三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題10 立體幾何（選擇填空）

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第十章 立體幾何 一、選擇題 1. 【2014高考北京理第8題】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQ的體積(　　) A．與x，y，z都有關(guān) B．與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān) C．與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān) D．與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān) 【答案】D 考點(diǎn)：點(diǎn)到面的距離;錐體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查空間下幾何體中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及四面體的體積，點(diǎn)到面的距離，

2、本題屬于基礎(chǔ)題，要準(zhǔn)確確定三角形的底和高，利用錐體的體積求出多面體的體積. 2.【2014高考北京理第7題】在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】 試題分析：三棱錐在平面上的投影為，所以， 設(shè)在平面、平面上的投影分別為、，則在平面、上的投影分別為、，因?yàn)椋?，所以? 故選D. 考點(diǎn)：三棱錐的性質(zhì)，空間中的投影，難度中等. 【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系下幾何體的位置和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及正投影的概念，正

3、投影的位置、形狀和面積，本題屬于基礎(chǔ)題，要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求出三角形的面積. 3. 【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和 故選A． 考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積 【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必

4、考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵. 4. 【2014高考廣東卷.理.7】若空間中四條直線兩兩不同的直線...，滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. B. C..既不平行也不垂直 D..的位置關(guān)系不確定 【答案】D 【解析】如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為， ；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此.的位置關(guān)系不確定，故選D. 【考點(diǎn)定位】本題考查空間中直線的位置關(guān)系的判定，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是空間點(diǎn)、線、面的位

5、置關(guān)系，屬于中等題．解題時(shí)一定要注意選“正確”還是選“錯(cuò)誤”， 否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解決空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系這類試題時(shí)一定要萬(wàn)分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊圖形進(jìn)行檢驗(yàn)，也可作必要的合情推理． 5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知，圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，故該幾何體的表面積為，故選C. 考點(diǎn)： 三視圖，空間幾何體的體積.

6、 【名師點(diǎn)睛】由三視圖還原幾何體的方法: 5.【 2013湖南7】已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于 A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 試題分析： 由題知，正方體的棱長(zhǎng)為1，水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時(shí)，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對(duì)角面時(shí)，其面積最大為 ；因此滿足棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積的范圍為. 【考點(diǎn)定位】三視圖 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，解決問題的關(guān)鍵是正確求出滿足條

7、件的該正方體的正視圖的面積的范圍為是解題的關(guān)鍵． 6.【 2014湖南7】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【考點(diǎn)定位】三視圖 內(nèi)切圓 球 三棱柱 【名師點(diǎn)睛】解決有關(guān)三視圖的題目，主要是根據(jù)三視圖首先得到幾何體的空間結(jié)構(gòu)圖形，然后運(yùn)用有關(guān)立體幾何的知識(shí)進(jìn)行發(fā)現(xiàn)計(jì)算即可，問題在于如何正確的判定幾何體的空間結(jié)構(gòu)，主要是根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”進(jìn)行判斷. 7.【2015高考山東，理7】在梯形中，， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)

8、一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為： 故選C. 【考點(diǎn)定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計(jì)算，重點(diǎn)考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生空間想象能力以及基本運(yùn)算能力的考查

9、，此題屬中檔題. 8. 【2016年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A. 考點(diǎn)：1.三視圖；2.空間幾何體體積計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征.常見的有以下幾類：①三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐；②三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)的幾何體為四棱錐；③三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)的幾何體為圓錐；④三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，

10、對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱柱；⑤三視圖為三個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)的幾何體為四棱柱；⑥三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)的幾何體為圓柱. 9.【2014高考陜西版理第5題】已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，故，即得，所以該球的體積，故選. 考點(diǎn)：正四棱柱的幾何特征；球的體積. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是正四棱柱的幾何特征；球的體積，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意正四棱柱的幾何特征（實(shí)際上是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方體），求出球的直徑

11、，進(jìn)而得到半徑，然后利用球的體積公式直接運(yùn)算即可 10. 【2015高考陜西，理5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，所以該幾何體的表面積是，故選D． 【考點(diǎn)定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的表面積，屬于容易題．解題時(shí)要看清楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出幾何體各個(gè)面

