13、題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有
多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.（2021?廣東高三月考）若甲組樣本數(shù)據(jù)為，與 x“（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2,
方差為4,乙組樣本數(shù)據(jù)3占+。，3x2+a, 3x”+a的平均數(shù)為4,則下列說法正確的是
（）
A.a的值為-2 B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同
【答案】ABD
【解析】由題意可知：3x2+a=4,故。=一2,故A正確；乙組樣本數(shù)據(jù)方差為9x4=36,故B正確：
設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為占，則乙組樣本數(shù)
14、據(jù)的中位數(shù)為3七一2,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯誤；甲組數(shù)據(jù)的極差為,則甲組數(shù)據(jù)的極差為（3人皿—2）—（3X.-2）=3（%—x*）,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確；故
選：ABD
10 .數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：“ABC的外心0,重心G,垂心”，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4,AC=2,則下列各式正確的是（ ）
A.2GO+GH=0B.AGBC=4 C.AOBC=-6 D.OH=OA+OB+OC【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉線定理可判斷A；利用向量的加、減
15、運算可判斷B；利用向量的數(shù)量積可判斷C；利用向量的加法運算以及歐拉線定理可判斷D.
【詳解】A,由題意可得詼=-J而'，即2防+兩=。，故A正確；
—?2——?2(1―?1
B,
2
2
所以而?前
故B錯誤;
由G是AABC的面心可得AG=-AM= +-
C,過aABC的外心。分別作48,AC的垂線，垂足為RE,如圖,
易知D,E分別是AB,AC的中點，則正?配=而?（/一前）=亞?尼-布?福
=|回pW|cosNOAE-1正口福|cosNOAO=|荏口恁卜|和||麗|=g|園2-g|西2=一6,故C正確：
D,因為G是aABC的重心，所以而+說+覺=6，
故方
16、+而+反=（而+詼）+（而+甫）+（旃+玄）=3前+礪+而+反=3旃，
山歐拉線定理可得0萬=306.所以麗=麗+而+玄，故D正確.故選：ACD
11 .已知點A是圓C:（x+l）?+y2=l上的動點，O為坐標(biāo)原點，蘇1而，且|方|=|而I，。，
A,B三點順時針排列，下列選項正確的是（ ）
A.點B的軌跡方程為（x-l）2+（y-l）2=2 B.|C8|的最大距離為i+&
C.麗的最大值為&+1 D.乎?。的最大值為2
【答案】BD
【詳解】如圖，過。點作。。"AB,且=AB
% r￡y
IlJ 5
則點 C（-1,O）,設(shè)點人（天,%）,設(shè) NxOA = a,則 ZxO
17、￡） = （ % = osina ,
所以，xd =?cos^a-y^ = asina = y0, yD =asin^a-y
因為0豆=04+彷=（/+ %,%—為0）,設(shè)點B（x,y）, uj
z-y，設(shè)|OA| = a ,所以,x（） =acosa ,
| = -。cos a = -xot 即點 ￡＞（%,一%）,
x — y
.得廣％+ %，解得“2 , ly = %-x0 v -x+ v
因為點A在圓(X+l)2+y2=l上，所以(為+l)2+y：=l,
將’°，代入方程5+if+y：=i可得(字+1]+(晝J=i'
整理可得(x+lf+(y-l)2=2,所以
18、A是錯的，所以C8的最大距離為1+&,8是對的，
設(shè)NC40=<9,0°46490°,
CACB^CA(^A+AB)=CA+CAAB=\+\CA\\AB\cos((iQf'-0)
=1+|0人悶116=1+2<;。$必出。=1+4112。42,所以麗.麗的最大值為2,。是對的.故選：
BD
10.在棱長為1的正方體A8cO-ABCQ中，點E,尸分別足通=義而，BF=pBC,其中；i=[0,l], 則( )
A.當(dāng)〃=1時，三棱錐A-B盧尸的體積為定值B.當(dāng)/=；時，點A,8到平面REF的距離相等
C.當(dāng)〃=g時，存在；I使得_L平面4E尸 D.當(dāng)時，A.F1C.E
【答案】AB
19、D
【解析】由V%-氏EF=〃一用￡€=%—'81￡即可判斷A；當(dāng)2=g時，點E是A8的中點可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，計算西.肝/0可判斷C；設(shè)AE=，〃，求出所需各點坐標(biāo)，計算卡?印=0可判斷D,進而可得正確選項.
