《工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)與積分變換》吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 習(xí)題詳解

《《工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)與積分變換》吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 習(xí)題詳解》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)與積分變換》吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 習(xí)題詳解（65頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 《工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)與積分變換》課后習(xí)題詳解 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 〔主編：王忠仁 靜〕 高等教育 習(xí)題一〔P12〕 1.1 對任何，是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對哪些值才成立？ 解：設(shè)，如此，； 假如成立，如此有，即，解得，即。 所以，對任何，不成立，只對為實(shí)數(shù)時才成立。 1.2 求如下各式的值： 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕 ； 〔4〕。 解：〔1〕因?yàn)?，所? 〔2〕因?yàn)?，所? 〔3〕因?yàn)?，所? ，其中； 即，， ，， ，。 〔4〕因?yàn)椋? ，其中； 即，，。 1.3 求方程的所有根。 解法一：用因式分解法求解。

2、 因?yàn)? 所以由，得， 解得 ，，； 故方程的所有根為，，。 解法二：用復(fù)數(shù)的方根的方法求解。 由，得，即是的三次方根；而 ，所以 ，其中； 即，， 。 故方程的所有根為，， 1.4 指出如下各題中點(diǎn)的軌跡或所在圍，并作圖， 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕。 解：〔1〕表示以點(diǎn)為中心，為半徑的圓周； 〔2〕表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周與圓周的外部； 〔3〕表示直線與其下面的局部； 〔4〕表示位于軸上方的局部。 1.5 指出如下不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的，單聯(lián)通的還是多聯(lián)通的。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕；

3、 〔4〕。 解：〔1〕表示位于軸上方的區(qū)域，它是無界區(qū)域，是單聯(lián)通的； 〔2〕表示以點(diǎn)為中心，為半徑的圓周的外部區(qū)域，它是無界區(qū)域，是多聯(lián)通的； 〔3〕表示介于兩直線與之間的區(qū)域，它是無界區(qū)域，是單聯(lián)通的； 〔4〕表示夾在以原點(diǎn)為圓心，和為半徑的圓周之間的局部并且包含那兩個圓周的閉區(qū)域，它是有界的，但它是多聯(lián)通的。 1.6 映射，求： 〔1〕點(diǎn)，，在平面上的像； 〔2〕區(qū)域在平面上的像。 解：〔1〕將，，分別代入，得 ， ， ， 即點(diǎn)，，在平面上的像分別為，，。 〔2〕設(shè)，如此由，可得〔〕； 又〔〕，所以，當(dāng)時，； 從而區(qū)域在平面上的像是位于軸上方的局部。 1

4、.7 設(shè)〔〕，試證當(dāng)時的極限不存在。 證：因?yàn)椋? 如此令〔〕，，代入上式，得 ，即； 又當(dāng)時，有且；而不存在， 所以不存在。 1.8 試證在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。 證：〔1〕因?yàn)闊o意義，故也無意義，即在處無定義，故在處不連續(xù)。 〔2〕設(shè)為負(fù)實(shí)軸上的任意一點(diǎn)，因?yàn)?，如右圖所示，當(dāng)在第二象限中沿直線趨于時，趨于；而當(dāng)在第四象限中沿直線趨于時，趨于； 所以 〔〕不存在，故在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。 由〔1〕〔2〕可知，在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。 第二章 解析函數(shù) 習(xí)題二〔P25〕 2.1 利用導(dǎo)數(shù)定義指出： 〔1〕〔為正整數(shù)〕； 〔2〕。 解：〔1〕由導(dǎo)數(shù)的定義，有

5、 所以 。 〔2〕由導(dǎo)數(shù)的定義，有 ， 故。 2.2 如下函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？ 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕 解：〔1〕因?yàn)椋?，如此，，，? 顯然，這四個偏導(dǎo)函數(shù)在整個復(fù)平面上都是連續(xù)的； 假如方程成立，如此，即； 即只有當(dāng)時，才滿足方程。 所以，函數(shù)只在直線上的點(diǎn)可導(dǎo)。 由函數(shù)解析的定義可知，函數(shù)在整個復(fù)平面處處不解析。 〔2〕因?yàn)?，所以；如此，，，? 顯然，這四個偏導(dǎo)函數(shù)在整個復(fù)平面上都是連續(xù)的； 假如方程成立，如此，即； 即只有當(dāng)時，才滿足方程。 所以，函數(shù)只在直線上的點(diǎn)可導(dǎo)。 由函數(shù)解析的定義可知，函數(shù)在整個復(fù)平面處

