精修版高中數(shù)學人教A版選修41學案：第2講 1 圓周角定理 Word版含解析

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理一圓周角定理1理解圓周角定理及其兩個推論，并能解決有關問題(重點、難點)2了解圓心角定理基礎初探教材整理1圓周角定理及其推論閱讀教材P24P26，完成下列問題1圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半2推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等3推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑如圖211，在O中，BAC60，則BDC()圖211A30B45C60D75【解析】在O中，BAC與BDC都是所對的圓周角，故BDCBAC60.【答案】C教

2、材整理2圓心角定理閱讀教材P25P26，完成下列問題圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對的圓周角的度數(shù)是()A30 B30或150C60D60或120【解析】弦所對的圓心角為60，又弦所對的圓周角有兩個且互補，故選B.【答案】B質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型利用圓周角定理和圓心角定理進行計算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，求此弦所對的圓周角【精彩點撥】過圓心作弦的垂線構造直角三角形先求弦所對的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)【自主解答】如圖所示，

3、過點O作ODAB于點D.ODAB，OD經(jīng)過圓心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30，AOD60，AOB2AOD120，ACBAOB60.AOB120，劣弧的度數(shù)為120，優(yōu)弧的度數(shù)為240.AEB240120，此弦所對的圓周角為60或120.1解答本題時應注意弦所對的圓周角有兩個，它們互為補角2和圓周角定理有關的線段、角的計算，不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關的角、線段，有時還可以通過比例線段，相似比來計算再練一題1如圖212，已知ABC內(nèi)接于O，點D是上任意一點，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的長圖212【解】，ADBCDE.又，BAD

4、ECD，ABDCED，即.DE2.5 cm.直徑所對的圓周角問題如圖213所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四邊形OBCD的面積圖213【精彩點撥】由AB是半圓的直徑知C90，再由條件求出OD，CD，BC的長可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半圓的直徑，C90.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位線，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)DC(36)418 cm2.在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計算角

5、大小、線段長度，又可以證明線線垂直、平行等位置關系，還可以證明比例式相等.再練一題2.如圖214，已知等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點E，交BC于點F，若BAC50，則的度數(shù)為()圖214A25B50C100D120【解析】如圖，連接AF.AC為O的直徑，AFC90，AFBC.ABAC，BAFBAC25，的度數(shù)為50.【答案】B探究共研型圓周角定理探究1圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？【提示】不一定相等一般有兩種情況：相等或互補，弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點所成的圓周角互補，所對同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補探究2“相等的圓周角所對的弧相等”，正確嗎？

6、【提示】不正確“相等的圓周角所對的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立，如圖若ABDG，則BACEDF，但.如圖215，ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.圖215(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SADAE，求BAC的大小【精彩點撥】(1)通過證明角相等來證明三角形相似(2)利用(1)的結論及面積相等求sinBAC的大小，從而求BAC的大小【自主解答】(1)證明：由已知條件，可得BAECAD.因為AEB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因為ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC且SADAE，故ABACs

7、inBACADAE，則sinBAC1，又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90.1解答本題(2)時關鍵是利用ABACADAE以及面積SABACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關系證明時應注意的問題(1)分析已知和所證，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關的圓周角作為橋梁；(2)當圓中出現(xiàn)直徑時，要注意尋找直徑所對的圓周角，然后在直角三角形中處理相關問題再練一題3.如圖216，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使BDDC，連接AC，AE，DE.求證：EC.圖216【證明】如圖，連接OD，因為BDDC，O為AB的中點，所以ODA

8、C，于是ODBC.因為OBOD，所以ODBB.于是BC.因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側的兩點，所以E和B為同弧所對的圓周角，故EB，所以EC.構建體系1如圖217，在O中，BOC50，則A的大小為()圖217A25B50C75D100【解析】由圓周角定理得ABOC25.【答案】A2如圖218，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，若CD3，AB4，則tanBPD等于()圖218A. B.C.D.【解析】連接BD，則BDP90，DCPBAP，CDPABP，CPDAPB，在RtBPD中，cosBPD，cosBPD，tanBPD.故選D.【答案】D3如圖219

9、，A，B，C是O的圓周上三點，若BOC3BOA，則CAB是ACB的_倍圖219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如圖2110所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30，且大圓半徑R4，小圓半徑r2，則的度數(shù)是_圖2110【解析】的度數(shù)等于AOB，又的度數(shù)等于AOB，則的度數(shù)是30.【答案】305如圖2111，已知A，B，C，D是O上的四個點，ABBC，BD交AC于點E，連接CD，AD.圖2111(1)求證：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的長【解】(1)證明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知，BACADB.ABEABD.ABEDBA，.BE3

