精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;5 從力做的功到向量的數(shù)量積 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 [核心必知] 1．平面向量數(shù)量積的概念 (1)向量的夾角 定義 已知兩個非零向量a和b，如圖所示，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫作向量a與b的夾角 范圍 0°≤θ≤180°，當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記作a⊥b (2)規(guī)定：零向量與任一向量垂直． (3)向量b在a方向上的射影 ①定義：如圖，＝a，＝b，過點B作BB1⊥OA于點B1則OB1＝|b|cos θ. |b|cos_θ叫作向量b在a方向上的射影． ②數(shù)值特征： θ的 范圍 θ＝0°

2、0°<θ°<90° θ＝90° 90°<θ <180° θ＝180° 續(xù)表 圖形 正負(fù) 正數(shù)|b| 正數(shù) 0 負(fù)數(shù) 負(fù)數(shù)－|b| (4)向量的數(shù)量積 定義 已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，把|a||b|cos θ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 幾何意義 a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cos θ的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cos θ的乘積 物理意義 力對物體做功，就是力F與其作用下物體的位移s的數(shù)量積 F·s 2.數(shù)量積的性質(zhì) (1)若e是單

3、位向量，則 e·a＝a·e＝|a|cos_θ． (2)若a⊥b，則a·b＝0；反之，若a·b＝0，則a⊥b.通常記作a⊥b?a·b＝0． (3)|a|＝． (4)cos θ＝(|a||b|≠0) (5)對任意兩個向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立． 3．?dāng)?shù)量積的運算律 若給定向量a，b，c和實數(shù)λ，則數(shù)量積滿足： (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． [問題思考] 1．向量b在a方向上的射影仍是一個向量，對嗎？ 提示：不對．向量b在a

4、方向上的射影不是向量而是數(shù)量，它的符號取決于兩向量夾角θ的取值范圍． 2．兩向量a與b的數(shù)量積是一個向量，對嗎？ 提示：不對．向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，其值可正，可負(fù)，可以為0. 講一講 1．已知向量a與b的夾角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求 (1)a·(－b)；(2)(a－2b)·(a＋b) [嘗試解答]　(1)∵向量a與b的夾角θ＝120°， ∴向量a與－b的夾角為180°－θ＝60°. ∴a·(－b)＝|a|·|b|·cos 60°＝4·2·＝4. (2)(a－2b)·(a＋b) ＝a2＋a·b－2b·a－2b2 ＝|a|2－a·b－2|b|

5、2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2 ＝42－4×2×cos 120°－2×22＝12. 1．求兩向量數(shù)量積的一般步驟是： (1)求向量a與b的夾角θ； (2)分別求|a|，|b|； (3)計算a·b＝|a||b|cos θ. 2．對于形如本講(2)的數(shù)量積運算，類似于多項式的乘法運算，但注意展開時兩向量的“積”為數(shù)量積，需用“·”連接，不能寫成ab或a×b. 練一練 1．[多維思考]　在本講的條件不變的情況下，求： (1)(a－b)2；(2)(a＋2b)·(a－3b)． 解：(1)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝|a|2－2|a|·|b|

6、cos 120°＋|b|2 ＝42－2×4×2×(－)＋22 ＝28. (2)(a＋2b)·(a－3b)＝a2－3a·b＋2b·a－6b2 ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a|·|b|×cos 120°－6|b|2 ＝42－4×2×(－)－6×22 ＝－4. 講一講 2．已知|a|＝|b|＝2， (1)若a·b＝2，試求a與b的夾角； (2)若a與b的夾角為150°，試求|a＋b|. [嘗試解答]　(1)設(shè)a與b的夾角為θ，則： cos θ＝＝＝. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b

7、2 ＝|a|2＋2|a|·|b|cos 150°＋|b|2 ＝22＋2×2×2×(－)＋22＝8－4. ∴|a＋b|＝＝－. 1．求向量的夾角主要是利用數(shù)量積的變形公式cos θ＝.求解時應(yīng)抓住兩個“積”考慮，一是數(shù)量積a·b，二是模的積|a||b|，同時注意向量夾角的取值范圍是[0，π]． 2．求向量的長度，關(guān)鍵是合理運用性質(zhì)|a|＝，以及數(shù)量積公式a·b＝|a|·|b|cos θ. 練一練 2. 已知a，b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角． ∵|a|＝|b|＝|a－b|. ∴△OAB是等邊三角形，設(shè)其邊長為m. 則a·(

8、a＋b)＝a2＋a·b ＝|a|2＋|a||b|cos 60° ＝m2＋m2＝m2. |a||a＋b|＝m ＝m ＝m ＝m ＝m2. 設(shè)a與a＋b的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝. ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝30°，即a與a＋b的夾角為30°. 講一講 3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，k為何值時，向量a＋kb與a－kb垂直？ [嘗試解答]　∵(a＋kb)⊥(a－kb)， ∴(a＋kb)·(a－kb)＝0， ∴a2－(kb)2＝0，即|a|2－k2|b|2＝0， 又|a|＝3，|b|＝4， ∴9－16k2＝0，得k＝±， ∴當(dāng)k＝±

9、時，向量a＋kb與a－kb垂直． 有關(guān)向量的垂直問題是向量數(shù)量積的重要應(yīng)用之一，解決該類問題主要運用性質(zhì)a⊥b?a·b＝0，同時注意運算時要正確把握向量數(shù)量積的運算律． 練一練 3．已知a，b是非零向量，且滿足(3a－b)⊥a，(4a－b)⊥b，則a與b的夾角是(　　) A.π　　　　　　　B.π C. D. 解析：選D　設(shè)a與b的夾角為θ，由題意得： ? ∴|a|＝，|b|＝2. ∴cos θ＝＝＝. ∵0≤θ≤π，∴θ＝. 設(shè)正三角形ABC的邊長為，＝b，求a·b＋b·c＋c·a. [錯解]　∵△ABC為正三角形，且邊長為.