6、處不解析。 〔3〕因?yàn)椋?；如此，，，? 顯然，這四個偏導(dǎo)函數(shù)在整個復(fù)平面上都是連續(xù)的； 假如方程成立，如此，即； 即只有當(dāng)時，才滿足方程。 所以，函數(shù)只在點(diǎn)處可導(dǎo)。 由函數(shù)解析的定義可知，函數(shù)在整個復(fù)平面處處不解析。 〔4〕因?yàn)?，所以? 如此，，，； 顯然，這四個偏導(dǎo)函數(shù)在整個復(fù)平面上都是連續(xù)的，并且在整個復(fù)平面滿足方程； 所以，函數(shù)在整個復(fù)平面處處可導(dǎo)，從而處處解析。 2.3 指出如下函數(shù)的解析性區(qū)域，并求其導(dǎo)數(shù)。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕〔，中至少有一個不為零〕 解：〔1〕函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，且。 〔2〕函數(shù)在整個復(fù)平面處處解

7、析，且。 〔3〕函數(shù)在除去的復(fù)平面處處解析，且當(dāng)時。 〔4〕因?yàn)椋兄辽儆幸粋€不為零，如此 ①當(dāng)時，函數(shù)為，它在整個復(fù)平面處處解析，且； ②當(dāng)時，函數(shù)在除去的復(fù)平面處處解析，且當(dāng)時。 2.4 求如下函數(shù)的奇點(diǎn)： 〔1〕； 〔2〕。 解：〔1〕函數(shù)的奇點(diǎn)即為該函數(shù)沒有意義的點(diǎn)，也即為該函數(shù)分母等于零的點(diǎn)，即為函數(shù)的奇點(diǎn)。 〔2〕函數(shù)的奇點(diǎn)即為該函數(shù)沒有意義的點(diǎn)，也即為該函數(shù)分母等于零的點(diǎn)，即為函數(shù)的奇點(diǎn)。 2.5 如果是的解析函數(shù)，證明：。 證：由是的解析函數(shù)，得 且 ， 從而； 又，如此 ，； 所以 ， 故。結(jié)論得證。 2.6 設(shè)

8、為解析函數(shù)，試確定，，的值。 解：因?yàn)樵趶?fù)變函數(shù)中，有， 如此，，，； 顯然，這四個偏導(dǎo)函數(shù)在整個復(fù)平面都是連續(xù)的； 又為解析函數(shù)，所以應(yīng)滿足方程，如此有 ，解得。 2.7 證明方程的極坐標(biāo)形式是：，。 證：方程即為； 而直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系是，所以， 如此， ， 所以 ，。 2.8 假如函數(shù)在區(qū)域解析，且滿足如下條件之一，試證必為常數(shù)。 〔1〕恒取實(shí)值； 〔2〕在解析； 〔3〕在為一個常數(shù)； 〔4〕在為一常數(shù)； 〔5〕，其中，和為不全為零的實(shí)常數(shù)。 證：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域解析，所以在區(qū)域滿足方程，即 …………〔*〕

9、 〔1〕因?yàn)楹闳?shí)值，如此可設(shè)；此時〔*〕為 解得〔其中為任意一個復(fù)常數(shù)〕， 從而為常數(shù)。結(jié)論成立。 〔2〕因?yàn)?，如此? 由函數(shù)在也解析，所以在滿足方程，即 〔**〕 如此由〔*〕和〔**〕，可得，即〔其中，為任意復(fù)常數(shù)〕 從而為常數(shù)。結(jié)論成立。 〔3〕因?yàn)?，所以? 又在為一個常數(shù)，如此在也為一個常數(shù)，即 〔其中為非負(fù)數(shù)〕 ①當(dāng)時，即，如此〔因?yàn)?，都是二元?shí)函數(shù)〕，從而，結(jié)論得證。 ②當(dāng)時，如此對方程〔〕兩邊分別關(guān)于，求偏導(dǎo)數(shù)，得 …………〔***〕， 將〔*〕代入〔***〕，得 …………〔****〕 方程〔****〕為齊次線性方程組，且其系數(shù)行