10、，ED6，BD9，AB2BEBD3927，AB3.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1如圖2112所示，若圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，則圖中相似三角形有()圖2112A1對B2對C3對D4對【解析】由推論知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2如圖2113所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD4，BD8，則圓O的半徑等于()圖2113A6 B8C4D5【解析】AB為直徑，ACB90.又CDAB，由射影定理可知，CD2ADBD，428AD，AD2

11、，ABBDAD8210，圓O的半徑為5.【答案】D3在RtABC中，C90，A30，AC2，則此三角形外接圓半徑為()A. B2C2D4【解析】由推論2知AB為RtABC的外接圓的直徑，又AB4，故外接圓半徑rAB2.【答案】B4如圖2114所示，等腰ABC內(nèi)接于O，ABAC，A40，D是的中點，E是的中點，分別連接BD，DE，BE，則BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2114A50，30，100 B55，20，105C60，10，110D40，20，120【解析】如圖所示，連接AD.ABAC，D是的中點，AD過圓心O.A40，BEDBAD20，CBDCAD20.E是的中點，CBECBA35，E

12、BDCBECBD55，BDE1802055105，故選B.【答案】B5如圖2115，點A，B，C是圓O上的點，且AB4，ACB30，則圓O的面積等于()圖2115A4 B8C12D16【解析】連接OA，OB.ACB30，AOB60.又OAOB，AOB為等邊三角形又AB4，OAOB4，SO4216.【答案】D二、填空題6如圖2116，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則_.圖2116【解析】連接CD，AC是O的直徑，CDA90.由射影定理得BC2BDAB，AC2ADAB，即.【答案】7(2016天津高考)如圖2117，AB是圓的直徑

13、，弦CD與AB相交于點E，BE2AE2，BDED，則線段CE的長為_圖2117【解析】如圖，設圓心為O，連接OD，則OBOD.因為AB是圓的直徑，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B為BOD與BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因為AEBECEDE，所以CE.【答案】8.如圖2118，AB為O的直徑，弦AC，BD交于點P，若AB3，CD1，則sinAPD_.圖2118【解析】由于AB為O的直徑，則ADP90，所以APD是直角三角形，則sinAPD，cosAPD，由題意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，則

14、.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答題9如圖2119所示，O中和的中點分別為點E和點F，直線EF交AC于點P，交AB于點Q.求證：APQ為等腰三角形圖2119【證明】連接AF，AE.E是的中點，即，AFPEAQ，同理FAPAEQ.又AQPEAQAEQ，APQAFPFAP，AQPAPQ，即APQ為等腰三角形10如圖2120(1)所示，在圓內(nèi)接ABC中，ABAC，D是BC邊上的一點，E是直線AD和ABC外接圓的交點圖2120(1)求證：AB2ADAE；(2)如圖2120(2)所示，當D為BC延長線上的一點時，第(1)題的結論成立嗎？若成立，請證明；若不成

15、立，請說明理由【解】(1)證明：如圖(3)，連接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB，ABDAEB，ABAEADAB，即AB2ADAE.(2)如圖(4)，連接BE，結論仍然成立，證法同(1)能力提升1如圖2121，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，那么等于() 圖2121AsinBPDBcosBPDCtanBPDD以上答案都不對【解析】連接BD，由BA是直徑，知ADB是直角三角形由DCBDAB，CDACBA，CPDBPA，得CPDAPB，cos BPD.【答案】B2如圖2122所示，已知O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4

16、，則AE_.圖2122【解析】連接CE，則AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.【答案】93如圖2123，在O中，已知ACBCDB60，AC3，則ABC的周長是_圖2123【解析】由圓周角定理，得ADACB60，ABBC，ABC為等邊三角形周長等于9.【答案】94.如圖2124，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點E，交BC于點D，連接BE，AD交于點P.求證：圖2124(1)D是BC的中點；(2)BECADC；(3)ABCE2DPAD.【證明】(1)因為AB是O的直徑，所以ADB90，即ADBC，因為ABAC，所以D是BC的中點(2)因為AB是O的直徑，所以AEBADB90，即CEBCDA90，因為C是公共角，所以BECADC.(3)因為BECADC，所以CBECAD.因為ABAC，BDCD，所以BADCAD，所以BADCBE，因為ADBBEC90，所以ABDBCE，所以，所以，因為BDPBEC90，PBDCBE，所以BPDBCE，所以.因為BC2BD，所以，所以ABCE2DPAD.最新精品資料