12、的面積即可． 11. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ） （A） （B） （C）90 （D）81 【答案】B 【解析】 試題分析：由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B． 考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖及表面積． 【技巧點(diǎn)撥】求解多面體的表面積及體積問題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解． 基本性質(zhì)及推

13、論，線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題． 12. 【2015高考新課標(biāo)2，理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D． 【考點(diǎn)定位】三視圖． 【名師點(diǎn)睛】本題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運(yùn)算，要求有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是能從三視圖確定截

14、面，進(jìn)而求體積比，屬于中檔題． 13. 【2014新課標(biāo)，理6】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.簡(jiǎn)單幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，直觀圖，組合體的體積，屬于中檔題，注意由三視圖還原幾何體的解題的關(guān)鍵，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性． 14. 【2015高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB

15、=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C． 【考點(diǎn)定位】外接球表面積和椎體的體積． 【名師點(diǎn)睛】本題以球?yàn)楸尘翱疾榭臻g幾何體的體積和表面積計(jì)算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面體體積最大時(shí)的情形，屬于中檔題． 15. 【2014新課標(biāo)，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)

16、，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則 ，，A（1，0，0），，故，，所以 ，故選C. 【考點(diǎn)定位】異面直線所成的角. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體棱柱的性質(zhì)，異面直線所成角，空間直角坐標(biāo)，空間向量的數(shù)量積，本題屬于中檔題，要求學(xué)生根據(jù)根據(jù)已知建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的知識(shí)求異面直線所成角的余弦值，注意由已知準(zhǔn)確寫出所需點(diǎn)的坐標(biāo). 16. 【2

17、016高考山東理數(shù)】一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：由三視圖可知,上面是半徑為的半球,體積為,下面是底面積為1,高為1的四棱錐,體積,故選C. 考點(diǎn)：1.三視圖；2.幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖及幾何體的體積計(jì)算，本題涉及正四棱錐及球的體積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，較全面的考查考生的視圖用圖能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)基本計(jì)算能力等. 17. 【2014四川，理8】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成

18、的角為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點(diǎn)定位】空間直線與平面所成的角. 【名師點(diǎn)睛】通過證明直線與平面垂直，構(gòu)造得到直線與平面所成角的平面角，利用解三角形的知識(shí)計(jì)算得到其正弦值.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力以及空間想象能力，考查學(xué)生空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的轉(zhuǎn)化與化歸能力. 18【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m

19、⊥n 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意知，．故選C． 考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系． 【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長(zhǎng)方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系． 19. 【2015高考新課標(biāo)1，理6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為

20、3，估算出堆放斛的米約有（ ） (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B. 【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 【名師點(diǎn)睛】本題以《九章算術(shù)》中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是圓錐，底面周長(zhǎng)是兩個(gè)底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題. 20. 【2016高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B

21、1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 試題分析：如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因?yàn)槠矫?所以,則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng),過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A. 考點(diǎn)：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角. 【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ). 21. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理12】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的

22、各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】Ｂ 【解析】由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長(zhǎng)、寬、高均為4個(gè)單位，故可考慮置于棱長(zhǎng)為4個(gè)單位的正方體中研究，如圖所示，該四面體為，且, , , ，故最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為6，選B． 【考點(diǎn)定位】三視圖． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖視角下多面體棱長(zhǎng)的最值問題，考查了考生的識(shí)圖能力以及由三視圖還原物體的空間想象能力。 22.【2015高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體

23、，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B 【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16 + 20，解得r=2，故選B. 【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測(cè)面積公式 【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖的識(shí)別，是常規(guī)提，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平

24、齊”的法則組合體中的各個(gè)量. 23. 【2014年.浙江卷.理3】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是 A. 90 B. 129 C. 132 D. 138 答案：Ｄ 解析：有三視圖可知，此幾何體如下圖，故幾何體的表面積為，故選D． 考點(diǎn)：三視圖,幾何體的表面積. 【名師點(diǎn)睛】求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求

25、和或作差求得幾何體的表面積． 24.【2015高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示， ∴體積， 故選C. 【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計(jì)算其體積，屬于容易題，在解題過程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個(gè)正方體與四棱錐的組合，將組合體的三視圖，正方體與錐體的體積計(jì)算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象

26、能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的交匯. 25. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為，故選B． 考點(diǎn)：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積． 【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，