10、列式， 故方程〔****〕只有零解，即，將此結(jié)果代入〔*〕，得； 由解得〔其中為任意復(fù)常數(shù)〕； 由解得〔其中為任意復(fù)常數(shù)〕； 所以為常數(shù)。結(jié)論成立。 〔4〕因?yàn)樵跒橐怀?shù)，又，所以 ①當(dāng)時，有，此時； 將代入〔*〕，得，解得〔其中為任意復(fù)常數(shù)〕； 此時為常數(shù)，如此結(jié)論成立。 ②當(dāng)時，有且； 由在為一常數(shù)，如此也為常數(shù)； 此時記〔其中為實(shí)常數(shù)〕，即； 對方程兩邊分別關(guān)于，求偏導(dǎo)數(shù)，得…………〔******〕 將〔******〕代入〔*〕，得，即； 因?yàn)闉閷?shí)常數(shù)，所以，從而，將此結(jié)論代入〔*〕，可得； 由解得〔其中為任意復(fù)常數(shù)〕； 由解得〔其中為任意復(fù)常數(shù)〕； 所

11、以為常數(shù)。結(jié)論成立。 〔5〕因?yàn)椤财渲?，和為不全為零的?shí)常數(shù)〕，如此 〔I〕當(dāng)，和中只有一個為零時， ①當(dāng)時，如此為實(shí)常數(shù)，是〔1〕的情形，此時結(jié)論成立； ②當(dāng)時，如此為實(shí)常數(shù)，此時證明過程與〔1〕類似，結(jié)論也是成立的； ③當(dāng)時，如此〔其中是實(shí)常數(shù)〕，是〔4〕中的情形②；此時結(jié)論成立。 〔II〕當(dāng)，和中有兩個為零時， ①當(dāng)時，如此為實(shí)常數(shù)，此時，從而〔*〕為 解得〔其中為任意一個復(fù)常數(shù)〕， 從而為常數(shù)。結(jié)論成立。 ②當(dāng)時，如此為實(shí)常數(shù)，此時是〔1〕的情形，此時結(jié)論成立。 ③不可能出現(xiàn)的情況。 2.9 找出如下方程的全部解。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕；

12、 〔4〕。 解：〔1〕因?yàn)?，由，得，即，解得；而〔〕? 所以，即〔〕； 故方程的全部解為〔〕。 〔2〕因?yàn)?，由，得，即，解得；而〔〕? 所以〔〕，即〔〕； 故方程的全部解為〔〕。 〔3〕因?yàn)?，即，解得〔〕? 即方程的全部解為〔〕。 〔4〕因?yàn)椋?，得，即，也即；從而，解得? 又〔〕； 所以〔〕，故方程的全部解為 〔〕。 2.10 求，和它們的主值。 解：〔1〕〔〕， 的主值為； 〔2〕 〔〕， 的主值為 。 2.11 證明對數(shù)的如下性質(zhì)： 〔1〕； 〔2〕。 解：因?yàn)?，? 〔1〕又 ， 所以。 〔2〕又 所以。 2.12

13、 求，，和的值。 解：〔1〕， 〔2〕， 〔3〕〔〕 〔4〕 〔〕 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 習(xí)題三〔P46〕 3.1 沿如下路線計算曲線積分： 〔1〕自原點(diǎn)至的直線段； 〔2〕自原點(diǎn)沿實(shí)軸至，再由鉛直向上至。 解：〔1〕自原點(diǎn)至的直線段對應(yīng)的參數(shù)方程為，也即，；如此 。 〔2〕記所給積分路徑為，其中 ，，即，； ，，即，； 如此 3.2 計算積分 的值，其中為正向圓周：。 解法一：因?yàn)榈膮?shù)方程為，所以 。 解法二：因?yàn)闉檎驁A周：，所以；從而 。 3.3 試用觀察法得出如下積分的值，并說明觀察時所依據(jù)的是什么？為正向圓

14、周。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕； 〔5〕； 〔6〕。 解：〔1〕因?yàn)樵趫A周解析，所以由柯西-古薩根本定理，得。 〔2〕因?yàn)樵趫A周解析，所以。 〔3〕因?yàn)樵趫A周解析，所以由柯西-古薩根本定理，得。 〔4〕因?yàn)樵趫A周只有一個奇點(diǎn)，所以由柯西積分公式，得。 〔5〕因?yàn)樵趫A周解析，所以由柯西-古薩根本定理，得。 〔6〕因?yàn)樵趫A周只有一個奇點(diǎn)，所以由柯西積分公式，得 。 3.4 沿指定曲線的正向計算如下各積分： 〔1〕，； 〔2〕，； 〔3〕，； 〔4〕，； 〔5〕，為包圍的閉曲線； 〔6〕,; 〔7〕,;

