從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法下

《從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法下》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法下（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、經(jīng)典算法研究系列：十、從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、下 作者：July、dznlong 二零一一年二月二十二日 推薦閱讀： The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing ， By Steven W. Smith, Ph.D 。此書(shū)地址： 。 從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立葉變換的由來(lái) 第二章、實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換( Real DFT) 從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、下 第三章、復(fù)數(shù) 第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 前期回顧，在上一篇： 十、從

2、頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、上 里，我們講了傅立葉變 換的由來(lái)、和實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換( Real DFT )倆個(gè)問(wèn)題， 本文接上文，著重講下復(fù)數(shù)、和復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換等倆個(gè)問(wèn)題。 第三章、復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)擴(kuò)展了我們一般所能理解的數(shù)的概念， 復(fù)數(shù)包含了實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，利用復(fù)數(shù)的形式 可以把由兩個(gè)變量表示的表達(dá)式變成由一個(gè)變量 (復(fù)變量)來(lái)表達(dá)，使得處理起來(lái)更加自然和 方便。 我們知道傅立葉變換的結(jié)果是由兩部分組成的， 使用復(fù)數(shù)形式可以縮短變換表達(dá)式， 使得我 們可以單獨(dú)處理一個(gè)變量(這個(gè)在后面的描述中我們就可以更加確切地知道) ，而且快速傅 立葉變換正是基于復(fù)數(shù)形式的，所

3、以幾乎所有描述的傅立葉變換形式都是復(fù)數(shù)的形式。 但是復(fù)數(shù)的概念超過(guò)了我們?nèi)粘Ｉ钪兴芾斫獾母拍睿?要理解復(fù)數(shù)是較難的，所以我們?cè)? 理解復(fù)數(shù)傅立葉變換之前，先來(lái)專(zhuān)門(mén)復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)，這對(duì)后面的理解非常重要。 一、復(fù)數(shù)的提出 在此，先讓我們看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)： 把一個(gè)球從某點(diǎn)向上拋出， 然后根據(jù)初速度和時(shí)間來(lái)計(jì)算 球所在高度，這個(gè)方法可以根據(jù)下面的式子計(jì)算得出： ] -2 h = —— + rf 其中h表示高度，g表示重力加速度(9.8m/s2) , v表示初速度，t表示時(shí)間?，F(xiàn)在反過(guò)來(lái)， 假如知道了高度，要求計(jì)算到這個(gè)高度所需要的時(shí)間，這時(shí)我們又可以通過(guò)下式來(lái)計(jì)算： z =

4、 1 士丫1 ■ ”49 (多謝JERRY_PRI提出： 1、 根據(jù)公式h=-(gt2/2)+Vt (gt后面的2表示t的平方)，我們可以討論最終情況，也就是 說(shuō)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)， v=gt，所以，可以得到t=sqt(2h/g) 且在您給的公式中，根號(hào)下為 1-(2h)/g，化成分?jǐn)?shù)形式為(g-2h)/g，g和h不能直接做加減 運(yùn)算。 2、 g是重力加速度，單位是 m/s2， h的單位是m ,他們兩個(gè)相減的話(huà)在物理上沒(méi)有意義， 而且使用您給的那個(gè)公式反向回去的話(huà)推出的是 h=-(gt2/2)+gt啊(gt后面的2表示t的平 方)。 3、 直接推到可以得出 t=v/g ±qt

5、((v2-2hg)/g2) ( v和g后面的2都表示平方)，那么也就是 說(shuō)當(dāng)v2<2hg時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)數(shù)，但是如果從實(shí)際的 v2是不可能小于2hg的，所以我感覺(jué)復(fù)數(shù) 不能從實(shí)際出發(fā)去推到，只能從抽象的角度說(shuō)明一下。 ) 經(jīng)過(guò)計(jì)算我們可以知道，當(dāng)高度是 3米時(shí)，有兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)到達(dá)該高度：球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí) 間是0.38秒，球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是 1.62秒。但是如果高度等于10時(shí)，結(jié)果又是什么呢？ 根據(jù)上面的式子可以發(fā)現(xiàn)存在對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，我們知道這肯定是不現(xiàn)實(shí)的。 第一次使用這個(gè)不一般的式子的人是意大利數(shù)學(xué)家 GirolamoCardano ( 1501-1576 )，兩個(gè) 世紀(jì)后，德