【詳解】對于A：當(dāng)〃=1時，BF=BC.此時點尸位于點C處，三棱錐以則后=以叫火
=V
yC-\ByE，
s“A4￡=gxA耳xM=gX1X1=g為定值，點C到面A4E的距離為C8=I是定值，
所以三棱錐A-B\EC的體積為定值，即三棱錐A-8/尸的體積為定值，故選項A正確;對于B：當(dāng)a=；時，點E是A8的中點，所以點A.B到平面4E尸的距離相等，故選項B
20、正確；
對于C：當(dāng)〃=；時，點F是BC的中點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則8(1,1,0),
D,(0,0,1),B,(1,1,1),
可得B瓦=(—1,7,0),所=(一；,0,一”,所以
西即=(-；卜(-l)+0x(T)+0x(_l)=；#0,
所以BD、>.jB,F不垂宜，所以不存在4使得BD、±平面B.EF,故選項C不正確：
對于D：設(shè)AE=/n,則磯1,機0),F(1-/m,1,0),A。，。/)，C,(0,1,1)所以和=(tm,1,T),
因為平?平=T"+m—l+l=0,所以AFJ_GE,故選項D正確；故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共
21、20分.
13 .已知函數(shù)/(x)=x3+sinx+l,若/(a)=2,則/(—“)=.
【答案】0
【分析】本題苜先可根據(jù)/(。)=2得出/+sina=1,然后根據(jù)/(-a)=-?3-sina+1即可得出結(jié)果.
【詳解】因為/(。)=2,所以/+sina+l=2，o'+sina=1-
則/(一a)=(—a)，+sin(-a)+l=-a3-sina+l=-l+l=0,故答案為：0.
14 .函數(shù)/(x)=-2x—|lnx|+2的最大值為.
【答案】l-ln2
【分析】由題去絕對值分情況討論，分別求導(dǎo)求最值，即可求得最大值.
【詳解】由題知當(dāng)時，f(x)=-2x-}nx+2,二
22、/'(x)=-2-l<0，/*)在口,+8)為減X
函數(shù)，
1-2x+l
/Wmax=/a)=0."'lOvxvl時，/(x)=-2x+lnx+2, /(x)=-2+-=^—,
XX
.?.當(dāng)xe(O,；)時，r(x)>0,當(dāng)xw(g,l)時，r(x)<0,，/(x)a=/(g)=l-ln2,
綜上可知，/(x)a=lTn2.故答案為：1—小2.
15.如圖，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABC。，且A8〃CD.若雙曲線C1以A,B為焦點，且過C,。兩點，則當(dāng)梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為.
【答案】73+1
【分析】連接AC,設(shè)N8AC=〃，將梯形的周長表示成關(guān)于。的
23、函數(shù)，求出當(dāng)，=30。時，/有最大值，即可得到答案：
【詳解】連接AC,設(shè)NBAC=6,\AB\=2R,c=R,
作CELA8于點E,則18cl=2Rsin。，|EBHBC\cos(900-0)=2/?sin26>,所以|CD|=2/?-4/?sin26>,
梯形的周長/=|AB|+2|BC|+|8|=2R+4/?sine+2/?-4Rsin2e=TK(sine-：)+5R.
當(dāng)sin6?=；,即6=30。時，/有最大值5R,這時，18cl=R,|AC|=>/J/?,
a=-(\AC\-\BC\)=^~^R.e=-=y/3+\.故答案為：6+1
2 2a
16.九連環(huán)是中國的一種
24、古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮.長期以來，這個益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計算機專家們用于教學(xué)研究的課題和例子.中國的末代皇帝溥儀(1906-1967)也曾有一個精美的由九個翡翠型相連的銀制的九連環(huán)(如圖).現(xiàn)假設(shè)有〃個圓環(huán)，用％表示按某種規(guī)則解下〃個圓環(huán)所需的最小移動次數(shù).已知數(shù)列加“｝滿足下列條件；4=1，
%=2,an=an_2+2"~'[n>3,neN"),記｛a“｝的前項和為S“，則：(1)%=；(2)
銀和翠玉制九連環(huán)著(1644-1911)
【答案】341
2,02-154
3
【分析】分〃為偶數(shù)和“為奇數(shù)兩種情況，由題中條件，利用桶加法，由等比數(shù)列的求和公
25、式，求出數(shù)列的通項，即可求出與：再由分組求和的方法，即可求出，0c.