15、 〔8〕,. 解：〔1〕因?yàn)樵诜e分曲線的部只有一個奇點(diǎn)，所以由柯西積分公式，得 。 〔2〕因?yàn)樵诜e分曲線的部只有一個奇點(diǎn)，所以由柯西積分公式，得 。 〔3〕因?yàn)樵诜e分曲線的部只有一個奇點(diǎn)，所以由柯西積分公式，得 。 〔4〕因?yàn)樵诜e分曲線解析，所以由柯西-古薩根本定理，得。 〔5〕因?yàn)樵诜e分曲線解析，所以由柯西-古薩根本定理，得。 〔6〕因?yàn)樵诜e分曲線的部有兩個奇點(diǎn)，所以由復(fù)合閉路定理與柯西積分公式，在圓周的局部別以、為圓心作圓周、〔使得、互不相交也互不包含〕，如此 〔或 〕 〔7〕因?yàn)樵诜e分曲線有一個奇點(diǎn)，所以由高階導(dǎo)數(shù)公式，得 〔8〕因

16、為在積分曲線有一個奇點(diǎn)，所以由高階導(dǎo)數(shù)公式，得 3.5 計算如下各題： 〔1〕； 〔2〕。 解：〔1〕 ； 〔2〕 。 3.6 計算積分，其中為正向，為負(fù)向。 解法一：因?yàn)樵诙噙B通區(qū)域〔此時，該多連通區(qū)域的邊界曲線即為〔其中為正向，為負(fù)向〕的反方向〕解析，所以 解法二：利用復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)，得 ???。 3.7 計算積分，其中為正向圓周，為整數(shù)。 解：因?yàn)闉檎麛?shù)，所以 〔1〕當(dāng)時，在圓周解析，從而由柯西-古薩根本定理，得； 〔2〕當(dāng)時，在圓周只有一個奇點(diǎn)，從而由高階導(dǎo)數(shù)公式，得 。 3.8 如果在解析并且，證明 〔〕。

17、 分析：從要證明的不等式可以看出，要利用解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式〔其中為正向簡單閉曲線，且的部既要包含點(diǎn)，并且在的部要解析〕，從而 而要證明的是 ， 所以可取〔而滿足條件〕。 證： 由高階導(dǎo)數(shù)公式與條件，得 。 所以 〔〕。 3.9 證明：和都是調(diào)和函數(shù)，但是不是解析函數(shù)。 證：〔1〕先證和都是調(diào)和函數(shù)。 對，有，，如此，，從而； 所以是調(diào)和函數(shù)。 對，有，， 如此， ， 從而，所以是調(diào)和函數(shù)。 〔2〕下面證明不是解析函數(shù)。 由〔1〕的過程知，，，，； 顯然函數(shù)不滿足方程，故不是解析函數(shù)。 3.10 由如下各調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)： 〔1〕；

18、 〔2〕，； 〔3〕，； 〔4〕，。 解：〔1〕先驗(yàn)證函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。 因?yàn)?， ； 所以 ，； 故 ，即是一個調(diào)和函數(shù)。 下面求解析函數(shù)： 方法一：因?yàn)榻馕?，所? 從而〔為任意復(fù)常數(shù)〕。 方法二：因?yàn)榻馕?，所以滿足方程， 由，，得， 由〔*〕式，得 〔其中是的一元實(shí)函數(shù)〕， 如此，結(jié)合〔**〕式，得； 故〔其中任意實(shí)常數(shù)〕；從而； 所以所求解析函數(shù)即為 〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕。 〔2〕先驗(yàn)證函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。 因?yàn)椋? 所以， ， 故，即是一個調(diào)和函數(shù)。 下面求解析函數(shù)： 方法一：因?yàn)榻馕?，所以? 從而〔為任意復(fù)常數(shù)〕； 又，所

19、以，解得；故。 方法二：因?yàn)榻馕觯詽M足方程， 由，，得， 由〔**〕式，得 〔其中是的一元實(shí)函數(shù)〕； 如此， 結(jié)合〔*〕式，得，即〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 從而〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 所以所求解析函數(shù)即為 〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 又，所以，解得；故。 〔3〕先驗(yàn)證函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。 因?yàn)?，；所以，? 故，即是一個調(diào)和函數(shù)。 下面求解析函數(shù)： 方法一：因?yàn)榻馕?，所以? 從而〔為任意復(fù)常數(shù)〕； 又，所以，解得；故。 方法二：因?yàn)榻馕?，所以滿足方程， 由，，得， 由〔*〕式，得 〔其中是的一元實(shí)函數(shù)〕， 如此，結(jié)合〔**〕式，得；故〔其中任意

