三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項版解析—— 專題10 立體幾何（選擇填空）

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項版解析 第十章 立體幾何 一、選擇題 1. 【2014高考北京理第8題】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQ的體積(　　) A．與x，y，z都有關(guān) B．與x有關(guān)，與y，z無關(guān) C．與y有關(guān)，與x，z無關(guān) D．與z有關(guān)，與x，y無關(guān) 【答案】D 考點：點到面的距離;錐體的體積. 【名師點睛】本題考查空間下幾何體中相應(yīng)點的坐標(biāo)以及四面體的體積，點到面的距離，

2、本題屬于基礎(chǔ)題，要準(zhǔn)確確定三角形的底和高，利用錐體的體積求出多面體的體積. 2.【2014高考北京理第7題】在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】 試題分析：三棱錐在平面上的投影為，所以， 設(shè)在平面、平面上的投影分別為、，則在平面、上的投影分別為、，因為，，所以， 故選D. 考點：三棱錐的性質(zhì)，空間中的投影，難度中等. 【名師點睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系下幾何體的位置和相應(yīng)點的坐標(biāo)以及正投影的概念，正

3、投影的位置、形狀和面積，本題屬于基礎(chǔ)題，要準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求出三角形的面積. 3. 【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和 故選A． 考點：三視圖及球的表面積與體積 【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必

4、考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵. 4. 【2014高考廣東卷.理.7】若空間中四條直線兩兩不同的直線...，滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. B. C..既不平行也不垂直 D..的位置關(guān)系不確定 【答案】D 【解析】如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為， ；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此.的位置關(guān)系不確定，故選D. 【考點定位】本題考查空間中直線的位置關(guān)系的判定，屬于中等題. 【名師點晴】本題主要考查的是空間點、線、面的位

5、置關(guān)系，屬于中等題．解題時一定要注意選“正確”還是選“錯誤”， 否則很容易出現(xiàn)錯誤．解決空間點、線、面的位置關(guān)系這類試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊圖形進(jìn)行檢驗，也可作必要的合情推理． 5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知，圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，故該幾何體的表面積為，故選C. 考點： 三視圖，空間幾何體的體積.

6、 【名師點睛】由三視圖還原幾何體的方法: 5.【 2013湖南7】已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于 A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 試題分析： 由題知，正方體的棱長為1，水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對角面時，其面積最大為 ；因此滿足棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積的范圍為. 【考點定位】三視圖 【名師點睛】本題主要考查了簡單空間圖形的三視圖，解決問題的關(guān)鍵是正確求出滿足條

7、件的該正方體的正視圖的面積的范圍為是解題的關(guān)鍵． 6.【 2014湖南7】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【考點定位】三視圖 內(nèi)切圓 球 三棱柱 【名師點睛】解決有關(guān)三視圖的題目，主要是根據(jù)三視圖首先得到幾何體的空間結(jié)構(gòu)圖形，然后運用有關(guān)立體幾何的知識進(jìn)行發(fā)現(xiàn)計算即可，問題在于如何正確的判定幾何體的空間結(jié)構(gòu)，主要是根據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”進(jìn)行判斷. 7.【2015高考山東，理7】在梯形中，， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)

8、一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為： 故選C. 【考點定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積. 【名師點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計算，重點考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計算，體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力以及基本運算能力的考查

9、，此題屬中檔題. 8. 【2016年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A. 考點：1.三視圖；2.空間幾何體體積計算. 【名師點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征.常見的有以下幾類：①三視圖為三個三角形，對應(yīng)的幾何體為三棱錐；②三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應(yīng)的幾何體為四棱錐；③三視圖為兩個三角形，一個圓，對應(yīng)的幾何體為圓錐；④三視圖為一個三角形，兩個四邊形，

10、對應(yīng)的幾何體為三棱柱；⑤三視圖為三個四邊形，對應(yīng)的幾何體為四棱柱；⑥三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應(yīng)的幾何體為圓柱. 9.【2014高考陜西版理第5題】已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選. 考點：正四棱柱的幾何特征；球的體積. 【名師點晴】本題主要考查的是正四棱柱的幾何特征；球的體積，屬于容易題．解題時一定要注意正四棱柱的幾何特征（實際上是一個特殊的長方體），求出球的直徑

11、，進(jìn)而得到半徑，然后利用球的體積公式直接運算即可 10. 【2015高考陜西，理5】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的表面積是，故選D． 【考點定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積． 【名師點晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的表面積，屬于容易題．解題時要看清楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯誤．本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出幾何體各個面