6、國(guó)偉大數(shù)學(xué)家 Carl Friedrich Gause ( 1777-1855 )提出了復(fù)數(shù)的概念，為后來(lái) 的應(yīng)用鋪平了道路，他對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行這樣表示：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)( real)和虛數(shù)(imaginary)兩部分 組成，虛數(shù)中的根號(hào)負(fù) 1用i來(lái)表示(在這里我們用 j來(lái)表示，因?yàn)閕在電力學(xué)中表示電流 的意思)。 我們可以把橫坐標(biāo)表示成實(shí)數(shù), 來(lái)表示，如下圖： 縱坐標(biāo)表示成虛數(shù)，則坐標(biāo)中的每個(gè)點(diǎn)的向量就可以用復(fù)數(shù) 上圖中的ABC三個(gè)向量可以表示成如下的式子: A = 2 + 6j B = -4 T.5j C = 3 -7j 這樣子來(lái)表達(dá)方便之處在于運(yùn)用一個(gè)符號(hào)就能把兩個(gè)原來(lái)難

7、以聯(lián)系起來(lái)的數(shù)組合起來(lái)了， 不 方便的是我們要分辨哪個(gè)是實(shí)數(shù)和哪個(gè)是虛數(shù)， 我們一般是用Re()和Im()來(lái)表示實(shí)數(shù)和虛 數(shù)兩部分，如： Re A = 2 Im A = 6 Re B = -4 Im B = -1.5 Re C = 3 Im C = -7 復(fù)數(shù)之間也可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算： （e十幻）十（c十砒）=（c十c） + j（b - (a + Ay)—(廠 + 力)=(r - c) * j(b - d) (￡7 + bj) (r + c7> ) = (ac 一 bd) + J (be 亠 ad } (「-

8、 itc - b d c~ cl - 這里有個(gè)特殊的地方是 j2等于-1 ,上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分母同時(shí)乘以 c - dj,這樣就可消去分母中的 j 了。 復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律: A B = B A (A + B) + C = A + (B + C) A(B + C) = AB + AC 、復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式 !>-7u 己一.=汕壬■二 2-^6/ or M = %/? 0= 上圖中的M即是數(shù)量積(magnitude)，表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離, 0 是相位角(phase angle), 表示從X軸正方向到某個(gè)向量

9、的夾角，下面四個(gè)式子是計(jì)算方法: M 二 dcKfi? A” + A)2 arcun Im A -Re A . Re A = M cos(O) Jrn A 二 M sin(6) 我們還可以通過(guò)下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換: a + jb = M (cos 0 + j sin 0) 上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式，右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。 還有一個(gè)更為重要的等式 歐拉等式(歐拉，瑞士的著名數(shù)學(xué)家, Leon hard Euler , 1707-1783 ): ejx = cos x + j sin x 這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中

10、得到證明: 上面中右邊的兩個(gè)式子分別是 cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)。 這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了： a + jb = M ej 0這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式) 指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱， 也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極 為簡(jiǎn)單的緣故吧： 三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具 為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已，就如釘子和錘子的關(guān)系，復(fù)數(shù)就象那錘子， 作為一種使用的工具。 我們把要解決的問(wèn)題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式 (因?yàn)橛行﹩?wèn)題用復(fù)數(shù)的形式 進(jìn)行運(yùn)算更加方便)，然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)得到我們所

11、需要的結(jié)果。 有兩種方法使用復(fù)數(shù)，一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換，如前面所說(shuō)的向量表達(dá)式方法和前一 節(jié)中我們所討論的實(shí)域 DFT，另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià)(mathematical equivale nee)， 復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法， 但在這里我們先不討論這種方法， 這里我 們先來(lái)看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換中的問(wèn)題。 用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是： 把所要分析的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式， 其中只是簡(jiǎn)單地 添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào)j，當(dāng)返回到原來(lái)的物理問(wèn)題時(shí)，則只是把符號(hào) j去掉就可以了。 有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問(wèn)題都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用，