20、實(shí)常數(shù)〕； 從而〔其中任意實(shí)常數(shù)〕； 所以所求解析函數(shù)即為 〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 又，所以，解得；故。 〔4〕先驗(yàn)證函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。 因?yàn)?，? 所以，， 故，即是一個調(diào)和函數(shù)。 下面求解析函數(shù)： 方法一：因?yàn)榻馕?，所以? 從而〔為任意復(fù)常數(shù)〕； 方法二：因?yàn)榻馕?，所以滿足方程， 由，，得， 由〔*〕式，得 〔其中是的一元實(shí)函數(shù)〕； 如此， 結(jié)合〔**〕式，得，即〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 從而〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 所以所求解析函數(shù)即為 〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕； 因?yàn)椋裕? 故〔其中為任意實(shí)常數(shù)〕。 3.11 如果為解析函數(shù)，試證是的共軛調(diào)和函

21、數(shù)。 證：要證是的共軛調(diào)和函數(shù)，即證函數(shù)是解析函數(shù)，也即證函數(shù)滿足方程，也即為………〔*〕。 因?yàn)闉榻馕龊瘮?shù)，所以滿足方程……….〔**〕； 如此由〔**〕可知，〔*〕顯然成立。結(jié)論得證。 第四章 級數(shù) 習(xí)題四〔P67〕 4.1 如下序列是否有極限？如果有極限，求出其極限。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕。 解：〔1〕因?yàn)椋浴? 〔2〕因?yàn)椴淮嬖?，，所以不存在? 〔3〕因?yàn)椋? 而，，所以。 4.2 如下級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？ 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕。 解：〔1〕因?yàn)? 〔或因?yàn)椋绱? 〕 所以的實(shí)部與虛部構(gòu)成的級數(shù)分別為，；

22、而級數(shù)與都是條件收斂，所以收斂，但非絕對收斂。 〔2〕因?yàn)槭枪鹊牡缺燃墧?shù)， 故收斂，從而絕對收斂。 〔3〕因?yàn)椋? 方法一：， 而是公比的等比級數(shù)，故收斂；是公比的等比級數(shù)，故發(fā)散； 從而發(fā)散。 方法二：由于，所以發(fā)散。 4.3 試確定如下冪級數(shù)的收斂半徑。 〔1〕〔為正整數(shù)〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕。 解：〔1〕收斂半徑為：。 〔2〕收斂半徑為：。 〔3〕收斂半徑為：。 〔4〕因?yàn)椋? 所以收斂半徑為：。 4.4 將如下各函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域。 〔1〕； 〔2〕〔，〕； 〔3〕； 〔4〕； 〔5〕。

23、 解：〔1〕〔〕。 〔2〕因?yàn)?，，所? ①當(dāng)時，， 而〔〕， 所以 〔〕。 ②當(dāng)時， 〔〕 〔3〕因?yàn)椋? 而〔〕 所以〔〕 從而〔〕 〔4〕因?yàn)椋? 〔〕， 所以〔〕。 〔5〕因?yàn)?，所? 4.5 求如下函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒展開式。 〔1〕，； 〔2〕，； 〔3〕，； 〔4〕，。 解：〔1〕因?yàn)?，所? 〔〕 〔2〕因?yàn)?，，? 〔，即〕， 〔，即〕， 所以 〔〕 〔3〕因?yàn)?，?〔〕， 所以 〔〕。 〔4〕因?yàn)? 〔，即〕 所以 〔〕。 4.6 將如下各函數(shù)在指定圓環(huán)域展開為洛朗級數(shù)。 〔1〕，；

24、 〔2〕，，； 〔3〕，，；〔4〕，在以為中心的圓環(huán)域； 〔5〕，在的去心鄰域。 解：〔1〕因?yàn)樵趫A環(huán)域，有，，所以 方法一： 〔〕 方法二： 〔〕 〔2〕①在圓環(huán)域，有 〔〕 ②在圓環(huán)域，有 〔〕 〔3〕①在圓環(huán)域，有 〔〕 ②在圓環(huán)域，有，如此 〔〕 〔4〕函數(shù)的解析區(qū)域中，以為中心的圓環(huán)域有和。 ①在圓環(huán)域，有 〔〕 ②在圓環(huán)域，有，如此 〔〕 〔5〕因?yàn)?〔〕，如此在的去心鄰域，有 4.7 將在處展開為洛朗級數(shù)。 解：函數(shù)的解析區(qū)域中，以為中心的圓環(huán)域有和。 ①在圓環(huán)域，有

