精編高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;4 第1課時 平面向量的坐標表示 平面向量線性運算的坐標表示 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 第1課時　平面向量的坐標表示　平面向量線性運算的坐標表示 [核心必知] 1．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，如圖，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，a為坐標平面內(nèi)的任意向量，以坐標原點O為起點作＝a.由平面向量基本定理可知 ，有且只有一對實數(shù)x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.把實數(shù)對(x，y)叫作向量a的坐標，記作a＝(x，y)． 2．平面向量線性運算的坐標表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 運算 坐標表示 語言敘述 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

2、 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和 減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差 數(shù)乘 λa＝(λx1，λy1) 實數(shù)與向量積的坐標分別等于實數(shù)與向量的相應坐標的乘積 3．向量的坐標表示 設定點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， 即：一個向量的坐標等于其終點的相應坐標減去始點的相應坐標． [問題思考] 1．相等向量的坐標相同，對嗎？ 提示：正確．相等向量經(jīng)過平移可以具有共同的始點O(O為坐標原點)，這時其終點相同，而終點的坐標即是這些向量的坐標，所以正確． 2．向量的坐標與點

3、的坐標有何區(qū)別？ 提示：平面向量的坐標與該向量的始點、終點的坐標都有關(guān)，它的坐標等于終點坐標減去始點坐標，只有始點在原點時，向量的坐標才與終點坐標相等．當實數(shù)對(x，y)表示點時可記為P(x，y)，表示向量時可記為a＝(x，y)． 3．若i，j分別是與x軸，y軸同方向的單位向量，則i，j的坐標分別是什么？ 提示：根據(jù)平面向量的坐標定義，i＝(1，0)，j＝(0，1)． 講一講 1．如圖所示，試分別用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標． [嘗試解答]　由圖可知， a＝＝2i＋3j，∴a＝(2,3)， 同理，b＝－2i＋3j，b＝(－2,3)．

4、c＝－3i＋0j，c＝(－3,0)． d＝－3i－2j，d＝(－3，－2)． 1．求向量的坐標的一般方法： (1)利用平行四邊形(或三角形)法則，將向量用基底i，j(i，j分別是與x，y軸同方向的單位向量)表示，然后確定其坐標． 　(2)求起點和終點的坐標，并用終點的坐標減去起點的相應坐標． 2．向量的坐標表示是給出向量的又一種形式，它的坐標只與始點、終點的相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個，都可以求出第三個． 練一練 1．已知O是坐標原點，點A，B在第一象限，＝4，∠xOA＝∠yOB＝30°，求向量的坐標． 解： 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1

5、＝y(tǒng)2＝||cos 30°＝6， y1＝x2＝||sin 30°＝2. ∴A(6,2)，B(2，6)． ∴＝(6,2)， ＝(2，6)－(6,2)＝(－6＋2，6－2)． 講一講 2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a， (1)求3a＋b－3c的坐標； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標及向量的坐標． [嘗試解答]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2

6、)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 1．向量線性運算的坐標表示實際上是相應坐標的加、減、乘、除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵． 2．用坐標表示的向量，線性運算后的結(jié)果仍用坐標表示． 3．解題過程中要注意方程思想的運用． 練一練 2．(1)已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)， 求：①3a＋4b；②a－3b；③a－b. (2)已知點A、B、C的坐標分別為A(2，－4)、B(0,6)、C(－8，10)，求向量的坐標； 解：(1)①3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)． ②a

7、－3b＝(2，1)－3(－3，4) ＝(2，1)－(－9，12)＝(11，－11)． ③a－b＝(2，1)－(－3，4) ＝－＝. (2)由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， ＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14) ＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7) ＝(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)． 講一講 3. 如圖所示，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，試求頂點D的坐標． [嘗試解答]　法一：(待定系數(shù)法) 設頂點D的坐標為(x，y)． ∵＝(－1,3

8、)－(－2,1)＝(1,2)， ＝(3－x,4－y)． 由，得(1,2)＝(3－x,4－y)． ∴　∴ ∴頂點D的坐標為(2,2)． 法二： (直接法) 如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知 ＝(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1，3) ＝(－1，－2)＋(4,1) ＝(3，－1)． 而 ＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴頂點D的坐標為(2,2)． 有了向量的坐標表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．向量用坐標表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．借助于向量的坐標表示，向量的線性運算可轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算，其中正確分清向量的坐標與點的坐標

9、的區(qū)別和聯(lián)系是關(guān)鍵，同時還應熟練掌握用坐標表示的向量的運算法則． 練一練 3．[多維思考]　若把本題條件改為“已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4，3)，B(3，－1)，C(1，－2)”，所求問題不變，結(jié)果如何？ 解： 設點D坐標為(x，y) ①若平行四邊形四個頂點的順序為ABCD， 得解得 故頂點D的坐標為(2,2)． ②若平行四邊形四個頂點的順序為ACBD， 解得 故頂點D的坐標為(6,4)． ③若平行四邊形四個頂點的順序為ABDC， 解得 故頂點D的坐標為(0，－6)． 綜上，頂點D的坐標是(2,2)，(6,4)或(0，－6).