12、 有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來(lái)替換原來(lái)問(wèn)題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋(píng)果是 5 美元，一箱的桔子是 10美元，于是我們把它表示成 5 + 10j，有一個(gè)星期你買(mǎi)了 6箱蘋(píng)果 和2箱桔子，我們又把它表示成 6 + 2j，最后計(jì)算總共花的錢(qián)是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j ， 結(jié)果是買(mǎi)蘋(píng)果花了 10美元的，買(mǎi)桔子花了 70美元，這樣的結(jié)果明顯是錯(cuò)了，所以復(fù)數(shù)的 形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問(wèn)題的解決。 四、用復(fù)數(shù)來(lái)表示正余弦函數(shù)表達(dá)式 對(duì)于象M cos ( 31 + 和) A cos( 31 ) + B sin( 表達(dá)式，用復(fù)數(shù)來(lái)表示，可以變得非常簡(jiǎn)潔， 對(duì)于直

13、角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： A cos (wr) + 5siiLiwr) 匚 口 + jb convention at (conpUx 秤認(rèn) 上式中余弦幅值 A經(jīng)變換生成a,正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成 b: A <=> a，B<=> -b， 但要注意的是，這不是個(gè)等式，只是個(gè)替換形式而已。 對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： M cos(cjf + <|>) 尹 A/f?；e repj es&^aTTOK) comp?ex 上式中，M <=> M , 0 <=>? 這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致， 對(duì)于這種替換 的方法來(lái)表示正

14、余弦，符號(hào)的變換沒(méi)有什么好處，但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更高級(jí)的 等價(jià)變換保持形式上的一致。 在離散信號(hào)處理中，運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù)， 這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行 各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來(lái)的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的，但是，我們要小心使用復(fù)數(shù)操作， 如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個(gè)正弦信號(hào)相加，采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相加， 得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的， 但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則采用復(fù)數(shù) 形式來(lái)相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是，我們已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作條件： 1、 參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的； 2、 運(yùn)算操作必須是線性的

15、，如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減，但不能進(jìn)行乘除，象信號(hào)的 放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、取限等則不是線性的。要記住 的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。 下圖是一個(gè)相量變換(我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱(chēng)為相量變換， Phasor tran sform) 的例子，一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過(guò)一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波， 從計(jì)算過(guò)程我們可以看 出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔： Input signal Output sigiu Linear System 3_ A 一 A.- A _

16、 \ J Q J A- \ f \/ f VT \ -7 —Vi -3 _ 3 cos (血-兀 4) Of 1.5cos(wr-江潔 1.3858cQ^wf) - 0374 2 J213cost(ji)/) - 2J2135in(G)/) 2.1213-/2.1213 0.5^RS or 0.1913 - / 0.4619 1.3858 -/0.574( 在第二章中我們描述的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換也是一種替換形式的復(fù)數(shù)變換， 但要注

17、意的是那 還不是復(fù)數(shù)傅立葉變換，只是一種代替方式而已。下一章、即，第四章，我們就會(huì)知道復(fù)數(shù) 傅立葉變換是一種更高級(jí)的變換，而不是這種簡(jiǎn)單的替換形式。 第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法， 使得傅立葉變換變換更加自然和 簡(jiǎn)潔，它并不是只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用替換的方法來(lái)運(yùn)用復(fù)數(shù)， 而是完全從復(fù)數(shù)的角度來(lái)分析問(wèn)題, 這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。 、把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式 通過(guò)歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式: cos( x ) = 1/2 e j(-x) + 1/2 ejx sin( x ) = j (1/2 e j(-x) -

18、 1/2 ejx) 從這個(gè)等式可以看出， 如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后， 它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余 弦波，相反地，一個(gè)由正負(fù)頻率組成的正余弦波，可以通過(guò)復(fù)數(shù)的形式來(lái)表示。 我們知道，在實(shí)數(shù)傅立葉變換中，它的頻譜是 0 ~ n （0 ~ N/2）,但無(wú)法表示-n ~ 0的頻譜，可 以預(yù)見(jiàn)，如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式，則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來(lái)。 二、把變換前后的變量都看成復(fù)數(shù)的形式 復(fù)數(shù)形式傅立葉變換把原始信號(hào) x[n]當(dāng)成是一個(gè)用復(fù)數(shù)來(lái)表示的信號(hào)， 其中實(shí)數(shù)部分表示原 始信號(hào)值，虛數(shù)部分為 0,變換結(jié)果X[k]也是個(gè)復(fù)數(shù)的形式，但這里的虛數(shù)部分是有值的。 在這里要用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)