25、〔〕 ②在圓環(huán)域，有，如此 〔〕 4.8 計算積分，其中為正向圓周。 解：被積函數(shù)在積分曲線的部只有一個奇點(diǎn)，而圓周在函數(shù)的解析圓環(huán)域，將函數(shù)在圓環(huán)域展開為洛朗級數(shù)，得 上式中含項的系數(shù)為：，故。 4.9 計算積分，其中為正向圓周。 解：記，因?yàn)楸环e函數(shù)在積分曲線的部有兩個奇點(diǎn)和，利用復(fù)合閉路原理，分別以和為圓心在圓周的部作兩個互不相交也互不包含的正向圓周〔〕與〔〕，如此 ， 記，，下面計算，： 〔1〕對，第三章中計算復(fù)變函數(shù)積分的公式與方法都不適用，所以需將被積函數(shù)在圓環(huán)域〔圓周〔〕在此圓環(huán)域〕展開成洛朗級數(shù)，得 上式中含項的系數(shù)為：， 所以

26、。 〔2〕對， 解法一：利用柯西積分公式，得 。 解法二：將被積函數(shù)在圓環(huán)域〔圓周〔〕在此圓環(huán)域〕展開成洛朗級數(shù)，得 上式中含項的系數(shù)為：， 所以。 從而。 4.10 求雙邊冪級數(shù) 的收斂圓環(huán)與和函數(shù)。 解：雙邊冪級數(shù) 含正冪項的局部與含負(fù)冪項的局部分別為：，， 而的收斂域?yàn)?，即? 的收斂域?yàn)?，即? 從而雙邊冪級數(shù)的收斂圓環(huán)為。 又〔〕， 〔〕， 故〔〕。 第五章 留數(shù) 習(xí)題五〔P93〕 5.1 如下函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4

27、〕〔〕； 〔5〕； 〔6〕； 〔7〕； 〔8〕〔為整數(shù)〕； 〔9〕。 解：〔1〕因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為；如此由第五章中的定理1.2得，是函數(shù)的一級極點(diǎn)，是函數(shù)的二級極點(diǎn)。 〔2〕方法一：因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，而 〔〕 所以由極點(diǎn)的定義可知，是的二級極點(diǎn)。 方法二：因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，又是的三級零點(diǎn)；而由，知，是是的二級極點(diǎn)。 〔3〕因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為；如此由第五章中的定理1.2得，是函數(shù)的一級極點(diǎn)，是函數(shù)的二級極點(diǎn)。； 〔4〕因?yàn)楹瘮?shù)在只有唯一的奇點(diǎn)， 解法一：因?yàn)槭呛瘮?shù)的可去奇點(diǎn)。 解法二：因?yàn)楹瘮?shù)在圓環(huán)域的洛朗展開式為 ， 所以是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。 〔5〕因

28、為的奇點(diǎn)為與 〔〕； 而〔〕， 所以是函數(shù)的二級極點(diǎn)，〔，且，〕是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 〔6〕因?yàn)椤病常? 如此在去心鄰域，有 ， 所以是函數(shù)的本性奇點(diǎn)。 〔7〕因?yàn)楹瘮?shù)的奇點(diǎn)為與〔〕， 而，所以 是函數(shù)的三級極點(diǎn)，〔，〕是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 〔8〕因?yàn)楹瘮?shù)的奇點(diǎn)為 〔〕，而，， 所以〔〕是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 〔9〕函數(shù)的奇點(diǎn)為，即〔〕與〔〕； ①當(dāng)，即時，因?yàn)? ，， 所以是函數(shù)的二級零點(diǎn)，從而是函數(shù)的二級極點(diǎn)。 ②當(dāng)時，因?yàn)?，? 所以，〔〕與〔〕是函數(shù)的一級零點(diǎn)，從而〔〕與〔〕是函數(shù)的一級極點(diǎn)。。 5.2 證明：如果是的〔〕級零點(diǎn)，如此是的級零點(diǎn)。 證：如果

29、是的〔〕級零點(diǎn)，如此有 ，其中在處解析，且； 由，如此 ， 其中，且在處解析。 從而根據(jù)零點(diǎn)的定義可知，是的級零點(diǎn)。 5.3 是的幾級極點(diǎn)？ 5.4 證明定理1.5。 5.5 求出如下各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)： 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕； 〔5〕； 〔6〕。 解：〔1〕因?yàn)椋耘c是函數(shù)的一級極點(diǎn)，如此 解法一：由準(zhǔn)如此I，得 ， 。 解法二：由準(zhǔn)如此III，得 ， 。 〔2〕函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，又，， 所以是的一級零點(diǎn)，是的四級零點(diǎn)，從而是的三級極點(diǎn)。 下面計算： 方法一：利