【詳解】（1）當(dāng)〃為偶數(shù)時，
a?=an_2+2"'=an4+2,,'|+2"-3=a?^+2"-1+2"3+2"-=…=%+2,"''+2"-3+2,,-5+---+23
2（1-2",）1, 、
=+2"-3+2"-5+…+23+2=-1_-L=1（2"+,-2）；
1-22 3、 '
當(dāng)〃為奇數(shù)時，
a=a,,+2"-1=a,+2"^+2"-=+2"T+2"力+2"<=…=《+2"一+2""+2"f+…+2?nn—Z ”一4 n—o I
=2"-,+2?3+2"-5+---+22+l= =g（2"+,-
26、l）/.a,=1（29+,-1）=341
（2）SgHq+qd 1~陽）+（%+a4d 1~4oo）
=^［（22-1）+（24-I）+--+（2ioo-1）］+1［（23-2）+（25-2）+---+（2ioi-2）］
=；（22+23+2，+25+…+2hio+2m）+；（-15O）=^^^.故答案為：341；2-~154.
【點睛】求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件,討論〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況，利用疊加法（累加法）求出數(shù)列的通項即可；在求數(shù)列的和時，可利用分組求和的方法求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.在①一三=一［；
27、②，L=￡，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.cosAcosBtanAtanB
已知在銳角ZUBC中，角A,B,C的對邊分別為小b,c,.（I）判斷A48C的
形狀；（2）在（1）的條件下，若cosA=立，b=10,A。為BC邊上的中線，求AO的長.
5
【答案】（I）選①，上二=」■大由正弦定理理嗎■=列且，即tanA=tanB,又AB是cosAcosB cosAcosB
?:角形48c內(nèi)角，所以A=B,/VIBC是等腰三角形；
選②，——=——,由正弦定理得"n"=si"B,所以sinAcosA=sin3cos3,
tanAtanB tanAtanB
sin2A
28、=sin2B,又A8是銳角三角形內(nèi)角，所以2A=28或2A+2B=;r,
yr
所以A=8或A+3=］,所以△48C是等腰二角形或直角二角形;
（2）選①，A = 3，則々=。=10,
BD = 5,
AB = 2/?cos A =
2xl0x
△AB￡)中，山余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB
⑴解:
由題意得
⑵解:
由（1）得"=
當(dāng)〃為偶數(shù)時,
=(4>/5)3+52-2x4^x5x—=65.A。=??；
選②，A=8時同選①得AO=庖，
A+B=2時，cosA- >則sin4= ,tanA=2,所以5C=2AC=20,
29、CD=10.
2 5 5
所以AD=〃C2+c￡>2=io垃■
18.已知等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，且P(%14),Q(q，14)都在y=x+”的圖像上.
(1)求數(shù)列｛??｝的通項公式和前“項和s?（2）設(shè)"=申々，求數(shù)列｛"｝的前〃項和T”，且（＜工，求2取值范圍.
【答案】（1）4=2〃+1,S?=n2+2n；（2）7；,=-1+（-1）"-i-；（-2,+co）.n+\
【分析】（1）由已知建立方程組，求得的=5,4=9,再利用等差數(shù)列的通項公式和求和公
式可求得答案；
（2）山（1）得2=（-1）"（'+一1］，分〃為金數(shù)，〃為偶數(shù)兩種情況，分別求得■，再將
\nn
30、+\）
不等式等價于2＞（-1）"-（〃+1）,令cLeiy,-e+i）,由數(shù)列的單調(diào)性可求得答案.
