2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第18講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

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1、第18講　銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 1．銳角三角函數(shù)：如圖，在Rt△ABC中，設(shè)∠C＝90°， ∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則：∠a的正弦sinA＝； ∠a的余弦cosA＝__；∠a的正切tanA＝. 2．特殊角的三角函數(shù)值 30°，45°，60°的三角函數(shù)值，如下表： 正弦 余弦 正切 30° 45° 1 60° 3.解直角三角形的常見類型及解法 已知條件 圖形 解法 一直角邊和一銳角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝ 已知斜邊和一個(gè)銳角(c，∠A) ∠B＝90°

2、－∠A，a＝c·sinA, b＝c·cosA 已知兩直角邊(a，b) c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A 已知斜邊和一條直角邊(c，a) b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A 4．銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的常見概念 (1)鉛垂線：重力線方向的直線； (2)水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點(diǎn)確定的直線我們認(rèn)為是水平線； (3)仰角：向上看時(shí)，視線與水平線的夾角； (4)俯角：向下看時(shí)，視線與水平線的夾角； (5)坡角：坡面與水平面的夾角； (6)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我

3、們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角． 注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東. 考點(diǎn)1：直角三角形的邊角關(guān)系 【例題1】如圖，AD是△ABC的中線，tanB＝，cosC＝，AC＝.求： (1)BC的長(zhǎng)； (2)sin∠ADC的值． 【解析】：(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E. ∵cos

4、C＝，∴∠C＝45°. 在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1， ∴AE＝CE＝1. 在Rt△ABE中，tanB＝，即＝， ∴BE＝3AE＝3. ∴BC＝BE＋CE＝4. (2)∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°. ∴sin∠ADC＝. 歸納： 1．解直角三角形，需知除直角以外的兩個(gè)條件(一邊和一角或兩邊)，可求得其余的邊或角． 2．在求解時(shí)，一般選取既含未知邊(角)又含有已知邊(或角)的直角三角形，通過銳角三角函數(shù)的定義或勾股定理，建構(gòu)已知或未知之間的橋梁；從而實(shí)現(xiàn)求解． 3．若所求的

5、線段(或角)不能直接求解，可以通過作出點(diǎn)到直線的距離或三角形高線，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)，是幾何求解中的重要工具． 考點(diǎn)2：銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例題2】（2019?甘肅省慶陽市?8分）圖①是放置在水平面上的臺(tái)燈，圖②是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），其中燈臂AC＝40cm，燈罩CD＝30cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠CAB＝60°．CD可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)CD與水平線所成的角為30°時(shí)，臺(tái)燈光線最佳．現(xiàn)測(cè)得點(diǎn)D到桌面的距離為49.6cm．請(qǐng)通過計(jì)算說明此時(shí)臺(tái)燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：取1.73）． 【分析】如圖

6、，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判斷． 【解答】解：如圖，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F． ∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°， ∴四邊形CEHF是矩形， ∴CE＝FH， 在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°， ∴CE＝AC?sin60°＝34.6（cm）， ∴FH＝CE＝34.6（cm） ∵DH＝49.6cm， ∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm）， 在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝， ∴∠DCF＝30°， ∴此時(shí)臺(tái)燈光線為最佳． 歸納：　解決銳角三角函數(shù)有關(guān)

7、的題目，常結(jié)合視角知識(shí)通過作輔助線構(gòu)造“直角三角形”，進(jìn)而利用直角三角函數(shù)進(jìn)行求解，常見輔助線的作法和基本圖形的構(gòu)造如下所示： (1)構(gòu)造一個(gè)直角三角形： (2)構(gòu)造兩個(gè)直角三角形： ①不同地點(diǎn)測(cè)量： ②同一地點(diǎn)測(cè)量： 一、選擇題： 1. （2018?宜昌）如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA等于（　　） A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 【答案】C 【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100

8、米，∠PCA=35°， ∴小河寬PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故選：C． 2. (2019湖北宜昌3分）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：如圖，過C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝5． ∴sin∠BAC＝＝． 故選：D． 3. 如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為（　?。? A. B.