27、直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來(lái)求解． 26. 【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)， 在中，， 在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，， 過作，連結(jié)，∴， 則就是二面角的平面角，∴， 在中，，， 同理，，，故， 顯然面，故， 在中，， 在中， ， ∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

28、， ∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B. 【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題，屬于較難題，由于的形狀不確定，與的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點(diǎn)問題，12年，13年選擇題壓軸題均考查了立體幾何背景的創(chuàng)新題，解決此類問題需在平時(shí)注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練. 27. 【2013高考重慶理第5題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)． A． B． C．200 D．240 【答案】C 【解析】由

29、幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)橫放的直棱柱，棱柱底面為梯形，梯形兩底長(zhǎng)分別為2和8，高為4，棱柱的高為10，故該幾何體體積V＝×(2＋8)×4×10＝200，故選C． 【考點(diǎn)定位】三視圖、柱體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖、柱體的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題，注意由三視圖準(zhǔn)確得到幾何體的類型，然后選用相應(yīng)的體積公式求其體積. 28. 【2014高考重慶理第7題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A.54 B.60 C.66 D.72 【答案】

30、B 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖、幾何體的表面積的求法，屬于中檔題，注意由三視圖準(zhǔn)確得到幾何體的類型，然后選用相應(yīng)的表面公式求其表面積. 29. 【2015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，，選A. 【考點(diǎn)定位

31、】組合體的體積. 【名師點(diǎn)晴】本題涉及到三視圖的認(rèn)知，要求學(xué)生能由三視圖畫出幾何體的直觀圖，從而分析出它是哪些基本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫出直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力. 30. 【2014，安徽理7】一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為　　　　　?。? ） A．21+ B．18+ C．21 D．18 【答案】A． 【解析】 試題分析：由題意，該多面體的直觀圖是一個(gè)正方體挖去左下角三棱錐和右上角三棱錐，如下圖，則多面體的表面積．故選A． 考點(diǎn)：多面體的三視圖與表面積． 【名

32、師點(diǎn)睛】三視圖是高考中的熱門考點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.同時(shí)熟悉常見幾何體的三視圖，這對(duì)于解答這類問題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式.另外對(duì)于幾何體挖掘性問題，可以先判斷出幾何體的形狀，再通過實(shí)線和虛線的不同，畫出挖掘后的圖形. 31. 【2014，安徽理8】從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有（ ） A．24對(duì) B．30對(duì) C．48對(duì) D．60對(duì) 【答案】C 【解析】 試題分析：在正方體中，與上平面中一條對(duì)角線成的直線有，，，共八對(duì)直線，與上平面中另一條對(duì)角線的直線也有八對(duì)

33、直線，所以一個(gè)平面中有16對(duì)直線，正方體6個(gè)面共有對(duì)直線，去掉重復(fù)，則有對(duì)．故選C． 考點(diǎn)：1．直線的位置關(guān)系；2．異面直線所成的角． 【名師點(diǎn)睛】排列組合問題經(jīng)常性跟幾何體緊密聯(lián)系在一起，做好這類題的關(guān)鍵是：①讀懂題意；②找到適合的排列組合模型；③分類討論.正方體中直線的位置關(guān)系比較特殊，要通過面對(duì)角線的位置關(guān)系確定，不能出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏. 32.【2015高考安徽，理5】已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，則與平行 （B）若，平行于同一平面，則與平行 （C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線

34、 （D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面 【答案】D 【考點(diǎn)定位】1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià). 33. 【2015高考安徽，理7】一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ） （A） （B） （C） （

35、D） 【答案】B 【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等腰直角三角形，是等邊三角形，則，所以四面體的表面積，故選B. 【考點(diǎn)定位】1.空間幾何體的三視圖與直觀圖；2.空間幾何體表面積的求法. 【名師點(diǎn)睛】三視圖是高考中的熱門考點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.同時(shí)熟悉常見幾何體的三視圖，這對(duì)于解答這類問題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式. 34. 【2014湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的

36、四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 考點(diǎn)：空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖，容易題. 【名師點(diǎn)睛】將空間幾何體的三視圖與空間直角坐標(biāo)系融合在一起，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，能較好的考查學(xué)生的綜合知識(shí)運(yùn)用能力.其解題突破口是正確地在空間直角坐標(biāo)系中畫出

