2016年高考數(shù)學（理科）真題分類匯編N單元選修4系列

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1、 數(shù) 學 N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 21．A.N1[2016·江蘇卷] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-7，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點，求證：∠EDC＝∠ABD. 圖1-7 21．A.證明：在△ADB和△ABC中， 因為∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A為公共角， 所以△ADB∽△ABC，于是∠ABD＝∠C. 在Rt△BDC中，因為E是BC的中點， 所以ED＝EC，從而∠EDC＝∠C， 所以∠EDC＝∠ABD. 22．N1[2016·全國卷Ⅰ] 選修4-1：幾何證明選講

2、 如圖1-6所示，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓． (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD. 圖1-6 22．證明：(1)設(shè)E是AB的中點，連接OE. 因為OA＝OB，∠AOB＝120°， 所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60°. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)因為OA＝2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設(shè)O′是A，B，C，D四點所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上

3、，又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB. 同理可證，OO′⊥CD，所以AB∥CD. 22．N1[2016·全國卷Ⅲ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-6，⊙O中AB的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點． (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大?。? (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明：OG⊥CD. 圖1-6 22．解：(1)連接PB，BC，則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因為AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°

4、，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°. (2)證明：因為∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F(xiàn)，E四點共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上，又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD. 22．N1[2016·全國卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-5，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點重合)，且DE＝DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F. (1)證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓； (2)若AB＝1，E為D

5、A的中點，求四邊形BCGF的面積． 圖1-5 22．解：(1)證明：因為DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，則有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， ＝＝， 所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF， 因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F(xiàn)四點共圓． (2)由B，C，G，F(xiàn)四點共圓，CG⊥CB知FG⊥FB，連接GB. 由G為Rt△DFC斜邊CD的中點，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝. N2 選修4-2 矩陣 21．B．N2[2

6、016·江蘇卷] 選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣A＝，矩陣B的逆矩陣B－1＝，求矩陣AB. 21．B．解：設(shè)B＝，則B－1B＝ ＝， 即＝， 故解得所以B＝. 因此，AB＝＝. N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 16．N3[2016·上海卷] 下列極坐標方程中，對應(yīng)的曲線為圖1-3的是(　　) 圖1-3 A．ρ＝6＋5cos θ B．ρ＝6＋5sin θ C．ρ＝6－5cos θ D．ρ＝6－5sin θ 16．D　[解析] 依次取θ＝0，，π，，結(jié)合圖形可知只有ρ＝6－5sin θ滿足題意． 11．N3[2016·北京卷]

7、在極坐標系中，直線ρcos θ－ρsin θ－1＝0與圓ρ＝2cos θ交于A，B兩點，則|AB|＝________． 11．2　[解析] 將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程進行運算．由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得直線的直角坐標方程為x－y－1＝0，因為ρ＝2cos θ，ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ，所以圓的直角坐標方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圓心(1，0)在直線上，因此AB為圓的直徑，所以|AB|＝2. 21．C．N3[2016·江蘇卷] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參

8、數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 21．C．解：橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得1＋t2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－. 所以AB＝|t1－t2|＝. 23．N3[2016·全國卷Ⅰ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝

9、2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 23．解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知得tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上， 所以a＝1

10、. 23．N3[2016·全國卷Ⅲ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsinθ＋＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． 23．解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(cos α，sin α)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝＝， 當且僅當α

11、＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為(，). 23．N3[2016·全國卷Ⅱ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 23．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ

12、2，將l的極坐標方程代入圓C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11， 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，則tan α＝±， 所以l的斜率為或－. N4 選修4-5 不等式選講 21．D．N4[2016·江蘇卷] 選修4-5：不等式選講 設(shè)a>0，|x－1|<，|y－2|<，求證：|2x＋y－4|

13、Ⅰ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在圖1-7中畫出y＝f(x)的圖像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集． 圖1-7 24．解：(1)f(x)＝ 則y＝f(x)的圖像如圖所示． (2)由f(x)的表達式及圖像得，當f(x)＝1時，x＝1或x＝3； 當f(x)＝－1時，x＝或x＝5. 故f(x)>1的解集為{x|11的解集為{x或15}. 24．N4[2016·全國卷Ⅲ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當

14、a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 24．解：(1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a， 當x＝時等號成立， 所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.① 當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解． 當a>1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2.

15、 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 24．N4[2016·全國卷Ⅱ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|. 24．解：(1)f(x)＝ 當x≤－時，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1； 當－＜x＜時，f(x)＜2； 當x≥時，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0， 因此|a＋b|＜|1＋ab|. N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設(shè)計