工程力學(xué)課件-第八章 梁的彎曲應(yīng)力

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1、第八章 梁的彎曲應(yīng)力8.1 梁彎曲的正應(yīng)力8.2 梁彎曲的切應(yīng)力8.3 梁的強(qiáng)度條件及應(yīng)用第八章 梁的彎曲應(yīng)力8.1 梁彎曲的正應(yīng)力1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q 剪應(yīng)力t t彎矩M 正應(yīng)力s s平面彎曲時(shí)橫截面平面彎曲時(shí)橫截面s s 純彎曲梁純彎曲梁( (橫截面上只有橫截面上只有M而無(wú)而無(wú)Q的情況的情況) )平面彎曲時(shí)橫截面平面彎曲時(shí)橫截面t t 橫力彎曲橫力彎曲( (橫截面上既有橫截面上既有Q又有又有M的情況的情況) )2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁矩沒(méi)有

2、剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如的變形稱為純彎曲。如AB段。段。PPaaAB純彎曲純彎曲(Pure Bending):LaaFFFFF圖SF(+)(-)-FFa(+)M-圖圖純彎曲純彎曲梁彎曲變形時(shí)，梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力（力（ ）。）。0, 0SFM0, 0SFM橫力彎曲橫力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲5M1 1、研究對(duì)象：、研究對(duì)象：等直細(xì)長(zhǎng)對(duì)稱截面梁等直細(xì)長(zhǎng)對(duì)稱截面梁2 2、前提、前提: :(a)小小圍圍變形變形在彈性變形范內(nèi)，在彈性變形范

3、內(nèi)，(b)滿足平面彎曲條件，滿足平面彎曲條件，（c）純彎曲。）純彎曲。3 3、實(shí)驗(yàn)觀察、實(shí)驗(yàn)觀察: :MM凹邊縮短凹邊縮短凸邊伸長(zhǎng)凸邊伸長(zhǎng)長(zhǎng)度保持長(zhǎng)度保持不變的縱不變的縱向纖維向纖維橫截面上只橫截面上只有正應(yīng)力無(wú)有正應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力剪應(yīng)力縱向纖維間無(wú)擠壓作用縱向纖維間無(wú)擠壓作用 6中性層中性層桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不 縮短的曲面。縮短的曲面。中性軸中性軸中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。4 4、平面截面假設(shè)、平面截面假設(shè)橫截面變形后保持為平面，只是橫截面變形后保持為平面，只是 繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。中性層中性層縱向

4、對(duì)稱面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸7（1 1）變形分布規(guī)律）變形分布規(guī)律mmnndx1o2oaby變形后變形后y任意縱向纖維至任意縱向纖維至中性層的距離中性層的距離 中性層中性層 的曲率半徑，的曲率半徑，21oo縱向纖維縱向纖維ab:變形前變形前 dxooab21d變形后變形后 ba dy)( obayoo曲率中心，曲率中心，所以縱向纖維所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)?ababdxddy)(dydy橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸為y y處的軸向變形規(guī)律。處的軸向變形規(guī)律。曲率曲率),(1);(則則曲率曲率),(1);(則則.,1yC當(dāng)當(dāng)；時(shí)0,0y.,maxmax時(shí)yy與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。與實(shí)驗(yàn)結(jié)

5、果相符。(a)9（2 2）應(yīng)力分布規(guī)律）應(yīng)力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)用胡克定律sEyE對(duì)一定材料對(duì)一定材料，E=C；對(duì)一定截面對(duì)一定截面，.1Cys橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離y成比例。成比例。當(dāng)當(dāng)；時(shí)0,0sy.,maxmaxss時(shí)yy與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。應(yīng)力為零的點(diǎn)的連線。M10（3 3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式z(中性軸中性軸)y(對(duì)稱軸對(duì)稱軸)xMMdAdAss由由 得得0 xFdAsA=0將將(b)(b)式

6、代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z軸通過(guò)截面形心軸通過(guò)截面形心，即，即中性軸通過(guò)形心，并垂直于載荷作中性軸通過(guò)形心，并垂直于載荷作用面用面。(c)11考慮平衡條件考慮平衡條件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI為截面對(duì)中性軸的慣性矩。為截面對(duì)中性軸的慣性矩。(e)zyxMdAdAss12可得可得撓曲線的曲率方程撓曲線的曲率方程：zEIM1 為常數(shù)，撓曲線為常數(shù)，撓曲線是一條圓弧線是一條圓弧線zEI抗彎剛度抗彎剛度。正應(yīng)力的計(jì)算公式為正應(yīng)力的計(jì)算公式為zIMys橫截面上最大正應(yīng)力為橫截面上最大正應(yīng)力為zIMymaxmaxsmax/