19、來(lái)看原始信號(hào)， 是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵 （如果有學(xué)過(guò)復(fù)變 函數(shù)則可能更好理解， 即把x[n]看成是一個(gè)復(fù)數(shù)變量， 然后象對(duì)待實(shí)數(shù)那樣對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)變量 進(jìn)行相同的變換）。 三、對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法（正向傅立葉變換） 從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道， 我們可以通過(guò)原始信號(hào)乘以一個(gè)正交函數(shù)形式的信號(hào)， 然后 進(jìn)行求總和，最后就能得到這個(gè)原始信號(hào)所包含的正交函數(shù)信號(hào)的分量。 現(xiàn)在我們的原始信號(hào)變成了復(fù)數(shù)， 我們要得到的當(dāng)然是復(fù)數(shù)的信號(hào)分量， 我們是不是可以把 它乘以一個(gè)復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的， 正余弦函數(shù)都是正交函數(shù)， 變成如下形 式的復(fù)數(shù)后，仍舊還是正交函數(shù)（這個(gè)從正交函

20、數(shù)的定義可以很容易得到證明）： cos x + j sin x, cos x -j sin x , 這里我們采用上面的第二個(gè)式子進(jìn)行相關(guān)性求和，為什么用第二個(gè)式子呢 ？，我們?cè)诤竺鏁?huì) 知道，正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù)， 這里我們?cè)偌由弦粋€(gè)負(fù)號(hào)， 使得最 后的得到的是正的正弦波，根據(jù)這個(gè)于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的 DFT正向變 換等式： N-1 cos (20 kn /N) - j sin(2n kn fN) 這個(gè)式子很容易可以得到歐拉變換式子: X[k]二丄Y電上吋曲 N ?=o 其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式， 在解決問(wèn)題時(shí)我們還

21、是較多地用到正余弦 表達(dá)式。 對(duì)于上面的等式，我們要清楚如下幾個(gè)方面（也是區(qū)別于實(shí)數(shù) DFT的地方）： 1、 X[k]、x[n]都是復(fù)數(shù)，但x[n]的虛數(shù)部分都是由0組成的，實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)； 2、 k的取值范圍是0 ~ N-1 （也可以表達(dá)成 0 ~ 2 n,）其中0 ~ N/2 （或0 ~ n是正頻部分， N/2 ~ N-1 （ n ~ 2 n是負(fù)頻部分，由于正余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，所以我們把 -n ~ 表示成n 2n）這是出于計(jì)算上方便的考慮。 3、 其中的j是一個(gè)不可分離的組成部分，就象一個(gè)等式中的變量一樣，不能隨便去掉，去 掉之后意義就完全不一樣了，但我們知道在實(shí)數(shù)

22、DFT中，j只是個(gè)符號(hào)而已，把j去掉，整 個(gè)等式的意義不變； 4、 下圖是個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻譜， 但離散頻譜也是與此類(lèi)似的， 所以不影響我們對(duì)問(wèn)題的分析： Re X[ Im XI -0 5 -0 4 -0 5 -Q.2 -0J 0 0 1 0,2 0 5 0.4 0.5 Fiequency x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N)) 上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí) 現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。 從上圖可以看出，時(shí)域中的正余弦波(用

23、來(lái)組成原始信號(hào)的正余弦波)在復(fù)數(shù) DFT的頻譜 中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分， 基于此等式中前面的比例系數(shù)是 1/N (或1/2 n), 而不是2/N，這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了 2n 但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了 2/N,又還 原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。 由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組 合而成的，所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的， 都是1/N，相對(duì)實(shí)數(shù)DFT，兩端帶寬比其 它點(diǎn)的帶寬少了一半； 復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 ~ 0與N/2 ~ N-1是一樣的， 實(shí)域頻譜呈偶對(duì)稱(chēng)性

24、(表示余弦波頻譜)，虛域頻譜呈奇對(duì)稱(chēng)性(表示正弦波頻譜)。 四、逆向傅立葉變換 假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜 X[k],現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號(hào) x[n],當(dāng) 然應(yīng)該是把X[k]乘以一個(gè)復(fù)數(shù)，然后再進(jìn)行求和，最后得到原始信號(hào) x[n],這個(gè)跟X[k]相乘 的復(fù)數(shù)首先讓我們想到的應(yīng)該是上面進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算的復(fù)數(shù)： cos(2 n kn/N) -si(2 n kn/N) 但其中的負(fù)號(hào)其實(shí)是為了使得進(jìn)行逆向傅立葉變換時(shí)把正弦函數(shù)變?yōu)檎姆?hào)，因?yàn)樘摂?shù) j 的運(yùn)算特殊性，使得原來(lái)應(yīng)該是正的正弦函數(shù)變?yōu)榱素?fù)的正弦函數(shù) (我們從后面的推導(dǎo)會(huì)看 到這一點(diǎn))，所以這里的負(fù)號(hào)只是為了