12、的面積即可． 11. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ） （A） （B） （C）90 （D）81 【答案】B 【解析】 試題分析：由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B． 考點：空間幾何體的三視圖及表面積． 【技巧點撥】求解多面體的表面積及體積問題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解． 基本性質(zhì)及推

13、論，線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題． 12. 【2015高考新課標(biāo)2，理6】一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D． 【考點定位】三視圖． 【名師點睛】本題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運算，要求有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是能從三視圖確定截

14、面，進(jìn)而求體積比，屬于中檔題． 13. 【2014新課標(biāo)，理6】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考點定位】1.三視圖；2.簡單幾何體的體積. 【名師點睛】本題考查了三視圖，直觀圖，組合體的體積，屬于中檔題，注意由三視圖還原幾何體的解題的關(guān)鍵，注意計算的準(zhǔn)確性． 14. 【2015高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB

15、=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C． 【考點定位】外接球表面積和椎體的體積． 【名師點睛】本題以球為背景考查空間幾何體的體積和表面積計算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面體體積最大時的情形，屬于中檔題． 15. 【2014新課標(biāo)，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點

16、，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則 ，，A（1，0，0），，故，，所以 ，故選C. 【考點定位】異面直線所成的角. 【名師點睛】本題考查了空間幾何體棱柱的性質(zhì)，異面直線所成角，空間直角坐標(biāo)，空間向量的數(shù)量積，本題屬于中檔題，要求學(xué)生根據(jù)根據(jù)已知建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的知識求異面直線所成角的余弦值，注意由已知準(zhǔn)確寫出所需點的坐標(biāo). 16. 【2

17、016高考山東理數(shù)】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：由三視圖可知,上面是半徑為的半球,體積為,下面是底面積為1,高為1的四棱錐,體積,故選C. 考點：1.三視圖；2.幾何體的體積. 【名師點睛】本題主要考查三視圖及幾何體的體積計算，本題涉及正四棱錐及球的體積計算，綜合性較強(qiáng)，較全面的考查考生的視圖用圖能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)基本計算能力等. 17. 【2014四川，理8】如圖，在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段上，直線與平面所成

18、的角為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點定位】空間直線與平面所成的角. 【名師點睛】通過證明直線與平面垂直，構(gòu)造得到直線與平面所成角的平面角，利用解三角形的知識計算得到其正弦值.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生基本的運算能力以及空間想象能力，考查學(xué)生空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的轉(zhuǎn)化與化歸能力. 18【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m

19、⊥n 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意知，．故選C． 考點：空間點、線、面的位置關(guān)系． 【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關(guān)系． 19. 【2015高考新課標(biāo)1，理6】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為

20、3，估算出堆放斛的米約有（ ） (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B. 【考點定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 【名師點睛】本題以《九章算術(shù)》中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是圓錐，底面周長是兩個底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題. 20. 【2016高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B

21、1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 試題分析：如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因為平面,所以,則所成的角等于所成的角.延長,過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A. 考點：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角. 【名師點睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ). 21. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理12】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的

22、各條棱中，最長的棱的長度為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】Ｂ 【解析】由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長、寬、高均為4個單位，故可考慮置于棱長為4個單位的正方體中研究，如圖所示，該四面體為，且, , , ，故最長的棱長為6，選B． 【考點定位】三視圖． 【名師點睛】本題考查了三視圖視角下多面體棱長的最值問題，考查了考生的識圖能力以及由三視圖還原物體的空間想象能力。 22.【2015高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體

23、，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B 【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16 + 20，解得r=2，故選B. 【考點定位】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式 【名師點睛】本題考查簡單組合體的三視圖的識別，是常規(guī)提，對簡單組合體三三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長對正，寬相等，高平

24、齊”的法則組合體中的各個量. 23. 【2014年.浙江卷.理3】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是 A. 90 B. 129 C. 132 D. 138 答案：Ｄ 解析：有三視圖可知，此幾何體如下圖，故幾何體的表面積為，故選D． 考點：三視圖,幾何體的表面積. 【名師點睛】求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求

25、和或作差求得幾何體的表面積． 24.【2015高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示， ∴體積， 故選C. 【考點定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計算. 【名師點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計算其體積，屬于容易題，在解題過程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個正方體與四棱錐的組合，將組合體的三視圖，正方體與錐體的體積計算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象

