精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 1 圓周角定理 Word版含解析

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 一　圓周角定理 1．理解圓周角定理及其兩個推論，并能解決有關(guān)問題．(重點、難點) 2．了解圓心角定理． [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　圓周角定理及其推論 閱讀教材P24～P26，完成下列問題 1．圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． 2．推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等． 3．推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． 如圖2-1-1，在⊙O中，∠BAC＝60°，則

2、∠BDC＝(　　) 圖2-1-1 A．30° B．45°　　　 C．60°　　　 D．75° 【解析】　在⊙O中，∠BAC與∠BDC都是所對的圓周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°. 【答案】　C 教材整理2　圓心角定理 閱讀教材P25～P26，完成下列問題． 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對的圓周角的度數(shù)是 (　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【解析】　弦所對的圓心角為60°，又弦所對的圓周角有兩個且互補，故選B. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將

3、你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 　 利用圓周角定理和圓心角 定理進(jìn)行計算 　在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，求此弦所對的圓周角． 【精彩點撥】　過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形．先求弦所對的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)． 【自主解答】　如圖所示，過點O作OD⊥AB于點D. ∵OD⊥AB，OD經(jīng)過圓心O， ∴AD＝BD＝ cm. 在Rt△AOD中， OD＝＝ cm， ∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOD＝1

4、20°， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°. ∵∠AOB＝120°，∴劣弧的度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為240°. ∴∠AEB＝×240°＝120°， ∴此弦所對的圓周角為60°或120°. 1．解答本題時應(yīng)注意弦所對的圓周角有兩個，它們互為補角． 2．和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計算，不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時還可以通過比例線段，相似比來計算． [再練一題] 1．如圖2-1-2，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，＝，點D是上任意一點，AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求DE的長． 圖2-1-2 【解】　∵＝， ∴

5、∠ADB＝∠CDE. 又∵＝， ∴∠BAD＝∠ECD， ∴△ABD∽△CED， ∴＝，即＝. ∴DE＝2.5 cm. 　直徑所對的圓周角問題 　如圖2-1-3所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥AC于D.求四邊形OBCD的面積． 圖2-1-3 【精彩點撥】　由AB是半圓的直徑知∠C＝90°，再由條件求出OD，CD，BC的長可得四邊形OBCD的面積． 【自主解答】　∵AB是半圓的直徑，∴∠C＝90°. ∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm， ∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC，∴OD∥BC. ∴OD

6、是△ABC的中位線， ∴CD＝AC＝4 cm，OD＝BC＝3 cm. ∴S四邊形OBCD＝(OD＋BC)·DC ＝×(3＋6)×4＝18 cm2. 在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計算角大小、線段長度，又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等. [再練一題] 2.如圖2-1-4，已知等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點E，交BC于點F，若∠BAC＝50°，則的度數(shù)為(　　) 圖2-1-4 A．25°　　　 B．50° C．100° D．120° 【解析】　如圖，連接AF.

7、∵AC為⊙O的直徑， ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥BC. ∵AB＝AC， ∴∠BAF＝∠BAC＝25°， ∴的度數(shù)為50°. 【答案】　B [探究共研型] 圓周角定理 探究1　圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？ 【提示】　不一定相等．一般有兩種情況：相等或互補，弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點所成的圓周角互補，所對同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補． 探究2　“相等的圓周角所對的弧相等”，正確嗎？ 【提示】　不正確．“相等的圓周角所對的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立，如圖． 若AB∥DG，則∠BAC＝∠EDF，但≠. 　如圖2-

8、1-5，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E. 圖2-1-5 (1)證明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面積S＝AD·AE，求∠BAC的大?。? 【精彩點撥】　(1)通過證明角相等來證明三角形相似． (2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sin∠BAC的大小，從而求∠BAC的大小． 【自主解答】　(1)證明：由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因為△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝AB·ACsin∠BAC且S＝AD·AE， 故A

9、B·ACsin∠BAC＝AD·AE， 則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°. 1．解答本題(2)時關(guān)鍵是利用AB·AC＝AD·AE以及面積S＝AB·ACsin∠BAC確定sin∠BAC的值． 2．利用圓中角的關(guān)系證明時應(yīng)注意的問題 (1)分析已知和所證，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁； (2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時，要注意尋找直徑所對的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題． [再練一題] 3.如圖2-1-6，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使BD＝DC，連接A

10、C，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 圖2-1-6 【證明】　如圖，連接OD，因為BD＝DC，O為AB的中點， 所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因為OB＝OD，所以∠ODB＝∠ B. 于是∠B＝∠C. 因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角， 故∠E＝∠B，所以∠E＝∠C. [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-1-7，在⊙O中，∠BOC＝50°，則∠A的大小為(　　) 圖2-1-7 A．25°　　　 B．50° C．75° D．100° 【解析】　由圓周角定理得 ∠A＝∠BOC＝25°

11、. 【答案】　A 2．如圖2-1-8，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，若CD＝3，AB＝4，則tan∠BPD等于(　　) 圖2-1-8 A. B. C. D. 【解析】　連接BD，則∠BDP＝90°， ∵∠DCP＝∠BAP，∠CDP＝∠ABP， ∴△CPD∽△APB，∴＝＝， 在Rt△BPD中，cos∠BPD＝，∴cos∠BPD＝， ∴tan∠BPD＝.故選D. 【答案】　D 3．如圖2-1-9，A，B，C是⊙O的圓周上三點，若∠BOC＝3∠BOA，則∠CAB是∠ACB的________倍． 圖2-1-9 【解析】　∵∠BOC＝3∠BOA