10、 ∴a·b＋b·c＋c·a ＝|a|·|bcos 60°＋|b||c|cos 60°＋|c|·|a|cos 60° ＝3×()2×＝3. [錯因]　錯解在于未正確理解向量夾角的含義，向量a與b、b與c，c與a的起點均不同，所以它們夾角并非60°，應(yīng)是120°. [正解]　∵△ABC為正三角形，邊長為， ∴向量a與b，b與c，c與a的夾角均為120°. |a|＝|b|＝|c|＝， ∴a·b＋b·c＋c·a ＝3a·b＝3|a||b|cos 120° ＝3×()2×(－) ＝－3. 1．設(shè)向量a·b＝40，|b|＝10，a在b方向上的射影為(　　)

11、A．4　　　　　　　　　　　B．4 C．4 D．8＋ 解析：選A　∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴a在b方向上的射影． |a|cos θ＝＝＝4. 2．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝　　　(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．－8 B．－6 C．6 D．8 解析：選D　法一：因為a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)． 因為(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. 法二：因為(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b

12、2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8. 3．若e1，e2是夾角為的單位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，則a·b等于(　　) A．1 B．－4 C．－ D. 解析：選C　a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋4e1·e2－3e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos ＋2|e2|2 ＝－6＋＋2＝－. 4．(新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則＝________. 答案：2 5．(全國新課標(biāo))已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________

13、． 解析：依題意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10， 即|b|2－2|b|－6＝0， ∴|b|＝3(負(fù)值舍去)． 答案：3 6．已知|a|＝1，|b|＝，設(shè)a與b的夾角為θ. (1)若θ＝，求|a－b|； (2)若a與a＋b垂直，求θ. 解：(1)∵|a－b|2＝(a－b)2 ＝a2－2a·b＋b2 ＝|a|2－2|a||b|cos ＋|b|2 ＝1－2×＋2 ＝3－ ∴|a－b|＝. (2)若a與a＋b垂直，則 a·(a＋b)＝0， ∴a2＋a·b＝0， ∴a·b＝

14、－|a|2＝－1. ∴cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°. 一、選擇題 1．已知|b|＝3，a在b方向上的射影是，則a·b＝(　　) A．3　　　　　　　　　 　B. C．2 D. 解析：選B　設(shè)a，b的夾角為θ(0≤θ≤π) 依題意，|a|cos θ＝，而|b|＝3. ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 2．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝a2＋4a·b＋4

15、b2 ＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝1－4×＋4＝3， ∴|a＋2b|＝. 3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與向量b的夾角是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)向量a與向量b的夾角為θ(0≤θ≤π)， 由條件得a·b－a2＝2， 所以a·b＝2＋a2＝3＝|a||b|cos θ＝1×6×cos θ， 所以cos θ＝， 又因為0≤θ≤π， 所以θ＝. 4．若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：選D　∵a⊥c， ∴a·c＝0. ∵a∥b，

16、∴b⊥c. ∴b·c＝0， ∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0. 二、填空題 5．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，則|a＋b|＝________． 解析：由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2 得16＝1－2a·b＋9，2a·b＝－6 ∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4 |a＋b|＝2. 答案：2 6．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，且|2a＋b|＝，則向量a與a－2b的夾角為________． 解析：由|2a＋b|＝得，4|a2|＋4a·b＋|b|2＝10， ∴4·12＋4a·b＋22＝10， ∴a·b＝， ∴a·(a

17、－2b)＝|a|2－2a·b＝1－2×＝0. 故a⊥(a－2b)，即a與a－2b的夾角為90°. 答案：90° 7．已知e1，e2是夾角為的單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則k的值為________． 解析：∵a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e ＝k＋(1－2k)×1×1×cos －2 ＝2k－＝0， ∴k＝. 答案： 8．設(shè)a，b，c是三個任意的非零向量，且互不平行，以下四個命題： ①|(zhì)a|＋|b|>|a＋b|；②若a≠0，a·b＝0，則b＝0；③向量a，b滿足：a·b>0，則a與b的夾角為銳角；

18、④若a，b的夾角為θ，則|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影長．其中正確的命題是________(填序號) 解析：①正確，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊；②錯誤，由a≠0，a·b＝0可得b＝0或a⊥b；③錯誤，a·b>0時a與b可以同向；④錯誤，|b|cos θ表示b在a方向上的射影，不是長度，故正確的個數(shù)只有1個． 答案：① 三、解答題 9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a與b的夾角θ的范圍． 解：由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4得a·b≥6， ∴cos θ＝＝≥＝. 又θ∈[0，π]，∴θ∈. 10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有兩個不同時為零的實數(shù)k，t，使得a＋(t－3)b與－k a＋t b垂直，試求k的最小值． 解：∵a⊥b，∴a·b＝0， 又由已知得[a＋(t－3)b]·[－k a＋t b]＝0， ∴－k a2＋t(t－3)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1， ∴－4k＋t(t－3)＝0. ∴k＝(t2－3t) ＝(t－)2－(t≠0)． 故當(dāng)t＝時，k取最小值－.