30、用準(zhǔn)如此II，得 方法二：將函數(shù)在的去心鄰域展開成洛朗級數(shù)，得 上式中含項的系數(shù)，故。 〔3〕因?yàn)椋允呛瘮?shù)的二級極點(diǎn)，從而由準(zhǔn)如此II，得 ； 。 〔4〕因?yàn)榈钠纥c(diǎn)即為〔〕，而， 所以〔〕是函數(shù)的一級零點(diǎn)， 從而〔〕是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 故。 〔5〕因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，而， 如此在以為中心的去心鄰域，函數(shù)的洛朗展開式為 從而。 〔6〕因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，而， 如此在以為中心的去心鄰域，函數(shù)的洛朗展開式為 ， 所以。 5.6 計算如下各積分〔利用留數(shù)：圓周均取正向〕： 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕

31、； 〔4〕； 〔5〕； 〔6〕〔為整數(shù)〕。 解：〔1〕方法一：因?yàn)楸环e函數(shù)在積分曲線部只有一個可去奇點(diǎn)，如此由留數(shù)定理，得 。 方法二：由柯西積分公式，得。 〔2〕方法一：因?yàn)楸环e函數(shù)在積分曲線部只有一個二級極點(diǎn)，如此由留數(shù)定理，得 方法二：由高階導(dǎo)數(shù)公式，得 ； 〔3〕方法一：被積函數(shù)在積分曲線只有兩個一級極點(diǎn)，，如此由留數(shù)定理，得 方法二：由復(fù)合閉路原理和柯西積分公式，得 〔4〕方法一：被積函數(shù)在積分曲線有四個一級極點(diǎn)，，如此由留數(shù)定理，得 ， 下面計算，，，： 利用準(zhǔn)如此I，得： ，， ，， 〔或者是利用準(zhǔn)如此I

32、II，得 ，， ，〕 所以。 方法二：由復(fù)合閉路原理和柯西積分公式，得 〔5〕被積函數(shù)在積分曲線有六個一級極點(diǎn)〔，且〕，而 ，如此由留數(shù)定理，得 。 〔6〕〔此題要用洛朗展開式才容易討論〕 因?yàn)闉檎麛?shù)，而 如此①當(dāng)〔〕，即為大于或等于3的奇數(shù)時， 〔為整數(shù)〕 5.8 求如下積分〔圓周均取正向〕： 〔1〕； 〔2〕。 解：〔1〕被積函數(shù)在積分曲線有一個一級極點(diǎn)和一個本性起點(diǎn)，如此由留數(shù)定理，得 ； 下面計算，： ； 要計算，需將函數(shù)在以為中心的去心鄰域展開為洛朗級數(shù)： ， 上式中，含項的系數(shù)為： ， 故， 從而。 〔2〕

33、計算，需要利用函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)與函數(shù)在有限點(diǎn)處的留數(shù)的關(guān)系，所以此題不需要大家掌握。 5.9 計算如下積分： 〔1〕； 〔2〕〔〕； 〔3〕； 〔4〕； 〔5〕； 〔6〕。 解：〔1〕 〔2〕因?yàn)?，如? 下面計算，： ； ； 從而。 〔3〕因?yàn)楸环e函數(shù)的分母含的最高次比分子含的最高次高4次，并且作為復(fù)變量的函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，所以 。 〔4〕因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)，且分母含的最高次比分子含的最高次高2次，并且作為復(fù)變量的函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，所以 〔5〕因?yàn)楸环e函數(shù)中的分母含的最

34、高次比分子含的最高次高2次，并且作為復(fù)變量的函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，所以 〔6〕因?yàn)楸环e函數(shù)中的分母含的最高次比分子含的最高次高1次，并且作為復(fù)變量的函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，所以 。 。 第七章 傅里葉變換 習(xí)題七〔P141〕 7.4 求如下函數(shù)的傅氏積分。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 解：〔1〕函數(shù)的傅氏變換為： 因?yàn)樵谄涠x域處處連續(xù)，所以 即。 〔2〕函數(shù)的傅氏變換為： 因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域連續(xù)，所以 即 。 〔3〕函數(shù)的傅氏變換為： 因?yàn)楹瘮?shù)的連續(xù)點(diǎn)為，所以