37、該幾何體的原始圖像. 35. 【2014福建，理2】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ） 圓柱 圓錐 四面體 三棱柱 【答案】A 【解析】 試題分析：由于圓柱的三視圖不可能是三角形所以選A. 考點(diǎn)：三視圖. 【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵，本題可用逐個(gè)排除的方法，由圓柱的三視圖不可能是三角形，可知該幾何體不可能是圓柱. 36.【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （

38、 ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】若，因?yàn)榇怪庇谄矫?，則或；若，又垂直于平面，則，所以“ ”是“ 的必要不充分條件，故選B． 【考點(diǎn)定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系． 【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長(zhǎng)方體是直觀認(rèn)識(shí)和描述空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將這些問題還原到長(zhǎng)方體中研究． 37. 【2015高考北京，理4】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是

39、直線且．“”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不同的平面，是直線且．若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來(lái)若，，則有，則“”是“”的必要而不充分條件. 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為空間直線與平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考察線面、面面平行問題和充要條件的有關(guān)知識(shí). 【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題以空間線、面位置關(guān)系為載體，考查充要條件．考查學(xué)生對(duì)空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面的位置關(guān)系的理解及空間想象能力，重點(diǎn)

40、是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì). 38. 【2015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ） A． B． C． D．5 【答案】C 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為利用三視圖還原幾何體及求三棱錐的表面積，考查空間線線、線面的位置關(guān)系及有關(guān)線段長(zhǎng)度及三角形面積數(shù)據(jù)的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及多面體的表面積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別是側(cè)面的形狀為等腰三角形，正確求出三個(gè)側(cè)面的面積和底

41、面的面積. 39. 【2014遼寧理4】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】B 【解析】 試題分析：若A．若則與可能平行、相交、異面，故A錯(cuò)誤； B．若，，則，顯然成立；C．若，，則或故C錯(cuò)誤；D．若，，則或或與相交. 考點(diǎn)：1.命題的真假；2.線面之間的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系及垂直關(guān)系.解題分關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)定理、判定定理等，首先利用舉反例排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，是解答此類問題的常用方法. 本題屬于基礎(chǔ)題，覆蓋面較

42、廣，難度不大. 40. 【2014遼寧理7】某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體的直觀圖是棱長(zhǎng)為2的正方體，分別在兩個(gè)對(duì)角截去了底面半徑為1，高為2的圓柱的四分之一，故該幾何體的體積為：. 考點(diǎn)：1.三視圖；2.柱體的體積公式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體的體積計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵，是理解三視圖的畫法規(guī)則，明確所得幾何體的特征，確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量. 本題屬于基礎(chǔ)題，在考查三視圖及幾何體的幾何特征的同時(shí)，考查了考生的空間想象能力及運(yùn)算能力，是一

43、道較為常規(guī)的題型. 41. 【2015湖南理2】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 【考點(diǎn)定位】1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾

44、何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值. 二、填空題 1.【2014天津，理10】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_______． 【答案】． 【解析】 試題分析：由三視圖可知該幾何體是組合體，其中下半部分是底面半徑為1，高為4的圓柱，上半部分是底面半徑為2，高為2的圓錐，其體積為（）． 考點(diǎn)：1．立體幾何三視圖；2．幾何體體積的計(jì)算． 【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及求組合體的體積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，本題中的幾何體為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合

45、體，借助三視圖中的數(shù)據(jù)，求出圓錐和圓柱的體積，兩體積相加得出組合體的體積，三視圖問題為今年高考熱點(diǎn)，是必考題，是高考備考的重點(diǎn)，近幾年出題難度逐年增加. 2. 【2016年高考四川理數(shù)】已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 . 【答案】 【解析】 試題分析：由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，2,2，則底面等腰三角形的頂角為，所以三棱錐的體積為. 考點(diǎn)：三視圖，幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識(shí)圖能力．解題時(shí)要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出

46、幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖． 3. 【2016高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是 cm2，體積是 cm3. 【答案】 【解析】 試題分析：幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為 考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積． 【方法點(diǎn)睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計(jì)算該幾何

47、體的表面積與體積． 4．【2014江蘇，理8】設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面面積分別為，體積為，若它們的側(cè)面積相等且，則的值是 . 【答案】 【解析】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面和高分別為，，則，，又，所以，則. 【考點(diǎn)定位】圓柱的側(cè)面積與體積． 【名師點(diǎn)晴】求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算． (2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體． 5．【2015江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為

