答案】140° 【解析】 ∵直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O， ∴∠EOB=90°， ∵∠EOD=50°

22、， ∴∠BOD=40°， 則∠BOC的度數(shù)為：180°-40°=140°． 故答案為：140°． 知識點三 平行線 平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示， 如：直線與直線互相平行，記作∥，讀作a平行于b。 平行線的畫法：一落、二靠、三移、四畫。 判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定： ①有且只有一個公共點，兩直線相交； ②無公共點，則兩直線平行； ③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合 平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與

23、第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 幾何描述 ：∵∥，∥ 　　　　 ∴∥ 平行線的判定 判定方法 1 ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 　　　　 簡稱：同位角相等，兩直線平行 判定方法 2 ：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行 　　　　 簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行 判定方法 3： 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行 　　　　 簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 幾何符號語言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行） ∵　∠1＝∠

24、2 ∴　AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） 平行線的性質(zhì) 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等； 性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.。 幾何符號語言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） 考查題型八 利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù) 1．（2018·遼寧中考模擬）如圖，a∥b，點B在直線b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，則∠2的

25、大小為（　　） A．34° B．54° C．56° D．66° 【答案】B 【解析】 ∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°－36°=54°，故選B． 2．（2019·廣東可園中學(xué)中考模擬）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E,若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（　?。? A．44° B．40° C．39° D．38° 【答案】C 【詳解】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于點

26、D， ∴∠DCB=×78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故選C． 3．（2018·湖北中考真題）已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．80° B．70° C．85° D．75° 【答案】A 【詳解】如圖， ∵∠1=∠3=55°，∠B=45°， ∴∠4=∠3+∠B=100°， ∵a∥b， ∴∠5=∠4=100°， ∴∠2=180°﹣∠5=80°， 故選A． 4．（2019·重慶八中中考模擬）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D

27、落在AB邊上的點E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（　?。? A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解析】 ∵∠AGE=32°， ∴∠DGE=148°， 由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°． ∵AD∥BC， ∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 故選D． 5．（2019·山東中考模擬）如圖，直線被所截，且，則下列結(jié)論中正確的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】如圖，∵a//b， ∴∠1=∠5，∠3=∠4， ∵∠2+∠5=180°，∴無法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2， 由已

28、知得不到 、， 所以正確的只有B選項， 故選B. 考查題型九 判斷兩條直線平行 1（2017·北京中考模擬）已知：如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2=90°． 求證：AB∥CD． 【答案】證明見解析. 【解析】 如圖， ∵PM⊥EF（已知）， ∴∠APQ+∠2=90°（垂直定義）． ∵∠1+∠2=90°（已知）， ∴∠APQ=∠1（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 2．（2017·鹽城市大豐區(qū)萬盈初級中學(xué)中考模擬）如圖，已知AB=AC=AD，且C=2∠D，求證ADBC． 【答

29、案】證明見解析. 【詳解】 ∵ ∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD ∵∠C=2∠D ∴∠ABC=2∠ABD ∴∠ABD=∠CBD=∠D ∴AD∥BC 考查題型十 平行線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1．（2018·江蘇中考模擬）如圖，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度數(shù)． 【答案】∠FEC=20°． 【詳解】 ∵AD∥BC （已知） ∴∠DAC+∠ACB=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） ∵∠DAC＝120° （已知） ∴∠ACB＝180°－120°=60° ∵∠ACF＝20° （已知

30、） ∴∠BCF＝60°－20°=40° ∵CE平分∠BCF （已知） ∴∠BCE=∠BCF=20° (角平分線的定義) ∵EF∥AD（已知） ∴EF∥BC（平行公理的推論） ∴∠FEC=∠BCE=20° （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. 2．（2019·廣東華南師大附中中考模擬）已知：如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求證：AB∥CD； （2）求∠C的度數(shù)． 【答案】（2）25° 【解析】 （1）證明： ∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴∠4=∠5=90o． ∴AE∥FG

31、． ∴∠2=∠A． ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠A． ∴AB∥CD． （2）解：設(shè)∠3=xo， 由（1）知：AB∥CD， ∴∠C=∠3=xo． ∵∠D =∠3+60°， ∴∠D = xo+60°． ∵AB∥CD ∴∠D+∠3+∠CBD=180o， ∵∠CBD=70°， ∴x+60＋x＋70＝180 ∴x＝25． ∴∠C=25o． 3．（2018·重慶中考模擬）已知：如圖，∠CDG=∠B，AD⊥BC于點D，EF⊥BC于點F，試判斷∠1與∠2的關(guān)系，并說明理由． 【答案】∠1=∠2，理由詳見解析. 【解析】 ∠1=∠2， 理由： ∴DG∥BA（同位角相