45
即%，4是方程x+'=14的兩個根,
x
即生,包是方程（x-5）（x-9）=0的兩個根,
又?jǐn)?shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，解得々=5,%=9,
所以等差數(shù)列｛4｝的公差4=與咚=瀉=2,所以4=5-2=3,4—2 4—2
所以4,=3+2（〃-1）=2”+1,s“=3〃+2x^^=〃2+2"：
(T)Z(T)"(2〃+l)-(i)"f31)
n(n+l)+ \nn+1)
所以7；=-
J 1J
由,即得2>(T)"-(〃+l),令c.=(-l)"-(〃+l),
31、
當(dāng)“為奇數(shù)時，c?=-2-n,艮q>q>C5>…，
當(dāng)”為偶數(shù)時，c?=-n,且。2>弓2>…，
又C|=-3,c2=-2>-3,所以4>一2,故義取值范圍為(一2,+8).
19.綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視.2021年廣州市某公司為了動員職工積極參加植樹造林，在3月12日植樹節(jié)期間開展植樹有獎活動，設(shè)有甲、乙兩個摸獎箱，每位植樹者植樹每滿15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎機會,植樹每滿25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎機會.每箱內(nèi)各有10個球(這些球除顏色外全相同)，甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中4個紅球、b個黃球、5個黑球(a,beN*),乙箱內(nèi)有4個紅球和6個黃球.每次摸出
32、一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，黃球獎50元，摸得黑球則沒有獎金.(1)經(jīng)統(tǒng)計，每人的植樹棵數(shù)X服從正態(tài)分布N(20,25),現(xiàn)有100位植樹者，請估計植樹的棵數(shù)X在區(qū)間(15,25)內(nèi)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入取整數(shù))；(2)某人植樹50棵，有兩種摸獎方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎機會；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎機會；請問：這位植樹者選哪一種方法所得獎金的期望值較大？
附參考數(shù)據(jù)：若 則P(〃—b
33、進而求得植樹在(15,25)內(nèi)的人數(shù).
(2)由題設(shè)。+匕=5,確定甲箱摸獎的概率，注意參數(shù)的取值范圍求期望值的最值，再由乙箱摸獎的概率求期望值，比較它們的大小.
【詳解】(I)由題設(shè)，〃=20,cr=5,而P(15
34、=50)=K，P(X=100)=—,則E(X)=0x1+50x2+100x巴=5%+i0a=25+5a,
10 2 10 10
.??三次摸獎的期望為3E(X)=75+15a,而?？赡苋≈禐閧1,2,3,4},即3E(X)4135.
兩次乙箱內(nèi)摸獎，所得獎金可能值為X={100,150,200},
3 9 23 12 2 4
P(X=100)=C"(-)2=—,P(X=150)=C*(-)(-)=—,P(X=200)=C：(—)2=一，
?5 25 255 25 -5 25
9 12 4
此時，期望獎金為6(X)=100x毛+150x王+200x天=140元.
綜上，3E(X
35、)<135
36、已知得，B、F=2BF,△BC/s^BEF,所以BE=；,
由A8、BC的長都為3,AC的長為36，得NABC=120。，所以NAB￡=60。，
在三角形ABE中，山余弦定理，^AE=yjAB2+BE2-2AB-BEcos60°=—.所以AB2=A￡+B￡,所以AELBE，即A￡J_CE,又ABC-A4G是直三棱柱，故C￡_L平面ABC,
又AEu平面A8C,所以CC1，4E,因為CEcCG=C,所以平面BCG4,
又4Eu平面AC7,所以平面ACtF，平面8CC再；
(2)以E為坐標(biāo)原點，EC,￡4所在直線分別為x軸、＞軸平行于即的“線為二軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面EAC,的
37、法向量為乃= (p,g,r),
- ~TA 36
n - EA = 1=U,
2 即
—— 9
n - EC、= — /? + 3r = 0,
q = 0、
3p + 2r = 0,
不妨設(shè)
>?=(-2,0,3),
由(i)得 dm，。,。
西=(0,0,3),
，n宜？…?4日、j-/ 、,4?BA=—xd y=0,14r,—x+y/iv=0,...
設(shè)四的'法M；jL=(.rW),則41 2 2叫_"不妨設(shè)
用麗=3z=0, Z=0'
In,-nlJ39
設(shè)平面AC/與平面M8由所成銳二面角為。，則cos0=1L1-1=詈，同.同1
38、3
所以平面AG尸與平面mb產(chǎn)所成銳二面角的余弦值為叵.