48、5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 【答案】 【解析】由體積相等得： 【考點(diǎn)定位】圓柱及圓錐體積 【名師點(diǎn)晴】求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算． (2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體． 6．【2014山東.理13】三棱錐中，，分別為，的中點(diǎn)，記三棱錐的體積為

49、，的體積為，則________. 【答案】 【解析】由已知設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則點(diǎn)到平面距離為， 所以， 【名師點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的幾何特征以及幾何體的體積.解答本題的關(guān)鍵，是利用等體積法實(shí)施轉(zhuǎn)化，用相同的量表示兩個(gè)體積. 本題屬于能力題，在考查三棱錐的幾何特征以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查了考生的空間想象能力及運(yùn)算能力. 7. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號(hào)

50、） 【答案】②③④ 考點(diǎn)： 空間中的線面關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】求解本題應(yīng)注意在空間中考慮線、面關(guān)系. 8. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 . 【答案】 【解析】 試題分析：中，因?yàn)椋? 所以. 由余弦定理可得 ， 所以. 設(shè)，則，. 在中，由余弦定理可得 . 故. 在中，，. 由余弦定理可得， 所以. 過作直線的垂線，垂足為.設(shè) 則， 即， 解得. 而的面積. 設(shè)與平面所成角為，則點(diǎn)到

51、平面的距離. 故四面體的體積 . 設(shè)，因?yàn)?，所? 則. （1）當(dāng)時(shí)，有， 故. 此時(shí)， . ，因?yàn)椋? 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故. （2）當(dāng)時(shí)，有， 故. 此時(shí)， . 由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故. 綜上，四面體的體積的最大值為. 考點(diǎn)：1、空間幾何體的體積；2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值． 【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)已知條件求出四面體的體積，再對(duì)的取值范圍討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得四面體的體積的最大值． 9. 【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)

52、。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】 【考點(diǎn)定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式. 【名師點(diǎn)睛】空間的角與距離的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為0（最?。?，當(dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn)M到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，角最小，從而余弦值最大. 10. 【2016高考天津理數(shù)】已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為_

53、______m3. 【答案】2 【解析】 試題分析：由三視圖知四棱錐高為3，底面平行四邊形的底為2，高為1，因此體積為．故答案為2． 考點(diǎn)：三視圖 【名師點(diǎn)睛】1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖． 2．三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)． 11.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的余弦值是 ． 【答案】. 【解析】 試題分析：如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可

54、知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得， ，， ∴，即異面直線，所成角的余弦值為. 【考點(diǎn)定位】異面直線的夾角. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線夾角的求解，屬于中檔題，分析條件中出現(xiàn)的中點(diǎn)，可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)利用平移產(chǎn)生異面直線的夾角，再利用余弦定理的變式即可求解，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)了解兩條異面直線夾角的范圍，常見的求異面直線夾角的方法等知識(shí)點(diǎn). 13.【2014上海,理6】若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 【答案】. 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由題意，即，母線與底面夾角為，則為，. 【考點(diǎn)】圓

55、錐的性質(zhì)，圓錐的母線與底面所成的角，反三角函數(shù). 【名師點(diǎn)睛】圓錐的母線與底面所成的角為圓錐軸截面的底角，圓錐的側(cè)面積為通過直角三角形可求得之間關(guān)系. 14. 【2013上海,理19】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離． 【答案】 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)． 設(shè)平面D′AC的法向量n＝(u，v，w)，則n⊥，n⊥. 因?yàn)椋?1,0,1)，＝(0,2

56、,1)，n·＝0，n·＝0， 所以解得u＝2v，w＝－2v.取v＝1，得平面D′AC的一個(gè)法向量n＝(2,1，－2)． 因?yàn)椋?－1,0，－1)，所以n·＝0，所以n⊥. 又BC′不在平面D′AC內(nèi)，所以直線BC′與平面D′AC平行． 由＝(1,0,0)，得點(diǎn)B到平面D′AC的距離d＝＝＝，所以直線BC′到平面D′AC的距離為. 【考點(diǎn)定位】空間向量求線面距 【名師點(diǎn)睛】利用空間向量數(shù)量積的變形公式求線面距，也可利用等體積法求線面距.利用待定系數(shù)法求平面法向量. 15.【2015高考天津，理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 .