26、能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學(xué)公式進(jìn)行計算，體現(xiàn)了知識點的交匯. 25. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為，故選B． 考點：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積． 【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，

27、直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來求解． 26. 【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)， 在中，， 在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，， 過作，連結(jié)，∴， 則就是二面角的平面角，∴， 在中，，， 同理，，，故， 顯然面，故， 在中，， 在中， ， ∵，，∴（當(dāng)時取等號）

28、， ∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B. 【考點定位】立體幾何中的動態(tài)問題 【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的動態(tài)問題，屬于較難題，由于的形狀不確定，與的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點問題，12年，13年選擇題壓軸題均考查了立體幾何背景的創(chuàng)新題，解決此類問題需在平時注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練. 27. 【2013高考重慶理第5題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)． A． B． C．200 D．240 【答案】C 【解析】由

29、幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個橫放的直棱柱，棱柱底面為梯形，梯形兩底長分別為2和8，高為4，棱柱的高為10，故該幾何體體積V＝×(2＋8)×4×10＝200，故選C． 【考點定位】三視圖、柱體的體積. 【名師點睛】本題考查了三視圖、柱體的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題，注意由三視圖準(zhǔn)確得到幾何體的類型，然后選用相應(yīng)的體積公式求其體積. 28. 【2014高考重慶理第7題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A.54 B.60 C.66 D.72 【答案】

30、B 【解析】 試題分析： 考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積. 【名師點睛】本題考查了三視圖、幾何體的表面積的求法，屬于中檔題，注意由三視圖準(zhǔn)確得到幾何體的類型，然后選用相應(yīng)的表面公式求其表面積. 29. 【2015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，，選A. 【考點定位

31、】組合體的體積. 【名師點晴】本題涉及到三視圖的認(rèn)知，要求學(xué)生能由三視圖畫出幾何體的直觀圖，從而分析出它是哪些基本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫出直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力. 30. 【2014，安徽理7】一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為　　　　　?。? ） A．21+ B．18+ C．21 D．18 【答案】A． 【解析】 試題分析：由題意，該多面體的直觀圖是一個正方體挖去左下角三棱錐和右上角三棱錐，如下圖，則多面體的表面積．故選A． 考點：多面體的三視圖與表面積． 【名

32、師點睛】三視圖是高考中的熱門考點，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長對正，高平齊，寬相等.同時熟悉常見幾何體的三視圖，這對于解答這類問題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式.另外對于幾何體挖掘性問題，可以先判斷出幾何體的形狀，再通過實線和虛線的不同，畫出挖掘后的圖形. 31. 【2014，安徽理8】從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（ ） A．24對 B．30對 C．48對 D．60對 【答案】C 【解析】 試題分析：在正方體中，與上平面中一條對角線成的直線有，，，共八對直線，與上平面中另一條對角線的直線也有八對

33、直線，所以一個平面中有16對直線，正方體6個面共有對直線，去掉重復(fù)，則有對．故選C． 考點：1．直線的位置關(guān)系；2．異面直線所成的角． 【名師點睛】排列組合問題經(jīng)常性跟幾何體緊密聯(lián)系在一起，做好這類題的關(guān)鍵是：①讀懂題意；②找到適合的排列組合模型；③分類討論.正方體中直線的位置關(guān)系比較特殊，要通過面對角線的位置關(guān)系確定，不能出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏. 32.【2015高考安徽，理5】已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，則與平行 （B）若，平行于同一平面，則與平行 （C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線

34、 （D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面 【答案】D 【考點定位】1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用. 【名師點睛】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價. 33. 【2015高考安徽，理7】一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ） （A） （B） （C） （

35、D） 【答案】B 【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等腰直角三角形，是等邊三角形，則，所以四面體的表面積，故選B. 【考點定位】1.空間幾何體的三視圖與直觀圖；2.空間幾何體表面積的求法. 【名師點睛】三視圖是高考中的熱門考點，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長對正，高平齊，寬相等.同時熟悉常見幾何體的三視圖，這對于解答這類問題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式. 34. 【2014湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的

36、四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 考點：空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖，容易題. 【名師點睛】將空間幾何體的三視圖與空間直角坐標(biāo)系融合在一起，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，能較好的考查學(xué)生的綜合知識運用能力.其解題突破口是正確地在空間直角坐標(biāo)系中畫出