7、 yIMzzWMmaxyIWzz截面的截面的抗彎截面模量，抗彎截面模量，反映了截面反映了截面的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。的幾何形狀、尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響。13 注意注意：（1 1）要特別注意）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律的規(guī)律，在中性軸上為零，而，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大最大。（3 3）必須熟記矩形截面、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩）必須熟記矩形截面、圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩 的計(jì)算式。的計(jì)算式。（2 2）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正正應(yīng)力的正 負(fù)號(hào)（拉或壓）

8、可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來(lái)負(fù)號(hào)（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來(lái) 確定確定。14BAl = 3mq=60KN/myxC1mMx30zy180120K1.C 截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C 截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4. C 截面的曲率半徑(已知E=200GPa)FSx90KN90KN1. 求支反力（壓應(yīng)力）15m67.5ql812kNkNFA90ykNFB90ymkNMC600.5160-19045310832. 512mbhIZMPaIMZkCK7 .61ysBAl = 3mq=60KN/myxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN2. C 截面最大正應(yīng)力C

9、截面彎矩C 截面慣性矩16mkNMC 6045310832. 512mbhIZMPaIMZCC55.92ymaxsm67.5ql812kNBAl = 3mq=60KN/myxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN3. 全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩17mkNMC 67.545310832. 512mbhIZMPaIMZ17.104ymaxmaxmaxsm67.5ql812kNBAl = 3mq=60KN/myxC1mMx30zy180120KFSx90KN90KN4. C 截面曲率半徑C 截面彎矩C 截面慣性矩(已知E=200GPa)18mkNMC 6045310832. 5

10、12mbhIZmMEICZC4 .194ZEIM1m67.5ql812kN第八章 梁的彎曲應(yīng)力8.2 梁彎曲的切應(yīng)力1.1.矩形截面梁矩形截面梁2.2.工字形截面梁工字形截面梁1SmaxdhF:腹板AFS23maxtAFS34maxtAFS2maxt3. 3. 圓形、圓環(huán)形截面梁圓形、圓環(huán)形截面梁20第八章 梁的彎曲應(yīng)力8.2 梁彎曲的切應(yīng)力 ttmax梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是：梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是：下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：1. 若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩Mmax可能很小可能很小而最大剪力而最大剪力Fs,max卻

11、相對(duì)較大，如果據(jù)此時(shí)的卻相對(duì)較大，如果據(jù)此時(shí)的Mmax選擇截面選擇截面尺寸尺寸,就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。2. 對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對(duì)于截面高度很相對(duì)于截面高度很小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力。3. 對(duì)于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力互等對(duì)于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應(yīng)力互等定理，在中性層上也同時(shí)有定理，在中性層上也同時(shí)有t tmax作用，因而可能沿中性層發(fā)作用，因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。生剪切破壞，所以需要

12、校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x22求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012.

13、054005 . 15 . 1maxmaxttAQ23 梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxsszWM在在s s一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：一定時(shí)，提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑：max,MWz（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（1 1）矩形截面中性軸附近的材）矩形截面中性軸附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：z24（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。）為降低重量，可在中性軸附近開孔。252、根據(jù)截面模量選擇：、根據(jù)截面模量選擇： 為了比較各種截面的合理性，以為了比

14、較各種截面的合理性，以 來(lái)衡量。來(lái)衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形狀截面形狀矩形矩形圓形圓形槽鋼槽鋼工字鋼工字鋼0.167h0.125d(0.270.31)h(0.270.31)h(d=h)263、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉邊壓邊壓邊zzIMyIMy21maxmaxss21yyss即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。即使最大拉

15、、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。27（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低 值。值。maxM1 1、載荷盡量靠近支座：、載荷盡量靠近支座：LABF0.5L圖M(+)0.25FLLABF0.8L圖M(+)0.16FL282 2、將集中力分解為分力或均布力。、將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L圖M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L圖M0.125FL(+)293 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座減小跨度，減小減小跨度，減小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L圖M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL圖M0.125FL(+)30ABF0.5L0.5L圖M(+)(+)FL321FL5129FL5129（三）、選用合理結(jié)構(gòu)（三）、選用合理結(jié)構(gòu)1 1、等強(qiáng)度梁、等強(qiáng)度梁設(shè)計(jì)思想：設(shè)計(jì)思想：按按M(x)的變化來(lái)的變化來(lái)設(shè)計(jì)截面，采用設(shè)計(jì)截面，采用變截面梁變截面梁橫截面沿著梁軸線變化的梁。橫截面沿著梁軸線變化的梁。)()(maxssxWxMz)()(sxMxWz31