57、 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積. 【考點(diǎn)定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式. 【名師點(diǎn)睛】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運(yùn)算能力.識(shí)圖是數(shù)學(xué)的基本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實(shí)際生活必備的能力，本題將這些能力結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計(jì)算能力. 三、解答題 1. 【2015高考天津，理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,,, ,且點(diǎn)M和N分別為的中點(diǎn). (I)求證：平面； (II)求二面角的正弦值；

58、(III)設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng) 【答案】(I)見解析； (II) ； (III) . 【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得， ， 又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，得. (I)證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，， 由此可得，，又因?yàn)橹本€平面，所以平面 (III)依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由已知得 ，整理得， 又因?yàn)?，解得? 所以線段的長(zhǎng)為. 【考點(diǎn)定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面

59、角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化，體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用，即把幾何的證明與計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問題，是向量的最大優(yōu)勢(shì)，把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題，有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 2. 【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（I）見解析（II） 【解析】 試題分析：（I）先證明平面,結(jié)合平面,可得平

60、面平面．（II）建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角. 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可取．則． 故二面角的余弦值為． 考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不

61、大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決. 3. 【2014天津，理17】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見試題分析；（Ⅱ）直線與平面所成角的正弦值為；（Ⅲ）． 【解析】 試題解析：（方法一）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，．由為棱的中點(diǎn)，得． （Ⅰ）向量，，故． ∴． （Ⅱ）向量，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量．于是有，∴直線與平面所成角的正弦值為． （方法二）（Ⅰ）如

62、圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，．由于分別為的中點(diǎn)，故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，∴． ∵底面，故，而，從而平面，∵平面，于是，又，∴． （Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）有平面，得，而，故．又∵，為的中點(diǎn)，故，可得，∴平面，故平面平面．∴直線在平面內(nèi)的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角．依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而．故在直角三角形中，，因此，∴直線與平面所成角的正弦值為． （Ⅲ）如圖，在中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵底面，故底面，從而．又，得平面，因此．在底面內(nèi)， 可得，從而．在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，于是．由于，故，∴四點(diǎn)共面．由， ，得平面，故，∴為二面角的平面角．在中，，，，

63、由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值為． 考點(diǎn)：1．空間兩條直線的位置關(guān)系、直線與平面位置關(guān)系；2．二面角、直線與平面所成角的計(jì)算． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明和二面角及線面角等有關(guān)知識(shí)重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，特別是利用空間向量解決立體幾何問題.首先利用向量的數(shù)量積為零是證明線線垂直最為簡(jiǎn)潔的好辦法，其二由于本題容易建立空間直角坐標(biāo)系，所以利用法向量求二面角和線面角是首選的方法，本題也可采用傳統(tǒng)方法去解。立體幾何問題是高考必考問題，也是考生容易得分問題，備考時(shí)應(yīng)高度重視. 4. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位

64、置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解. 試題解析：（I）由已知得，，又由得，故. 因此，從而.由,得. 由得.所以，. 于是，， 故. 又，而， 所以. （II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即， 所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以取.于是， . 因此二面角的正弦值是. 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角. 【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：

65、①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 5. 【2014高考北京理第17題】（本小題滿分13分） 如圖，正方體的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱，分別交于，. （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長(zhǎng). 【答案】（1）詳見解析；（2）2. 【解析】 試題分析：（1）利用正方形的性

66、質(zhì)，證明，利用線面平行的判定定理證明平面，再用線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）由條件底面，證明，， 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直線與平面所成的角，再設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求的值，最后用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求. 試題解析：（1）在正方形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 因?yàn)槠矫妫云矫妫? 因?yàn)槠矫?，且平面平面? 所以. 設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)， 即，所以， 因?yàn)橄蛄渴瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以? 即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以. 考點(diǎn)：空間中線線、線面、面面的平行于垂直，用向量法求線面角，即空間距離. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線線、線面平行及求線、面角的相關(guān)知識(shí)及運(yùn)算，本題屬于中檔題，熟練利用有關(guān)平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行面面平行、線面平行、線線平行之間的轉(zhuǎn)化與證明，另外利用空間向量解題時(shí)，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，利用法向量求線、面角. 6. 【2015高考北京，理17】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)． (Ⅰ) 求證：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值