12、，∴＝3， ∴∠CAB＝3∠ACB. 【答案】　3 4．如圖2-1-10所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓半徑R＝4，小圓半徑r＝2，則的度數(shù)是________． 圖2-1-10 【解析】　的度數(shù)等于∠AOB，又的度數(shù)等于∠AOB，則的度數(shù)是30°. 【答案】　30° 5．如圖2-1-11，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD. 圖2-1-11 (1)求證：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的長． 【解】　(1)證明：∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠BDC＝∠ADB， ∴DB平分∠ADC

13、. (2)由(1)可知＝， ∴∠BAC＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD. ∴△ABE∽△DBA，∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9， ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27， ∴AB＝3. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(六) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2-1-12所示，若圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，則圖中相似三角形有(　　) 圖2-1-12 A．1對　　　　　　 B．2對 C．3對 D．4對 【解析】　由推論知：∠ADB＝∠ACB，

14、∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 【答案】　B 2．如圖2-1-13所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓O的半徑等于(　　) 圖2-1-13 A．6 B．8 C．4 D．5 【解析】　∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB， 由射影定理可知，CD2＝AD·BD， ∴42＝8AD，∴AD＝2， ∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10， ∴圓O的半徑為5. 【答案】　D 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，則此三角形外接圓半徑為(　　)

15、 A. B．2 C．2 D．4 【解析】　由推論2知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝＝4，故外接圓半徑r＝AB＝2. 【答案】　B 4．如圖2-1-14所示，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中點，E是的中點，分別連接BD，DE，BE，則△BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是(　　) 圖2-1-14 A．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】　如圖所示，連接AD. ∵AB＝AC，D是的中點， ∴AD過圓心O. ∵∠A＝40°， ∴∠BED＝∠BAD＝

16、20°， ∠CBD＝∠CAD＝20°. ∵E是的中點， ∴∠CBE＝∠CBA＝35°， ∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°， ∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°， 故選B. 【答案】　B 5．如圖2-1-15，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于(　　) 圖2-1-15 A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】　連接OA，OB. ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°. 又∵OA＝OB， ∴△AOB為等邊三角形． 又AB＝4，∴OA＝OB＝4， ∴S⊙O＝π·42＝16π. 【答案】

17、　D 二、填空題 6．如圖2-1-16，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則＝________. 圖2-1-16 【解析】　連接CD，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB， ∴＝，即＝. 【答案】　 7．(2016·天津高考)如圖2-1-17，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，則線段CE的長為________． 圖2-1-17 【解析】　如圖，設(shè)圓心為O，連接OD，則OB＝OD. 因為AB是圓的直徑，BE＝2

18、AE＝2，所以AE＝1，OB＝. 又BD＝ED，∠B為△BOD與△BDE的公共底角， 所以△BOD∽△BDE，所以＝， 所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝. 因為AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝. 【答案】　 8.如圖2-1-18，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APD＝__________. 圖2-1-18 【解析】　由于AB為⊙O的直徑，則∠ADP＝90°， 所以△APD是直角三角形， 則sin∠APD＝，cos∠APD＝， 由題意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP， 所以△PCD∽△PBA. 所以

19、＝，又AB＝3，CD＝1，則＝. ∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1， ∴sin∠APD＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2-1-19所示，⊙O中和的中點分別為點E和點F，直線EF交AC于點P，交AB于點Q.求證：△APQ為等腰三角形． 圖2-1-19 【證明】　連接AF，AE. ∵E是的中點，即＝， ∴∠AFP＝∠EAQ， 同理∠FAP＝∠AEQ. 又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP， ∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ為等腰三角形． 10．如圖2-1-20(1)所示，在圓內(nèi)接△ABC中，AB＝AC，D是

20、BC邊上的一點，E是直線AD和△ABC外接圓的交點． 圖2-1-20 (1)求證：AB2＝AD·AE； (2)如圖2-1-20(2)所示，當(dāng)D為BC延長線上的一點時，第(1)題的結(jié)論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 【解】　(1)證明：如圖(3)， 連接BE. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠AEB. 又∠BAD＝∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴AB∶AE＝AD∶AB， 即AB2＝AD·AE. (2)如圖(4)，連接BE， 結(jié)論仍然成立，證法同(1)． [能力提升] 1．如圖2-1-21，已

21、知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，那么等于(　　) 圖2-1-21 A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．以上答案都不對 【解析】　連接BD，由BA是直徑， 知△ADB是直角三角形． 由∠DCB＝∠DAB， ∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB， ＝＝cos ∠BPD. 【答案】　B 2．如圖2-1-22所示，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，則AE＝__________. 圖2-1-22 【解析】　連接CE，則∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝

22、AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴＝， ∴AE＝＝9. 【答案】　9 3．如圖2-1-23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是__________． 圖2-1-23 【解析】　由圓周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°， ∴AB＝BC， ∴△ABC為等邊三角形． ∴周長等于9. 【答案】　9 4.如圖2-1-24，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連接BE，AD交于點P.求證： 圖2-1-24 (1)D是BC的中點； (2)△

23、BEC∽△ADC； (3)AB·CE＝2DP·AD. 【證明】　(1)因為AB是⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 因為AB＝AC，所以D是BC的中點． (2)因為AB是⊙O的直徑， 所以∠AEB＝∠ADB＝90°， 即∠CEB＝∠CDA＝90°， 因為∠C是公共角， 所以△BEC∽△ADC. (3)因為△BEC∽△ADC， 所以∠CBE＝∠CAD. 因為AB＝AC，BD＝CD， 所以∠BAD＝∠CAD， 所以∠BAD＝∠CBE， 因為∠ADB＝∠BEC＝90°， 所以△ABD∽△BCE， 所以＝，所以＝， 因為∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE， 所以△BPD∽△BCE， 所以＝. 因為BC＝2BD，所以＝， 所以AB·CE＝2DP·AD. 最新精品資料