9、 C. D. 【答案】：B 【解析】：解答：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B． 在Rt△BCD中，tanB= ∴tanB′=tanB=． 故選B． 4. （2019?廣東省廣州市?3分）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，則此斜坡的水平距離AC為（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】：A 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝==， 解得，AC＝75， 故選：A． 5. 已知△AB

10、C中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=（?。? A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：解答：作DE⊥AB于點(diǎn)E． ∵∠CBD=∠A， ∴tanA=tan∠CBD==， 設(shè)CD=1，則BC=2，AC=4， ∴AD=AC-CD=3， 在直角△ABC中，AB=， 在直角△ADE中，設(shè)DE=x，則AE=2x， ∵AE2+DE2=AD2， ∴x2+（2x）2=9， 解得：x=， 則DE=，AE=． ∴BE=AB-AE==， ∴tan∠DBA=， ∴sin∠DBA=． 故選A． 二、填空題： 6

11、. （2018?齊齊哈爾）四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，則線段CD=　 　． 【答案】：17 【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G， ∵tan∠ABD=， ∴=， 設(shè)AH=3x，則BH=4x， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202， 解得，x=4， 則AH=12，BH=16， 在Rt△AHD中，HD==5， ∴BD=BH+HD=21， ∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°， ∴∠ABD=∠CBH， ∴=，又BC=10， ∴BG=6，CG=8， ∴DG=BD

12、﹣BG=15， ∴CD==17， 故答案為：17． 7. （2018?眉山）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD=　2?。? 【答案】：2 【解答】解：如圖，連接BE， ∵四邊形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根據(jù)題意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴t

13、an∠AOD=2． 故答案為：2 8. （2018?無錫）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積等于　 ． 【答案】：15或10． 【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D， ①如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD===， 則BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15； ②如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)， 由①知，BD=5，CD=， 則BC=BD

14、﹣CD=4， ∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10． 綜上，△ABC的面積是15或10， 故答案為15或10． 9. （2019?浙江湖州?4分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣桿的高度．圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和CD分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．問：當(dāng)α＝74°時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為　120　cm．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．） 【答案】120 【解答】解：過O作OE⊥BD，過A

15、作AF⊥BD，可得OE∥AF， ∵BO＝DO， ∴OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°， ∴∠FAB＝∠BOE＝37°， 在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm， ∴h＝AF＝AB?cos∠FAB＝150×0.8＝120cm， 故答案為：120 三、解答題： 10. （2018·湖北荊州·10分）問題：已知α、β均為銳角，tanα=，tanβ=，求α+β的度數(shù)． 探究：（1）用6個(gè)小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)借助這個(gè)網(wǎng)格圖求出α+β的度數(shù)； 延伸：（2）設(shè)經(jīng)過圖中M、P、H三點(diǎn)的圓弧與AH交于R，求的弧長(zhǎng)．

16、 【解答】解：（1）連結(jié)AM、MH，則∠MHP=∠α． ∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC， ∴△ADM≌△MCH． ∴AM=MH，∠DAM=∠HMC． ∵∠AMD+∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠HMC=90°， ∴∠AMH=90°， ∴∠MHA=45°，即α+β=45°． （2）由勾股定理可知MH==． ∵∠MHR=45°， ∴==． 11. （2019?湖北十堰?7分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD＝3m，壩高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的長(zhǎng)． 【分析】過A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，過D作DF⊥BC于點(diǎn)F，得到四邊形

17、AEFD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到結(jié)論． 【解答】解：過A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，過D作DF⊥BC于點(diǎn)F， 則四邊形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3， ∵坡角α＝45°，β＝30°， ∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6， ∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6， ∴BC＝（9+6）m， 答：BC的長(zhǎng)（9+6）m． 12. （2019?江蘇宿遷?10分）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm

18、，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐墊E與點(diǎn)B的距離BE為15cm． （1）求坐墊E到地面的距離； （2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E'，求EE′的長(zhǎng)． （結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 【分析】（1）作EM⊥CD于點(diǎn)M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案； （2）作E′H⊥CD于點(diǎn)H，先根據(jù)E′C＝求得E′C的長(zhǎng)度，再根據(jù)EE′＝CE﹣CE′可得答案 【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作

19、EM⊥CD于點(diǎn)M， 由題意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm， ∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm）， 則單車車座E到地面的高度為67.5+32≈99.5（cm）； （2）如圖2所示，過點(diǎn)E′作E′H⊥CD于點(diǎn)H， 由題意知E′H＝80×0.8＝64， 則E′C＝＝≈71，1， ∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）． 13. 如圖，已知，在△ABC中，AB＝AC＝2，sinB＝，D為邊BC的中點(diǎn)，E為邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝BC.連接AE，F(xiàn)為線段AE的中點(diǎn)．求： (1)線段DE的長(zhǎng)； (2)∠CAE的正切值． 【解析】：(1)連接AD. ∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC， 即∠ADB＝90°. ∵AB＝AC＝2，sinB＝， ∴＝.∴AD＝4. 由勾股定理，得BD＝2，∴DC＝BD＝2，BC＝4. ∵CE＝BC，∴CE＝4. ∴DE＝DC＋CE＝2＋4＝6. (2)過點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M, 則∠CMA＝∠CME＝90°. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE＝＝2. ∵CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2， ∴(2)2－AM2＝42－(2－AM)2， 解得AM＝. ∴CM＝＝. ∴tan∠CAE＝＝. 15