10、 已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若 (λ∈R)，試求當點P在第三象限時λ的取值范圍． [錯解]　由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又點P在第三象限，∴∴λ<－，故λ的取值范圍為(－∞，－)． [錯因]　錯解中誤把向量的坐標當作P點的坐標，實質(zhì)是對向量的坐標表示的概念理解不清，只有當向量的始點是坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標． [正解]　由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3) ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 設點P(x，y)，則＝(x－2，y－3)，

11、于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 即 又點P在第三象限，所以解得λ<－1. 所以λ的取值范圍為(－∞，－1). 1．對坐標平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論： ①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點是原點O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3

12、 D．4 解析：選A　由平面向量基本定理可知，①正確；由于a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的始點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的始點是原點為前提的，故④錯誤． 2．設a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可將c表示為c＝pa＋qb，則實數(shù)p、q的值為(　　) A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝4 C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝－4 解析：選B　∵c＝pa＋qb＝(－p，2p)＋(q，－q) ＝(q－p，2p－q)＝(3，－

13、2)， ∴q－p＝3且2p－q＝－2，解得：p＝1，q＝4. 3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，，則點P的坐標為(　　) A．(－8,1) B．(－1，－) C．(1，) D．(8，－1) 解析：選B　設P(x，y)，由得， (x，y)－(3，－2)＝[(－5，－1)－(3，－2)] 即(x－3，y＋2)＝(－4，)， ∴∴x＝－1，y＝－，故P(－1，－)． 4．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d＝________． 解析：由題意知，4a＋(4b－2

14、c)＋2(a－c)＋d＝0. ∴d＝－6a－4b＋4c ＝(－6，18)－(－8，16)＋(－4，－8)＝(－2，－6)． 答案： (－2，－6) 5．若向量＝(1，y)，a＝(x，y)，則向量a＝________. 解析：∵＝0 即(4＋x,8＋b)＝0，∴x＝－4，y＝－8. 則a＝(－4，－8)． 答案：(－4，－8) 6．已知點A(3，－4)與點B(－1,2)，點P在直線AB上，且，求點P的坐標． 解：由知 . 設P點的坐標為(x，y)． 當時，得(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P坐標為(，0)． 當時，得(x－3，y＋4)＝

15、－2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P點坐標為(－5,8)． 綜上可知，P點坐標為(，0)或(－5,8)． 一、選擇題 1．(廣東高考)若向量＝(　　) A．(－2，－4) B．(3，4) C．(6，10) D．(－6，－10) 解析：選A?。?2,3)－(4,7)＝(－2，－4)． 2．已知＝(0,3)，把向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到向量，則向量等于(　　) A．(－2,1)　　B．(0，－1) C．(3,4) D．(3,1) 解析：選B　依題意，，設C(x，y)，則： (0,3)－(0,1)＝－(x，y－1)，即(－x，－y＋1)＝

16、(0,2)． ∴∴x＝0，y＝－1，故＝(0，－1)． 3．已知A(5,7)，B(2,3)，將的起點移到原點，則平移后向量的坐標為(　　) A．(－3，－4) B．(－4，－3) C．(1，－3) D．(－3,1) 解析：選A?。?2,3)－(5,7)＝(－3，－4)， ∵將平移后所得向量與AB―→相等， ∴平移后的坐標仍為(－3，－4)． 4．已知點A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)．若＝，則x＋y等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D?。?1－x，－1)，＝(－1,1－y)， ∵＝，即(1－x，－1)＝(－1,1－y)

17、， ∴∴故x＋y＝4. 二、填空題 5．已知i，j是分別與x軸，y軸同方向的單位向量，若＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，則點A位于第________象限． 解析：可知點A的坐標為(x2＋x＋1，－x2＋x－1)． ∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，－x2＋x－1＝－(x－)2－<0. ∴點A位于第四象限． 答案：四 6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，＝ma＋nb，＝a－2b，若＝－2，則m＝________，n＝________. 解析：＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)； ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．

18、 ∵＝－2，即(2m－n,3m＋2n)＝(－8,2)． ∴解得 答案：－2　4 7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，則a＝______， b＝________． 解析：聯(lián)立 ①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8) ∴a＝(－3，4)， 而b＝(2，－8)－a＝(2，－8)－(－3，4) ＝(2＋3，－8－4)＝(5，－12)． ∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12)． 答案：(－3，4)　(5，－12) 8．在△ABC中，點P在BC上，且，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝________. 解析：∵Q是AC的中點，∴， ＝(－

19、6,21)． 答案：(－6,21) 三、解答題 9．已知點A(0,2)，B(2,4)及，求點C，D和的坐標． 設C(x1，y1)，D(x2，y2) ， ∴ 得 ∴C，D的坐標分別為(1,3)，(6,8) ＝(6,8)－(1,3)＝(5,5)． 10．在平行四邊形ABCD中，點A(1,1)，＝(6,0)． (1)若＝(3,5)，求點C的坐標； (2)若AC與BD交于一點M(2,2)，求點D的坐標． 解：(1)設點C的坐標為(x0，y0)， 則＝(x0－1，y0－1)． ∵＝＋＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x0－1，y0－1)＝(9,5)， ∴ ∴x0＝10，y0＝6，即點C(10,6)． (2)設D(x，y)，則＝(x－1，y－1)， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， M為BD的中點， ∴＋＝2，又＝(1,1)， 即(x＋5，y－1)＝(2,2)． ∴x＝－3，y＝3. 故D的坐標為(－3,1)．