25、糾正符號(hào)的作用，在進(jìn)行逆向 DFT時(shí)，我們可以把 負(fù)號(hào)去掉，于是我們便得到了這樣的 逆向DFT變換等式： x[n] = X[k] (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N)) 我們現(xiàn)在來(lái)分析這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)式其實(shí)跟實(shí)數(shù)傅立葉變換是可以得到一樣結(jié)果的。 我 們先把X[k]變換一下： X[k] = Re X[k] + j Im X[k] 這樣我們就可以對(duì) x[n]再次進(jìn)行變換，如： =(Re X[k] cos(2 n kn/N) + j Im X[k] cos(2 n kn/N) +j Re X[k] sin(2 - Im X[k]n/N) sin(2 n

26、 kn/N)) =(Re X[k] (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N+ (1) Im X[k] ( - sin(2 n kn/N) + j cos(2 n k)N)) (2) 這時(shí)我們就把原來(lái)的等式分成了兩個(gè)部分， 第一個(gè)部分是跟實(shí)域中的頻譜相乘， 第二個(gè)部分 是跟虛域中的頻譜相乘，根據(jù)頻譜圖我們可以知道， Re X[k]是個(gè)偶對(duì)稱(chēng)的變量，Im X[k]是 個(gè)奇對(duì)稱(chēng)的變量，即 Re X[k] = Re X[- k] Im X[k] = - Im X[-k] 但k的范圍是0 ~ N-1，0~N/2表示正頻率，N/2~N-1表示負(fù)頻率，為了表達(dá)方便我們

27、把 N/2~N-1用-k來(lái)表示，這樣在從0到N-1的求和過(guò)程中對(duì)于 ⑴和⑵式分別有N/2對(duì)的k和 -k的和，對(duì)于(1)式有： Re X[k] (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N))X[- k] (cos( - 2 n kn/N) + j sin( -2 n kn/N)) 根據(jù)偶對(duì)稱(chēng)性和三角函數(shù)的性質(zhì)，把上式化簡(jiǎn)得到： Re X[k] (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N)) + Re X[ k] (cos( 2 - j sin(<2/N) n kn/N)) 這個(gè)式子最后的結(jié)果是： 2 Re X[ k] cos(2 n kn/N)

28、 再考慮到求Re X[ k]等式中有個(gè)比例系數(shù) 1/N，把1/N乘以2 ,這樣的結(jié)果不就是跟實(shí)數(shù) DFT 中的式子一樣了嗎？ 對(duì)于(2)式，用同樣的方法，我們也可以得到這樣的結(jié)果： -2 Im X[k] sin(2 n kn/N) 注意上式前面多了個(gè)負(fù)符號(hào)，這是由于虛數(shù)變換的特殊性造成的， 當(dāng)然我們肯定不能把負(fù)符 號(hào)的正弦函數(shù)跟余弦來(lái)相加，還好，我們前面是用 cos(2 n kn/N) -sin(2 n kn/N進(jìn)行相關(guān)性 x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2 n kn/N) + j sin(2 n kn/N)) 計(jì)算，得到的Im X[k]中有個(gè)負(fù)的符號(hào)，這樣最后的結(jié)果中正弦函數(shù)就沒(méi)有負(fù)的符號(hào)了，這 就是為什么在進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算時(shí)虛數(shù)部分要用到負(fù)符號(hào)的原因（我覺(jué)得這也許是復(fù)數(shù)形式 DFT美中不足的地方，讓人有一種拼湊的感覺(jué)）。 從上面的分析中可以看出， 實(shí)數(shù)傅立葉變換跟復(fù)數(shù)傅立葉變換， 在進(jìn)行逆變換時(shí)得到的結(jié)果 是一樣的，只不過(guò)是殊途同歸吧。本文完。（ July、dznlong） 本人July對(duì)本博客所有任何文章、內(nèi)容和資料享有版權(quán)。 轉(zhuǎn)載務(wù)必注明作者本人及出處，并通知本人。二零一一年二月二十二日。