精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料評(píng)估驗(yàn)收卷(四)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下列說法中正確的是()A若一個(gè)命題當(dāng)n1，2時(shí)為真，則此命題為真命題B若一個(gè)命題當(dāng)nk時(shí)成立且推得nk1時(shí)也成立，則此命題為真命題C若一個(gè)命題當(dāng)n1，2時(shí)為真，則當(dāng)n3時(shí)此命題也為真D若一個(gè)命題當(dāng)n1時(shí)為真，nk時(shí)為真能推得nk1時(shí)亦為真，則此命題為真命題解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可A，B，C項(xiàng)均不全面答案：D2等

2、式122232n2(5n27n4)()An為任何正整數(shù)時(shí)都成立B僅當(dāng)n1, 2，3時(shí)成立C當(dāng)n4時(shí)成立，n5時(shí)不成立D僅當(dāng)n4時(shí)不成立解析：把n1，2，3，4，5代入驗(yàn)證可知B正確答案：B3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B12C12D12解析：因?yàn)閚2，所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為n2時(shí)12.答案：A4設(shè)f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因?yàn)閒(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).答案：D5已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中

3、共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)解析：本題主要考查數(shù)列的概念由n到n2一共有整數(shù)n2n1個(gè)，所以f(n)有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)代入得，f(2).故本題正確答案為D.答案：D6用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k3時(shí)正確(kN)B假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確(kN)C假設(shè)nk時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確(kN)D假設(shè)nk(k1)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確(kN)解析：n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n取第(k

4、1)個(gè)正奇數(shù)，即n2k1時(shí)正確答案：B7平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析：第k1條直線與前k條直線都相交有交點(diǎn)，所以應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)故應(yīng)選B.答案：B8用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)成立時(shí)，從k到k1左邊需增乘的代數(shù)式是()A. B2(2k1)C2k1 D.解析：要求左邊從k到k1左邊需增乘的代數(shù)式，可以先寫出nk時(shí)，左邊(k1)(k2)(kk)，再寫出nk1時(shí)，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)，然后比較兩式，得出需增乘2(

5、2k1)答案：B9如果命題P(n)對于nk成立，則它對nk2亦成立，又若P(n)對n2成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對所有自然數(shù)n成立BP(n)對所有偶自然數(shù)n成立CP(n)對所有正自然數(shù)n成立DP(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立解析：因?yàn)閚2時(shí)，由nk2的“遞推”關(guān)系，可得到n4成立，再得到n6成立，依次類推，因此，命題P(n)對所有偶自然數(shù)n成立答案：B10設(shè)0，已知a12cos ，an1，則猜想an為()A2cos B2cos C2cos D2sin 解析：a12cos ，a22cos ，a32cos ，猜想an2cos .答案：B11設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x

6、)滿足：當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：根據(jù)題中條件可知：由f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因?yàn)镈中f(4)2542，故可推得k4時(shí)，f(k)k2，故只有D正確答案：D12已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析：

7、f(1)36，f(2)108，n3時(shí)f(n)9(2n7)3n21，(2n7)3n21，當(dāng)n3時(shí)能被4整除，結(jié)合選項(xiàng)知C正確答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上)13若用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n1n2n2成立時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案：n03，24323214用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：12223242(1)n1n2(1)n1(nN)，(從“第k步到k1步”時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上_答案：(1)k(k1)215用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時(shí)，55n145n235n能被11整除”的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)n_時(shí)，55n145n235n_，能被11整除解析：本題考查對運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法

8、證明整除問題的掌握情況，由于n是非負(fù)整數(shù)，所以第一步應(yīng)考慮n0.答案：05142302216假設(shè)凸k邊形的對角線有f(k)條，則凸(k1)邊形的對角線的條數(shù)f(k1)為_解析：凸(k1)邊形的對角線的條數(shù)等于凸k邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對角線的條數(shù)k2，再加上原來有一邊成為對角線，共有f(k)k1條對角線答案：f(k)k1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊所以當(dāng)n1時(shí)，等式成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)

9、，.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對于一切nN*等式都成立18(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1(nN，且n1)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，1成立；(2)設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，1；則當(dāng)nk1時(shí)，1111，即當(dāng)nk1時(shí)也成立由(1)(2)知對任意n1(nN)，原不等式成立19(本小題滿分12分)求證：對于整數(shù)n0時(shí)，11n2122n1能被133整除證明：(1)n0時(shí)，原式11212133能被133整除(2)假設(shè)nk(k0，kN)時(shí)，11k2122k1能被133整除，nk1時(shí)，原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)12

10、2k1133也能被133整除由(1)(2)可知，對于整數(shù)n0，11n2122n1能被133整除20(本小題滿分12分)設(shè)xn是由x12，xn1(nN)定義的數(shù)列，求證：xn.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，x121，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立，即xk，那么，當(dāng)nk1時(shí)，xk1.由歸納假設(shè)，xk，則，.因?yàn)閤k，所以.所以xk1.即xk1.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式xn成立綜上所述，得xn(nN)21(本小題滿分12分)數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表達(dá)式；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想(1)解：an，S1a1；S2a1a2；S3a1a2a3.

11、(2)解：猜想：Sn(nN)(3)證明：當(dāng)n1時(shí)，S1a1，右邊.等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，Sk，則當(dāng)nk1時(shí)，Sk1Skak1.即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由可得Sn(nN)22(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)由題意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，1，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak，則當(dāng)nk1時(shí)，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，所以ak1ak，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由可知，對nN，an.最新精品資料