37、該幾何體的原始圖像. 35. 【2014福建，理2】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ） 圓柱 圓錐 四面體 三棱柱 【答案】A 【解析】 試題分析：由于圓柱的三視圖不可能是三角形所以選A. 考點：三視圖. 【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵，本題可用逐個排除的方法，由圓柱的三視圖不可能是三角形，可知該幾何體不可能是圓柱. 36.【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （

38、 ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】若，因為垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，所以“ ”是“ 的必要不充分條件，故選B． 【考點定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系． 【名師點睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長方體是直觀認(rèn)識和描述空間點、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將這些問題還原到長方體中研究． 37. 【2015高考北京，理4】設(shè)，是兩個不同的平面，是

39、直線且．“”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為，是兩個不同的平面，是直線且．若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，，則有，則“”是“”的必要而不充分條件. 考點定位：本題考點為空間直線與平面的位置關(guān)系，重點考察線面、面面平行問題和充要條件的有關(guān)知識. 【名師點睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題以空間線、面位置關(guān)系為載體，考查充要條件．考查學(xué)生對空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面的位置關(guān)系的理解及空間想象能力，重點

40、是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì). 38. 【2015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ） A． B． C． D．5 【答案】C 考點定位：本題考點為利用三視圖還原幾何體及求三棱錐的表面積，考查空間線線、線面的位置關(guān)系及有關(guān)線段長度及三角形面積數(shù)據(jù)的計算. 【名師點睛】本題考查三視圖及多面體的表面積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別是側(cè)面的形狀為等腰三角形，正確求出三個側(cè)面的面積和底

41、面的面積. 39. 【2014遼寧理4】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】B 【解析】 試題分析：若A．若則與可能平行、相交、異面，故A錯誤； B．若，，則，顯然成立；C．若，，則或故C錯誤；D．若，，則或或與相交. 考點：1.命題的真假；2.線面之間的位置關(guān)系. 【名師點睛】本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系及垂直關(guān)系.解題分關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)定理、判定定理等，首先利用舉反例排除錯誤選項，是解答此類問題的常用方法. 本題屬于基礎(chǔ)題，覆蓋面較

42、廣，難度不大. 40. 【2014遼寧理7】某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體的直觀圖是棱長為2的正方體，分別在兩個對角截去了底面半徑為1，高為2的圓柱的四分之一，故該幾何體的體積為：. 考點：1.三視圖；2.柱體的體積公式. 【名師點睛】本題考查三視圖及幾何體的體積計算，解答本題的關(guān)鍵，是理解三視圖的畫法規(guī)則，明確所得幾何體的特征，確定得到計算體積所需要的幾何量. 本題屬于基礎(chǔ)題，在考查三視圖及幾何體的幾何特征的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力，是一

43、道較為常規(guī)的題型. 41. 【2015湖南理2】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 【考點定位】1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值. 【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾

44、何的相關(guān)知識求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值. 二、填空題 1.【2014天津，理10】已知一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_______． 【答案】． 【解析】 試題分析：由三視圖可知該幾何體是組合體，其中下半部分是底面半徑為1，高為4的圓柱，上半部分是底面半徑為2，高為2的圓錐，其體積為（）． 考點：1．立體幾何三視圖；2．幾何體體積的計算． 【名師點睛】本題考查三視圖及求組合體的體積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，本題中的幾何體為一個圓錐與一個圓柱的組合

45、體，借助三視圖中的數(shù)據(jù)，求出圓錐和圓柱的體積，兩體積相加得出組合體的體積，三視圖問題為今年高考熱點，是必考題，是高考備考的重點，近幾年出題難度逐年增加. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 . 【答案】 【解析】 試題分析：由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長為，2,2，則底面等腰三角形的頂角為，所以三棱錐的體積為. 考點：三視圖，幾何體的體積. 【名師點睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識圖能力．解題時要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出

46、幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖． 3. 【2016高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是 cm2，體積是 cm3. 【答案】 【解析】 試題分析：幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形，所以表面積為 考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積． 【方法點睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計算該幾何

47、體的表面積與體積． 4．【2014江蘇，理8】設(shè)甲，乙兩個圓柱的底面面積分別為，體積為，若它們的側(cè)面積相等且，則的值是 . 【答案】 【解析】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為，，則，，又，所以，則. 【考點定位】圓柱的側(cè)面積與體積． 【名師點晴】求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算． (2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補(bǔ)法：把不能直接計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體． 5．【2015江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為

