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1、
能 力 提 升
一、選擇題
1．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為( )
A．平行四邊形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
[答案] C
[解析] ∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，
∴AD∥BC且AD≠BC，故選C.
2．已知＝a，＝b，C為線段AB上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，D為線段CB上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用a、b表示為( )
A.(4a＋5b)
B.(9a＋7b)
C.(2a＋b)
D.(3a＋b)
[答案] A
[解析]
2、利用向量加法和減法的幾何意義和平面向量基本定理求解．
∵＝＋，＝＋
＝＋＝＋＝.
而＝b－a，∴＝b－a，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若＝a，＝b，則＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案] D
[解析] ∵＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
4．已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是( )
A. B.
C．－3 D．0
[答案] D
[解析] ∵＝
＝(－)
∴r
3、＝ s＝－
∴r＋s＝0.
5．(09·全國(guó)Ⅰ文)設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則a與b的夾角為( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c
∴如圖所示就是符合題設(shè)條件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等邊三角形．
∴a與b的夾角為120°.
6．(2011～2012·合肥市)如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為( )
A. B.
C. D.
[答案
4、] C
[解析] 設(shè)＝λ，∵E、D分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴＝＋＝－a＋b，
＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)
＝a＋(1－λ)b，
∵與共線，∴＝，∴λ＝，
∴＝＋＝b＋＝b＋
＝a＋b，故x＝，y＝.
二、填空題
7．向量a與b的夾角為25°，則2a與－b的夾角θ＝________.
[答案] 155°
[解析] 作＝a，＝b，則∠AOB＝25°，如圖所示．
延長(zhǎng)OA到C，使OA＝AC，則＝2a.
延長(zhǎng)BO到D，使OD＝BO，則＝－b.
則θ＝∠DOA，又∠DOA＋∠AOB＝180°，則∠DOA＝180°－25°＝155°，則θ＝155°.
8．已知e1、e2
5、是兩個(gè)不共線的向量，而a＝k2e1＋(1－k)e2與b＝2e1＋3e2是兩個(gè)共線向量，則實(shí)數(shù)k＝________.
[答案] －2或
[解析] 由題設(shè)知＝，∴3k2＋5k－2＝0.
解得k＝－2或.
9．已知向量a和向量b不共線，且m＋n＝a，m－n＝b，則m＝________，n＝________.(用a、b表示)
[答案]
[解析] 解方程組
得m＝，n＝
三、解答題
10．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若＝a，＝b，試用a、b表示、，.
[解析] 如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形．
則＝＝
6、＝a，
＝－＝－＝b－a，
＝－＝－－
＝－－
＝a－b.
11．已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為120°，求a＋b與a的夾角，a－b與a的夾角．
[解析] 如圖，作＝a，＝b，且∠AOB＝120°，
以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，
則＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以△OAB為等腰三角形，
所以∠OAB＝30°
即a－b與a的夾角為30°.
因?yàn)閨a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，
所以O(shè)C⊥AB，所以∠COA＝60°，
即a＋b與a的夾角為60°.
12．設(shè)M、N、P是△ABC三邊上的點(diǎn)，它們使＝，＝，＝，若＝a，＝b，試用a、b將、、表示出來(lái)．
[解析] 如圖，＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.
高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修4能力提升：2-3-1 平面向量基本定理