32、等，兩直線平行）， （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， （已知）， ∴AD∥EF（在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行）， （兩直線平行，同位角相等）， （等量代換）． 4．（2017·重慶中考模擬）如圖AF//DE，點B、C在線段AD上，連接FC、EB，且∠E=∠F，延長EB交AF于點G. （1）求證：BE//CF （2）若CF=BE，求證：AB=CD 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析 【解析】 （1）∵AF//DE ∴∠AGB=∠E 又∠E=∠F ∴∠AGB=∠F， ∴BE//CF （2）∵BE//CF ∴∠DBE=∠ACF ∵∠E=∠F

33、, CF=BE， ∴ΔACF≌ΔDBE， ∴AC=BD， ∴AB=CD. 考查題型十一 利用作輔助線的方法解決平行線的相關(guān)問題 1．（2019·貴州中考模擬）如圖所示，直線a∥b，∠1=35°，∠2=90°，則∠3的度數(shù)為（　?。? A．125° B．135° C．145° D．155° 【答案】A 【解析】 詳解： ∵a∥b， ∴∠1=∠4=35°， ∵∠2=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠5=55°， ∴∠3=180°-∠5=125°， 故選：A． 2．（2019·山東省臨沂實驗中學(xué)中考模擬）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠

34、1等于（　?。? A．132° B．134° C．136° D．138° 【答案】B 【解析】 過E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案． 解： 過E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA， ∵∠C=44°，∠AEC為直角， ∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°， ∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°， 故選B． 3．（2019·四川中考模擬）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠AB

35、E的平分線與∠CDE的平分線交于點F，則∠DFB=（　?。? A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 【答案】B 【詳解】 如圖，過點E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F， ∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°， ∵四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°， ∴∠BFD=360°-149.5°-61°=

36、149.5°． 故選B． 4．（2019·廣東中考模擬）如圖，在平行線l1、l2之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點A，B分別在直線l1、l2上，若∠l=65°，則∠2的度數(shù)是（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 【答案】A 【詳解】 如圖，過點C作CD∥a，則∠1=∠ACD， ∵a∥b， ∴CD∥b， ∴∠2=∠DCB， ∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠1=65°， ∴∠2=25°， 故選A． 5．（2018·山東中考模擬）如圖，AB∥CD，圖中α，β，γ三角之間的關(guān)系是（　?。? A．α+β+γ

37、=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360° 【答案】C 【解析】 試題解析：如圖，延長AE交直線CD于F， ∵AB∥CCD， ∵∠AFD=∠β?∠γ， 故選C. 考查題型十二 平行線在實際問題中的應(yīng)用 1．（2018·河北中考真題）如圖，快艇從P處向正北航行到A處時，向左轉(zhuǎn)50°航行到B處，再向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行，此時的航行方向為（　?。? A．北偏東30° B．北偏東80° C．北偏西30° D．北偏西50° 【答案】A 【詳解】如圖，AP∥BC， ∴∠2=∠1=50°， ∵∠EBF=80°=∠2+∠3，

38、 ∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°， ∴此時的航行方向為北偏東30°， 故選A． 2．（2019·河北中考模擬）如圖，要修建一條公路，從A村沿北偏東75°方向到B村，從B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE與AB的方向一致，則∠ECB的度數(shù)為（　　） A．80° B．90° C．100° D．105° 【答案】A 【詳解】 解：如圖： 由題意可得：，， 故， ， ， 則． 故選A． 3．（2018·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向

39、的調(diào)整應(yīng)是（　　） A．右轉(zhuǎn)80° B．左轉(zhuǎn)80° C．右轉(zhuǎn)100° D．左轉(zhuǎn)100° 【答案】A 【詳解】 60°+20°=80°．由北偏西20°轉(zhuǎn)向北偏東60°，需要向右轉(zhuǎn)． 故選A． 知識點四 圖形平移 平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換 (簡稱平移)，平移不改變物體的形狀和大小。 平移的性質(zhì)： 1、把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同. 2、新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點 3、連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等。 作平移圖

40、形的一般步驟： 1、確定平移的方向和距離。 2、確定圖形的關(guān)鍵點。 3、過這些關(guān)鍵點作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點。 4、依次連接關(guān)鍵點，作出平移后的新圖形。 【典型例題】 1．（2017·湖北中考模擬）線段CD是由線段AB平移得到的。點A（－2，1）的對應(yīng)點為C（3，1），點B（－1，0）的對應(yīng)點D的坐標為( ) A．（4，0） B．（－5，0） C．（－1，3） D．（－1，－3） 【答案】D 【解析】試題解析：點A（-2，1）的對應(yīng)點為C（3，1），可知橫坐標由-2變?yōu)?，向右移動了5個單位，縱坐標