48、5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為 【答案】 【解析】由體積相等得： 【考點定位】圓柱及圓錐體積 【名師點晴】求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算． (2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補(bǔ)法：把不能直接計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體． 6．【2014山東.理13】三棱錐中，，分別為，的中點，記三棱錐的體積為

49、，的體積為，則________. 【答案】 【解析】由已知設(shè)點到平面距離為，則點到平面距離為， 所以， 【名師點睛】本題考查三棱錐的幾何特征以及幾何體的體積.解答本題的關(guān)鍵，是利用等體積法實施轉(zhuǎn)化，用相同的量表示兩個體積. 本題屬于能力題，在考查三棱錐的幾何特征以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力. 7. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號

50、） 【答案】②③④ 考點： 空間中的線面關(guān)系. 【名師點睛】求解本題應(yīng)注意在空間中考慮線、面關(guān)系. 8. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 . 【答案】 【解析】 試題分析：中，因為， 所以. 由余弦定理可得 ， 所以. 設(shè)，則，. 在中，由余弦定理可得 . 故. 在中，，. 由余弦定理可得， 所以. 過作直線的垂線，垂足為.設(shè) 則， 即， 解得. 而的面積. 設(shè)與平面所成角為，則點到

51、平面的距離. 故四面體的體積 . 設(shè)，因為，所以. 則. （1）當(dāng)時，有， 故. 此時， . ，因為， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故. （2）當(dāng)時，有， 故. 此時， . 由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故. 綜上，四面體的體積的最大值為. 考點：1、空間幾何體的體積；2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值． 【思路點睛】先根據(jù)已知條件求出四面體的體積，再對的取值范圍討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得四面體的體積的最大值． 9. 【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點

52、。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】 【考點定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式. 【名師點睛】空間的角與距離的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時取得最大值.當(dāng)點M在P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最?。?dāng)M點向左移動時，EM與AF所成角逐漸變小，點M到達(dá)Q點時，角最小，從而余弦值最大. 10. 【2016高考天津理數(shù)】已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為_

53、______m3. 【答案】2 【解析】 試題分析：由三視圖知四棱錐高為3，底面平行四邊形的底為2，高為1，因此體積為．故答案為2． 考點：三視圖 【名師點睛】1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖． 2．三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)． 11.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線，所成的角的余弦值是 ． 【答案】. 【解析】 試題分析：如下圖，連結(jié)，取中點，連結(jié)，，則可

54、知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得， ，， ∴，即異面直線，所成角的余弦值為. 【考點定位】異面直線的夾角. 【名師點睛】本題主要考查了異面直線夾角的求解，屬于中檔題，分析條件中出現(xiàn)的中點，可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)利用平移產(chǎn)生異面直線的夾角，再利用余弦定理的變式即可求解，在復(fù)習(xí)時應(yīng)了解兩條異面直線夾角的范圍，常見的求異面直線夾角的方法等知識點. 13.【2014上海,理6】若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 【答案】. 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意，即，母線與底面夾角為，則為，. 【考點】圓

55、錐的性質(zhì)，圓錐的母線與底面所成的角，反三角函數(shù). 【名師點睛】圓錐的母線與底面所成的角為圓錐軸截面的底角，圓錐的側(cè)面積為通過直角三角形可求得之間關(guān)系. 14. 【2013上海,理19】如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離． 【答案】 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點的坐標(biāo)為A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)． 設(shè)平面D′AC的法向量n＝(u，v，w)，則n⊥，n⊥. 因為＝(1,0,1)，＝(0,2

56、,1)，n·＝0，n·＝0， 所以解得u＝2v，w＝－2v.取v＝1，得平面D′AC的一個法向量n＝(2,1，－2)． 因為＝(－1,0，－1)，所以n·＝0，所以n⊥. 又BC′不在平面D′AC內(nèi)，所以直線BC′與平面D′AC平行． 由＝(1,0,0)，得點B到平面D′AC的距離d＝＝＝，所以直線BC′到平面D′AC的距離為. 【考點定位】空間向量求線面距 【名師點睛】利用空間向量數(shù)量積的變形公式求線面距，也可利用等體積法求線面距.利用待定系數(shù)法求平面法向量. 15.【2015高考天津，理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 .