35、〔且〕。 7.5 求如下函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分結(jié)果。 〔1〕〔〕，證明。 〔2〕 證明 〔3〕 證明 解：〔1〕函數(shù)的傅氏變換為： ， 即〔〕。 因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域連續(xù)，所以 故 。 〔2〕函數(shù)的傅氏變換為： ， 因?yàn)楹瘮?shù)不連續(xù)的點(diǎn)為，令如此不管是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)還是連續(xù)點(diǎn)，都是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，所以 ， 故 〔3〕函數(shù)的傅氏變換為： ， 因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域處處連續(xù)，所以 ， 故。 7.6 求如下函數(shù)的傅氏變換： 〔1〕 〔2〕 解：〔1〕因?yàn)?，而，，如此根?jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，得 。 〔2〕因?yàn)椋?/p>

36、 方法一〔定義法〕：由拉氏變換的定義，得 所以。 方法二〔利用拉氏變換與函數(shù)的性質(zhì)〕：記，如此由拉氏變換的線性性質(zhì)和相似性質(zhì)，得 所以。 7.7 證明周期為的非正弦函數(shù)的傅氏變換為，其中，是的離散頻譜。 7.8 為的傅氏變換，求。 解：由傅氏逆變換的定義與線性性質(zhì)，得 ， 故。 7.9 求如圖7.9所示的三角形脈沖的傅氏變換。 解： 故 。 7.11 假如，證明。 證：因?yàn)椋绱?，再由拉屎逆變換的定義，得 ， 故。 7.12 證明。 解：由卷積的定義，得 所以 。 7.13 假如，，證明。 證明：

37、由拉氏變換的定義，得 因?yàn)楫?dāng)在上絕對可積時，交換積分順序【建亞《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，P171】,因此 故。 7.14 假如，求。 解：由卷積的定義和卷積的交換律，得 又，如此只有當(dāng)，即時，。所以 〔1〕當(dāng)時，如此，此時，從而； 〔2〕當(dāng)時，，如此 ； 〔3〕當(dāng)時，由，此時只有滿足，有，從而 ； 綜上，得為： 7.15 給定微分方程，其中，為函數(shù)。試證該方程的解可以表為。 解：記，，對方程兩邊取傅氏變換，得 ，如此， 求上式的傅氏逆變換，得 ， 而，所以， 從而， 即。 第八章 拉普拉斯葉變換 習(xí)題八〔P160〕 8.1求如下函數(shù)的拉氏

38、變換，并用查表的方法來驗(yàn)證結(jié)果。 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕。 解：〔1〕方法一(定義法)：由拉氏變換的定義，得 所以 〔〕。 方法二〔利用〔為實(shí)數(shù)，〕〕 因?yàn)椤矠閷?shí)數(shù)，〕， 所以〔〕。 〔2〕方法一(定義法)：由拉氏變換的定義，得 〔，即〕。 方法二〔利用〔為實(shí)數(shù)，〕〕 因?yàn)椤矠閷?shí)數(shù)，〕，所以〔〕。 〔3〕方法一(定義法)：由拉氏變換的定義，得 ， 故〔〕 方法二〔利用〔為正整數(shù)，〕〕： 由〔為正整數(shù)，〕，得 〔〕 方法三〔利用〔〕與拉氏變換的微分性質(zhì)〕： 因?yàn)?，記〔〕，如此由拉氏變換的微分性質(zhì)，得 〔〕

39、 即〔〕。 〔4〕方法一(定義法)：由拉氏變換的定義，得 所以 〔〕 方法二〔利用〔為實(shí)數(shù)，〕與拉氏變換的線性性質(zhì)〕 因?yàn)椤矠閷?shí)數(shù)，〕，如此根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，得 〔〕。 8.2 求如下函數(shù)的拉氏變換。 〔1〕〔2〕。 解：〔1〕由拉氏變換的定義，得 故。 〔2〕 〔，即〕 故〔，即〕。 8.3 求如下函數(shù)的拉氏變換。 〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。 解：〔1〕方法一〔定義法〕：由拉氏變換的定義，得 ， 所以 〔〕 方法二〔利用〔為正整數(shù)，〕與拉氏變換的線性性質(zhì)〕 因?yàn)椤矠檎麛?shù)，〕，如此由拉氏變換的線性性質(zhì)，得 〔〕 方法三〔利用〔〕與拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)〕 因?yàn)椤病?，如此由拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，得 〔〕 〔2〕方法一〔定義法〕：由拉氏變換的定義，得 故。 方法二〔利用拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)〕：由拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，得 故 〔3〕方法一〔定義法〕：由拉氏變換的定義，得 故。 方法二〔利用拉氏變換的平移性質(zhì)和微分性質(zhì)〕：由拉氏變換的平移性質(zhì)和微分性質(zhì)，得 65 / 65