41、不變， 于是B（-1，0）的對應(yīng)點D的橫坐標為-1+5=4，點D的縱坐標不變， 故D（4，0）． 故選A． 2．（2012·河北中考模擬）．如圖所示，半圓AB平移到半圓CD的位置時所掃過的面積為（ ） A．3 B．3＋ C．6 D．6+ 【答案】C 【解析】 連接CD． 由圖示可知： 掃過的面積等于矩形ABCD的面積，即S=|1-（-1）|×|2-（-1）|=2×3=6． 故選C． 3．（2019·浙江中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC位于第一象限，點A的坐標是（4，3），把△ABC向左平移6個單位長度，得到△A1B1C1，則點B1的坐標是（　

42、?。? A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2） 【答案】C 【詳解】 根據(jù)點的平移的規(guī)律：向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y），據(jù)此求解可得． ∵點B的坐標為（3，1）， ∴向左平移6個單位后，點B1的坐標（﹣3，1）， 故選C 考查題型十三 利用圖形平移的性質(zhì)解決周長問題 1．（2018·河北中考模擬）如圖，將△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周長是16cm，那么四邊形ABFD的周長是（　 　? ） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 【答案】C 【解析】 已知，△ABE向右

43、平移2cm得到△DCF，根據(jù)平移的性質(zhì)得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周長為16cm，所以AB+BC+AC=16cm，則四邊形ABFD的周長=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案選C． 2．（2014·廣東中考模擬）如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】 解：根據(jù)題意，將周長為8個單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移1個單位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+A

44、C=8， ∴四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故選C． 3．（2018·四川中考模擬）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，點D在AC上，DC=4cm，將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點E、F分別落在邊AB、BC上，則△EBF的周長是（　?。ヽm． A．7 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【詳解】 ∵將線段DC沿著CB的方向平移7cm得到線段EF， ∴EF=DC=4cm，F(xiàn)C=7cm， ∵AB=AC，BC=12cm， ∴∠B=∠C，BF=5cm， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF=4cm，

45、 ∴△EBF的周長為：4+4+5=13（cm）． 故選C． 4．（2018·天津中考模擬）如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位長度得到，則四邊形的周長為（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【解析】 根據(jù)題意，將周長為8個單位的△ABC沿邊BC向右平移1個單位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=8， ∴四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故選C． 5．（2012·山東中考模擬）如圖，將邊長為4個單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移

46、2個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解析】 此題考查圖形的平移問題，平移只改變位置，不改變圖形中線段和角的大小；由已知得： AB=AC=DF=4,AD=CF=2,BE=2?ABFD周長=AB+AD+BC+CF+DF=16，所以選B 考查題型十四 利用圖形平移的思想解決面積問題 1．（2019·河北中考模擬）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4．若AA'=1，則A'D等于（　?。? A．2 B．3 C． D．

47、 【答案】A 【解析】 如圖， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD為BC邊的中線， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 則，即， 解得A′D=2或A′D=-（舍）， 故選A． 2．（2018·廣西中考模擬）如圖，將△ABC沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距離為6，則陰影部分面積為（ ） A．42 B．96 C．84 D．48 【答案】D 【詳解】 由平移的性質(zhì)知，BE=6，DE=AB=

48、10， ∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6， ∴S四邊形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）?BE=（10+6）×6=48． 故選D. 3．（2018·江西中考模擬）如圖，將一個Rt△ABC沿著直角邊CA所在的直線向右平移得到Rt△DEF，已知BC=a，CA=b，F(xiàn)A=b；則四邊形DEBA的面積等于（　?。? A． ab B．a(chǎn)b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b 【答案】C 【詳解】 由題意可得：FD=CA=b，BC=EF=a. ∴AD＝FD?FA＝b?b＝b， ∴四邊形DEBA的面積等于AD?EF=ab， 故選C． 4．（2019·天津中考模擬）如圖，A，B的坐標分別為(2，

49、0)，(0，1)，將線段AB平移至A1B1，連接BB1，AA1，則四邊形ABB1A1的面積為( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 由B點平移前后的縱坐標分別為1、2，可得B點向上平移了1個單位， 由A點平移前后的橫坐標分別是為2、3，可得A點向右平移了1個單位， 由此得線段AB的平移的過程是：向上平移1個單位，再向右平移1個單位， 所以點A、B均按此規(guī)律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1， 連接A1B，則A1B//OA，BA1=3， 所以==3， 故選B. 5．（2018·河北中考模擬）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片邊長為重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片沿水平方向向左平移a個單位長度，則空白部分與陰影部分面積之比是　　 A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1 【答案】C 【詳解】 解：正六邊形的面積， 陰影部分的面積， 空白部分與陰影部分面積之比是：：1， 故選C． 36