13
21 .設(shè)點廠(L0),動圓經(jīng)過點F且和直線x=-l相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線￡的方程；(2)過點尸的直線交曲線E于A,8兩點，另一條與直線AB平行的直線交x軸于點例，交y軸于點N,若&?鉆是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，求點M的橫坐標(biāo).
【答案】(I)y2=4x⑵二3(1及)
2
【分析】(I)根據(jù)拋物線的定義可得拋物線方程；
(2)可設(shè)直線AB的方程為x=，”.v+l,聯(lián)立拋物線方程，得到中點C坐標(biāo)以及|AB|,再根據(jù)條件可知NC 從而求得點N坐標(biāo)，利用|NC|=g|A8|,結(jié)合直線
39、MN的方程
即可求得結(jié)果.
⑴由題意，點P到點尸的距離等于到直線x=-l的距離，
所以點尸的軌跡是以*1,0)為焦點，立線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線，P=2,故曲線E的方程是V=4x.
⑵顯然，直線A8不與x軸重合，設(shè)直線A8的方程為x=my+l,町E聯(lián)立得：/-4wy-4=0設(shè)4(3,%),5(工2，%)，則/'+1-14"則。；>=2四,"?)’!,：”+[=2n+1,
JM=T 2 2
即AB中點C坐標(biāo)為(2〃5+1,2〃。,|AB|=(x+l)+(w+l)=m(y+%)+4=4m2+4山題意ANAB是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，故NCIAB.過C與AB垂直的直線，其方程為
40、y=-m(X-2m2-1)+2小，令X=o,得y=2加+3m,故點N坐標(biāo)為(0,2m3+3時,又|NC|=，|AB|=2機？+2,故Vl+w2(2m2+l)=2m2+2.
令Ji獲則，(2/-1)=2/，由d1,解得r=上手，即J1+，=112^,解得/=*又直線MN的方程為y='x+2加+3,〃，令y=0,得到點M橫坐標(biāo)為
m
-4□2-3(1+6)xM=—2m—3m= .
22.已知函數(shù)/(x)=?+lnx.⑴討論f(x)的單調(diào)性；(2)若/(司)=/5)=2(%*x.),證明：a2<為/
41、x),再討論了'(x)>0或/'(x)<0即可作答.(2)由⑴求出ae(O,e),把所證不等式分成兩部分分別作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性推理作答.
(1)函數(shù)/(x)=9+lnx的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得：/(引=耳，
當(dāng)時,/'(x)>0恒成立，則”X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,當(dāng)a>0時，f'(x)<0的解集為(O,a),/'(x)>0的解集為(a,+oo),
即/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(。,+8)，單調(diào)減區(qū)間為(0,。),
所以，當(dāng)“40時，"X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，
當(dāng)a>0時，/(x)在(a,4w)上單調(diào)遞增，在(Om)I：單調(diào)遞減.
(2)因為
42、/(玉)=/(2)=2(々/w)，由(I)知，?>0>且/(Hmin=/(4)=lna+l<2,解得ae(O,e),
設(shè)占<4，則。<為<。<》2，要證須七>/,即證毛>￡->。，即證/(%)>/(十),
即證/(X1)>/j幺],設(shè)g(x)=/(x)-/(—)=21nx+----21na,xe(O,a),
則g[(x)=2_=」=([a)<0，即g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，有g(shù)(x)>g(a)=0,xx2aax2
即"x)>f[[J(xe(O，a))，則卜戈立，因此為%>/成立，
要證x^cae,即證。<%<曰，即證/(、2)<_/'(]],即證即證
2<--lnx(+lna+l,X1e(0,a),而一+ln*=2。。=%(2-Inx。，即證1。，即伊(力在(0,e)卜.單調(diào)遞增，則有。<0(x)<°(e)=e，即”(x)vO"(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，而(0,a)q(0,e),當(dāng)口?0,〃)時，
ft(x)>/z(a)>/i(e)=l,則當(dāng)xe(Om)時，M2+ln(2-lnx)成立,故有工也〈優(yōu)成立,所以,
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2022年新高考模擬卷（一）-2022年高考數(shù)學(xué)【熱點·重點·難點】專練（新高考專用）（解析版）
