高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教選修

《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教選修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教選修（41頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、會計學(xué)1高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 生活中的優(yōu)化生活中的優(yōu)化問題舉例問題舉例 新人教選修新人教選修欄目索引知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測 自查自糾第2頁/共42頁 知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟1.分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系 yf(x)；2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x)，解方程 f(x)0；3.比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和在 f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.第3頁/共42頁答案思考(1)什么是優(yōu)化問題？答案在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營利潤最大、用料最省、費(fèi)用最少

2、、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.(2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？答案費(fèi)用最省問題，利潤最大問題，面積、體積最大問題等.第4頁/共42頁知識點(diǎn)二解決優(yōu)化問題的基本思路第5頁/共42頁思考解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？答案(1)當(dāng)問題涉及多個變量時，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式；(2)在建立函數(shù)模型的同時，應(yīng)根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域；(3)在實際問題中，由 f(x)0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大值(極小值)，那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)；(4)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不

3、符合實際意義的應(yīng)舍去，例如，長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價格為正數(shù)等.返回答案第6頁/共42頁 題型探究 重點(diǎn)突破題型一利潤最大問題解析答案例1某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低售價，銷售量就會增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元/件，0 x21)的平方成正比.已知每件商品的售價降低2元時，一星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成關(guān)于x的函數(shù)；第7頁/共42頁解若每件商品單價降低x元，則一個星期多賣的商品數(shù)為kx2件.由已知條件得k2224，解得k6.若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)(30 x9)(4326x2)6

4、x3126x2432x9 072，x0,21.第8頁/共42頁解析答案反思與感悟(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解對(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12).當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072極小值極大值0 x12時，f(x)取得極大值.f(0)9 072，f(12)11 664，301218(元)，故定價為每件18元能使一個星期的商品銷售利潤最大.第9頁/共42頁反思與感悟利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤收入成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用

5、導(dǎo)數(shù)求最大值.解此類問題需注意兩點(diǎn)：價格要大于或等于成本，否則就會虧本；銷量要大于0，否則不會獲利.第10頁/共42頁解析答案第11頁/共42頁解依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時的利潤為第12頁/共42頁題型二面積、容積最值問題解析答案例2已知一扇窗子的形狀為一個矩形和一個半圓相接，其中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長為10，求當(dāng)半徑r取何值時窗子的面積最大.反思與感悟第13頁/共42頁解設(shè)矩形的另一邊長為x，半圓弧長為r，r2r2x10，S10(4)r，解析答案反思與感悟第14頁/共42頁反思與感悟第15頁/共42頁在解決面積、體積的最值問題時，要正確引入變量，將面積或體積表示為關(guān)于變量的函數(shù)，

6、結(jié)合使實際問題有意義的變量的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.反思與感悟第16頁/共42頁解析答案跟蹤訓(xùn)練2如圖，將一個矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點(diǎn)，|AB|3 m，|AD|2 m.(1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積；(3)若AN的長度不少于6 m，則當(dāng)AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積.第17頁/共42頁解析答案解設(shè)AN的長為x m(x2)，x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，第18頁/共42

7、頁解析答案(2)設(shè)S矩形AMPNy，即當(dāng)AN的長度為4 m時，S矩形AMPN取得最小值24 m2.第19頁/共42頁即當(dāng)AN的長度為6 m時，S矩形AMPN取得最小值27 m2.第20頁/共42頁題型三成本最省問題解析答案例3甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b0)；固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；第21頁/共42頁解析答案反思與感悟(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以

8、多大速度行駛？第22頁/共42頁解析答案反思與感悟解由題意，s、a、b、v均為正數(shù).第23頁/共42頁反思與感悟此時y0，即y在(0，c上為減函數(shù).所以當(dāng)vc時，y最小.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，第24頁/共42頁選取合適的量做自變量，并根據(jù)實際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.其中把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.反思與感悟第25頁/共42頁解析答案跟蹤訓(xùn)練3工廠A到鐵路的垂直距離為20 km，垂足為B，鐵路線上距離B處100 km的地方有一個原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應(yīng)站C到工廠A所需的運(yùn)費(fèi)最省，已

9、知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為35，則D點(diǎn)應(yīng)選在何處？第26頁/共42頁解析答案第27頁/共42頁x15.由實際問題可知，運(yùn)輸費(fèi)用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，故x15時取最小值，故D點(diǎn)在距B點(diǎn)15 km處最好.第28頁/共42頁解析答案因沒有注意問題的實際意義而出錯易錯點(diǎn)例4某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(ba)，已知船每小時的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時，其全程的燃料費(fèi)用最?。糠祷胤婪洞胧┮族e易混第29頁/共42頁錯解設(shè)船在

10、靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，解析答案令y0，得x2a或x0(舍)，所以f(2a)4ask，即當(dāng)x2a時，ymin4ask.故當(dāng)船在靜水中的航行速度為2a km/h時，燃料費(fèi)用最省.錯因分析這個實際問題的定義域為(a，b，而x2a為函數(shù)的極值點(diǎn)，是否在(a，b內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會出現(xiàn)錯誤.防范措施第30頁/共42頁正解設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，令y0，得x2a或x0(舍).(1)當(dāng)2ab時，若x(a,2a)，y0，f(x)為減函數(shù)，若x(2a，b時，y0，f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x2a時，ymin4ask.解析答案防范措施

11、第31頁/共42頁當(dāng)x(a，b時，y0，所以f(x)在(a，b上是減函數(shù)，綜上可知，若b2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為b km/h時,燃料費(fèi)用最??；若b2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為2a km/h時，燃料費(fèi)用最省.防范措施第32頁/共42頁在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的過程中，正確建立數(shù)學(xué)模型，找到實際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.返回防范措施第33頁/共42頁 當(dāng)堂檢測1.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為()解析答案第34頁/共42頁解析設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，答案B第35頁/共42頁2.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為()解析答案第36頁/共4

12、2頁答案D第37頁/共42頁3.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1 000元時，公寓會全部租出去，月租金每增加50元，就會多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元維修費(fèi)，則月租金定為_元時可獲得最大收入.解析答案1 800解析設(shè)x套為沒有租出去的公寓數(shù)，則收入函數(shù)f(x)(1 00050 x)(50 x)100(50 x)，f(x)1 600100 x，當(dāng)x16時，f(x)取最大值，故把月租金定為1 800元時收入最大.第38頁/共42頁解析答案4.某公司一年購買某種貨物900噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最

13、小，則x_噸.30解析設(shè)總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和為y萬元，第39頁/共42頁解析答案5.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為_時最省材料.4解析設(shè)底面邊長為x，高為h，則V(x)x2h256，令S(x)0，解得x8，第40頁/共42頁課堂小結(jié)返回1.解應(yīng)用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進(jìn)行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定答案.2.解決最優(yōu)化問題首先要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)模型.要熟記常見函數(shù)模型，如二次函數(shù)模型、三次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、冪指對模型、三角函數(shù)模型等.3.除了變量之間的函數(shù)關(guān)系式外，實際問題中的定義域也很關(guān)鍵，一定要結(jié)合實際問題的意義確定定義域.第41頁/共42頁