57、 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積. 【考點定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式. 【名師點睛】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運算能力.識圖是數(shù)學(xué)的基本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實際生活必備的能力，本題將這些能力結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用價值，同時也考查了學(xué)生對旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計算能力. 三、解答題 1. 【2015高考天津，理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,,, ,且點M和N分別為的中點. (I)求證：平面； (II)求二面角的正弦值；

58、(III)設(shè)為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長 【答案】(I)見解析； (II) ； (III) . 【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得， ， 又因為分別為和的中點，得. (I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量，， 由此可得，，又因為直線平面，所以平面 (III)依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個法向量，由已知得 ，整理得， 又因為，解得， 所以線段的長為. 【考點定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用. 【名師點睛】本題主要考查直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面

59、角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化，體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用，即把幾何的證明與計算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計算問題，是向量的最大優(yōu)勢，把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計算問題，有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 2. 【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（I）見解析（II） 【解析】 試題分析：（I）先證明平面,結(jié)合平面,可得平

60、面平面．（II）建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角. 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可取． 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可?。畡t． 故二面角的余弦值為． 考點：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用 【名師點睛】立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不

61、大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決. 3. 【2014天津，理17】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見試題分析；（Ⅱ）直線與平面所成角的正弦值為；（Ⅲ）． 【解析】 試題解析：（方法一）依題意，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，．由為棱的中點，得． （Ⅰ）向量，，故． ∴． （Ⅱ）向量，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個法向量．于是有，∴直線與平面所成角的正弦值為． （方法二）（Ⅰ）如

62、圖，取中點，連結(jié)，．由于分別為的中點，故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，∴． ∵底面，故，而，從而平面，∵平面，于是，又，∴． （Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）有平面，得，而，故．又∵，為的中點，故，可得，∴平面，故平面平面．∴直線在平面內(nèi)的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角．依題意，有，而為中點，可得，進(jìn)而．故在直角三角形中，，因此，∴直線與平面所成角的正弦值為． （Ⅲ）如圖，在中，過點作交于點．∵底面，故底面，從而．又，得平面，因此．在底面內(nèi)， 可得，從而．在平面內(nèi)，作交于點，于是．由于，故，∴四點共面．由， ，得平面，故，∴為二面角的平面角．在中，，，，

63、由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值為． 考點：1．空間兩條直線的位置關(guān)系、直線與平面位置關(guān)系；2．二面角、直線與平面所成角的計算． 【名師點睛】本題考查線線垂直的證明和二面角及線面角等有關(guān)知識重點考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力，特別是利用空間向量解決立體幾何問題.首先利用向量的數(shù)量積為零是證明線線垂直最為簡潔的好辦法，其二由于本題容易建立空間直角坐標(biāo)系，所以利用法向量求二面角和線面角是首選的方法，本題也可采用傳統(tǒng)方法去解。立體幾何問題是高考必考問題，也是考生容易得分問題，備考時應(yīng)高度重視. 4. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位

64、置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解. 試題解析：（I）由已知得，，又由得，故. 因此，從而.由,得. 由得.所以，. 于是，， 故. 又，而， 所以. （II）如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即， 所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以取.于是， . 因此二面角的正弦值是. 考點：線面垂直的判定、二面角. 【名師點睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：

65、①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 5. 【2014高考北京理第17題】（本小題滿分13分） 如圖，正方體的邊長為2，，分別為，的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱，分別交于，. （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長. 【答案】（1）詳見解析；（2）2. 【解析】 試題分析：（1）利用正方形的性

66、質(zhì)，證明，利用線面平行的判定定理證明平面，再用線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）由條件底面，證明，， 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直線與平面所成的角，再設(shè)點，因為點在棱上，所以可設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運算，求的值，最后用空間中兩點間的距離公式求. 試題解析：（1）在正方形中，因為是的中點，所以， 因為平面，所以平面， 因為平面，且平面平面， 所以. 設(shè)點，因為點在棱上，所以可設(shè)， 即，所以， 因為向量是平面的法向量，所以， 即，解得，所以點的坐標(biāo)為， 所以. 考點：空間中線線、線面、面面的平行于垂直，用向量法求線面角，即空間距離. 【名師點睛】本題考查線線、線面平行及求線、面角的相關(guān)知識及運算，本題屬于中檔題，熟練利用有關(guān)平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行面面平行、線面平行、線線平行之間的轉(zhuǎn)化與證明，另外利用空間向量解題時，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫出空間點的坐標(biāo)，利用法向量求線、面角. 6. 【2015高考北京，理17】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點． (Ⅰ) 求證：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值